第 6 題

求與 \(\displaystyle y=x^2, y=-\frac{4}{9}x^3+2x-1\) 兩函數圖形皆相切的所有切線方程式。


解答：

設所求切線與題述兩方程式的切點分別為 \(\displaystyle\left(t,t^2\right),\,\left(s,-\frac{4}{9}s^2+2s-1\right)\)，

\(\displaystyle\mbox{切線斜率}=2t=-\frac{4}{3}s^2+2=\frac{\displaystyle t^2-\left(-\frac{4}{9}s^2+2s-1\right)}{t-s}\)

將 \(\displaystyle t=-\frac{2}{3}s^2+1\) 帶入上式最後一個等號，可化簡得 \(s^2\left(s^2+2s-3\right)=0\)，

解得 \(s=0,1,-3\)，而後可得 \(t\) 與切線方程式。






第 7 題：

利用 \(\displaystyle \cos2\theta=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta},\,\sin2\theta=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}\)

可得 \(\tan\theta\) 的一元二次方程式，由根與係數關係式可得 \(\tan\theta_1+\tan\theta_2\) 與 \(\tan\theta_1\cdot\tan\theta_2\) 之值，

再用 \(\tan\) 的和角公式，即可得所求。


(還有另一種解法，可見下面類題的出處)
類題：（高中數學101, P.145）
設 \(\alpha,\beta\) 為 \(\sin\theta-\sqrt{3}\cos\theta=1\) 之兩根（\(-\pi<\theta<\pi\)），則 \(\displaystyle\tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\)？




第 9 題

如圖，在梯形 \(ABCD\) 中，可得 \(\displaystyle\overline{EF}=\frac{m\overline{BC}+n\overline{AD}}{m+n}\Rightarrow p=\frac{mn+nm}{m+n}.\)

第10題：

\(f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,\)

且 \(f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3),\forall n\geq4\)

\(\Rightarrow f(10)=274\)


說明：

\(f(1)=1\)：如果總共只有一階，只有一種走法~~~ \(1\)步就OK了。

\(f(2)=2\)：如果總共只有兩階，有 \(1+1\) 或 \(2\) 兩種走法。

\(f(3)=4\)：如果總共只有三階，有 \(1+1+1\)，\(1+2\)，\(2+1\)，或 \(3\) 共四種走法。

當 \(n\geq4\) 時，\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)\)：

　第一步恰只有可能走 \(1,2,3\) 階三者其中之一，

　且這三大類倆倆互斥，第一步走 \(1\) 階的所有走法與第一步走 \(2\) 或 \(3\) 階的所有走法都不會重複，

　若第一步走 \(1\) 階，剩下就還有 \(f(n-1)\) 種走法，

　若第一步走 \(2\) 階，剩下就還有 \(f(n-2)\) 種走法，

　若第一步走 \(3\) 階，剩下就還有 \(f(n-3)\) 種走法，

　因此 \(f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)\)。