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用Maxima學密碼學－橢圓曲線

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11^# 大中小發表於 2020-2-22 09:31 只看該作者

上一篇文章在$F[2]/(x^4+x+1)$Galois體之下，點$P=(g^3,g^9)=(x^3,x^3+x)$是橢圓曲線$E$：$y^2+xy=x^3+g^8x^2+g^2$的生成數計算$1P,2P,\ldots,15P$，再加上無窮遠點總共16個點。

想要知道有限體上橢圓曲線的點個數，直觀的方法是將$x=0,1,g^1,g^2,\dots,g^{14}$代入橢圓曲線方程式$y^2+xy=x^3+ax^2+b$，解出$y$的解，將有$y$的解個數加起來就是答案。

將方程式$y^2+xy=x^3+ax^2+b$同除$x^2$得到$\displaystyle \left(\frac{y}{x}\right)^2+\left(\frac{y}{x}\right)=x+a+\frac{b}{x^2}$
令$\displaystyle z=\frac{y}{x}$，$\displaystyle \beta=x+a+\frac{b}{x^2}$得到$z^2+z=\beta$，$z^2+z-\beta=0$，$z^2+z+\beta=0$
利用這裡的方法($maxima$指令為f2_solve_quadratic($\beta$,n))解出$z$，再計算$y=z\cdot x$解出$y的解$。

要先載入elliptic_curves.mac才能呼叫ec2_set_curve,f2_solve_quadratic
(%i1)　load("elliptic_curves.mac");
(%o1)　C:/maxima-5.43.0/share/maxima/5.43.0/share/contrib/elliptic_curves/elliptic_curves.mac

將numth.lisp取代原本的檔案C:\maxima-5.43.0\share\maxima\5.43.0\src\numth.lisp
讓更正的程式碼能重新載入
(%i2)　load("numth.lisp");
(%o2)　C:/maxima-5.43.0/share/maxima/5.43.0/src/numth.lisp

$F[2](x^4+x+1)$的Galois體
(%i3)　gf_set_data(2,4);
(%o3)　Structure [GF-DATA]

$F[2]/(x^4+x+1)$不可約多項式為$x^4+x+1$，元素個數16個
(%i4)　[p,ReductionPoly,g,n,m]:gf_infolist();
(%o4)　$[2,x^4+x+1,x,16,15]$

產生$g^1,g^2,\ldots,g^{15}$
(%i5)　g:create_list(gf_exp(g,i),i,1,n-1);
(g)　$[x,x^2,x^3,x+1,x^2+x,x^3+x^2,x^3+x+1,x^2+1,x^3+x,x^2+x+1,x^3+x^2+x,x^3+x^2+x+1,x^3+x^2+1,x^3+1,1]$

$y^2+xy=x^3+ax^2+b\pmod{2}\pmod{x^4+x+1}$的橢圓曲線
(%i8)
a:g[8];
b:g[2];
ec2_set_curve(ReductionPoly,gf_p2n(a),gf_p2n(b));
(a)　$x^2+1$
(b)　$x^2$
(%o8)　true

分式的分子和分母係數超過2以$\pmod{2}$化簡
(%i9)
PolyMod2(poly,PrintList):=block
([numpoly:num(poly),denompoly:denom(poly),numpolymod2,denompolymod2],
numpolymod2:polymod(numpoly,2),/*分子多項式對2同餘*/
denompolymod2:polymod(denompoly,2),/*分母多項式對2同餘*/
if denompoly=1 then/*分母為1,是多項式*/
(if numpoly#numpolymod2 then
      (PrintList:append(PrintList,["=",poly:numpolymod2]))
)
else
(if numpoly#numpolymod2 or denompoly#denompolymod2 then
   (PrintList:append(PrintList,["=",poly:numpolymod2/denompolymod2]))
),
return([poly,PrintList])
)$

分式的分子和分母超過4次方以$\pmod{x^4+x+1}$化簡
(%i10)
PolyModGF(poly,PrintList):=block
([numpoly:num(poly),denompoly:denom(poly),numpolymodGF,denompolymodGF],
numpolymodGF:polymod(remainder(numpoly,ReductionPoly),2),/*分子多項式對x^4+x+1同餘*/
denompolymodGF:polymod(remainder(denompoly,ReductionPoly),2),/*分母多項式對x^4+x+1同餘*/
if denompoly=1 then/*分母為1,是多項式*/
(if numpoly#numpolymodGF then
      (PrintList:append(PrintList,["=",poly:numpolymodGF]))
)
else/*分母不為1是分式,針對分子和分母分開對x^4+x+1同餘*/
  (if numpoly#numpolymodGF or denompoly#denompolymodGF then
   (PrintList:append(PrintList,["=",poly:numpolymodGF/denompolymodGF]))
  ),
return([poly,PrintList])
)$

針對分式的分母求反元素
(%i11)
Inverse(poly,PrintList):=block
([numpoly:num(poly),denompoly:denom(poly)],
if denompoly#1 then/*分母不為1才需要計算反元素*/
  (PrintList:append(PrintList,["=(",numpoly,")(",gf_inv(denompoly),")"]),
PrintList:append(PrintList,["=",poly:expand(numpoly*gf_inv(denompoly))]),
[poly,PrintList]: PolyMod2(poly,PrintList),
[poly,PrintList]: PolyModGF(poly,PrintList)
  ),
return([poly,PrintList])
)$

用大寫$X,Y$代表橢圓曲線，$Y^2+XY=X^3+aX^2+b$
用大寫$\displaystyle Z=\frac{Y}{X}$的變數變換
用小寫$x$代表Galois體運算符號
(%i12)
CountingPoints(ReductionPoly,a,b):=block
([count:1,Points:[[inf,inf]]/*將無窮遠點先放入*/,Degree,beta,PrintList,X,Y:[0,0],Z:[0,0]],
print("當X=0時,Y"^2,"+XY=X"^3,"+aX"^2,"+b=>Y"^2,"=b"),
Degree:hipow(ReductionPoly,x),
print("解方程式Y"^2,"=b,得Y=b^2^",(Degree-1),"=(",b,")^2^",(Degree-1),"=(",b,")"^2^(Degree-1),"=",Y[1]:gf_exp(b,2^(Degree-1))),
print("(X,Y)=(0,",Y[1],")=(0,","g"^gf_index(Y[1]),")"),
Points:append(Points,[[0,gf_exp(b,2^(Degree-1))]]),/*當X=0時Y=b^2^(Degree-1)*/
count:count+1,/*當X=0時,Y只有一解(重根)*/
for i:1 thru m do/*m為gf_infolist()除了0之外的Galois體的元素個數*/
(print("－－－－－－－－－－－"),
print("當X=",X:g[ i ],"時"),
PrintList:["β=X+a+","b"/"X"^2,"=(",X,")+(",a,")+",b/X^2,"=",beta:X+a+b/X^2],
if b/X^2#ratsimp(b/X^2) then
   (PrintList:append(PrintList,["=",beta:X+a+expand(b/X^2)])),
if denom(beta:ratsimp(beta))#1 then/*把帶分式換成假分式*/
   (PrintList:append(PrintList,["=",beta])),
[beta,PrintList]: PolyMod2(beta,PrintList),/*若係數大於2,同餘2*/
[beta,PrintList]: PolyModGF(beta,PrintList),/*若超過4次方,同餘x^4+x+1*/
[beta,PrintList]:Inverse(beta,PrintList),/*若λ為分式,將分母取反元素後和分子相乘*/
apply(print,PrintList),
print("解方程式Z"^2,"+Z+β=Z"^2,"+Z+(",beta,")=0"),
Z:f2_solve_quadratic(gf_p2n(beta),Degree),
if Z=false then
   (print("Z無解")
   )
else
   (print("Z=",Z:[gf_n2p(Z[1]),gf_n2p(Z[2])]),
   PrintList:["Y1=Z1*X=(",Z[1],")(",X,")=",Y[1]:expand(Z[1]*X)],
   [Y[1],PrintList]: PolyMod2(Y[1],PrintList),/*若係數大於2,同餘2*/
   [Y[1],PrintList]: PolyModGF(Y[1],PrintList),/*若超過4次方,同餘x^4+x+1*/
   [Y[1],PrintList]:Inverse(Y[1],PrintList),/*若λ為分式,將分母取反元素後和分子相乘*/
   apply(print,PrintList),
   PrintList:["Y2=Z2*X=(",Z[2],")(",X,")=",Y[2]:expand(Z[2]*X)],
   [Y[2],PrintList]: PolyMod2(Y[2],PrintList),/*若係數大於2,同餘2*/
   [Y[2],PrintList]: PolyModGF(Y[2],PrintList),/*若超過4次方,同餘x^4+x+1*/
   [Y[2],PrintList]:Inverse(Y[2],PrintList),/*若λ為分式,將分母取反元素後和分子相乘*/
   apply(print,PrintList),
   print("(X,Y)=(",X,",",Y[1],")=(","g"^gf_index(X),",",if Y[1]=0 then 0 else "g"^gf_index(Y[1]),")和",
                        "(",X,",",Y[2],")=(","g"^gf_index(X),",",if Y[2]=0 then 0 else "g"^gf_index(Y[2]),")"),
   Points:append(Points,[[X,Y[1]],[X,Y[2]]]),
   count:count+2
   )
),
return([count,Points])
)$

以$x=0,1,g^1,\ldots,g^{14}$計算橢圓曲線點個數
(%i13)　CountingPoints(ReductionPoly,a,b);
當$X=0$時,$Y^2+XY=X^3+aX^2+b$=>$Y^2=b$
解方程式$Y^2=b$,得$Y={b^2}^{3}={(x^2)^2}^{3}=(x^2)^{8}=x$
$(X,Y)=(0,x)=(0,g)$
－－－－－－－－－－－
當$X= x $時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x)+(x^2+1)+1=x^2+x+2=x^2+x$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^2+x)=0$
$Z=[x+1,x]$
$Y1=Z1*X=(x+1)(x)=x^2+x$
$Y2=Z2*X=(x)(x)=x^2$
$(X,Y)=(x,x^2+x)=(g,g^5)$和$(x,x^2)=(g,g^2)$
－－－－－－－－－－－
當$X=x^2$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^2)+(x^2+1)+\frac{1}{x^2}=2x^2+\frac{1}{x^2}+1=\frac{2x^4+x^2+1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}=(x^2+1)(x^3+x^2+1)$
$=x^5+x^4+x^3+2x^2+1=x^5+x^4+x^3+1=x^3+x^2$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X= x^3$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3)+(x^2+1)+\frac{1}{x^4}=x^3+x^2+\frac{1}{x^4}+1=\frac{x^7+x^6+x^4+1}{x^4}=\frac{x^2+1}{x+1}=(x^2+1)(x^3+x^2+x)$
$=x^5+x^4+2x^3+x^2+x=x^5+x^4+x^2+x=x+1$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+( x+1 )=0$
$Z=[x^3+x^2+1,x^3+x^2]$
$Y1=Z1*X=(x^3+x^2+1)(x^3)=x^6+x^5+x^3=x$
$Y2=Z2*X=(x^3+x^2)(x^3)=x^6+x^5=x^3+x$
$(X,Y)=(x^3,x)=(g^3,g)$和$(x^3,x^3+x)=(g^3,g^9)$
－－－－－－－－－－－
當$X=x+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2}{(x+1)^2}+x^2+x+2=\frac{x^2}{x^2+2x+1}+x^2+x+2=\frac{x^4+3x^3+6x^2+5x+2}{x^2+2x+1}$
$\displaystyle =\frac{x^4+x^3+x}{x^2+1}=\frac{x^3+1}{x^2+1}=(x^3+1)(x^3+x+1)=x^6+x^4+2x^3+x+1=x^6+x^4+x+1=x^3+x^2$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=x^2+x$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^2+x)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^2+x)^2}=\frac{x^2}{(x^2+x)^2}+2x^2+x+1=\frac{x^2}{x^4+2x^3+x^2}+2x^2+x+1$
$\displaystyle =\frac{2x^4+5x^3+5x^2+3x+2}{x^2+2x+1}=\frac{x^3+x^2+x}{x^2+1}=(x^3+x^2+x)(x^3+x+1)=x^6+x^5+2x^4+2x^3+2x^2+x=x^6+x^5+x=x^3$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+x^2$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+x^2)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+x^2)^2}=\frac{x^2}{(x^3+x^2)^2}+x^3+2x^2+1=\frac{x^2}{x^6+2x^5+x^4}+x^3+2x^2+1$
$\displaystyle =\frac{x^7+4x^6+5x^5+3x^4+2x^3+x^2+1}{x^4+2x^3+x^2}=\frac{x^7+x^5+x^4+x^2+1}{x^4+x^2}=\frac{x^3+x+1}{x^2+x+1}=(x^3+x+1)(x^2+x)$
$=x^5+x^4+x^3+2x^2+x=x^5+x^4+x^3+x=x^3+x^2+x+1$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2+x+1)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+x+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+x+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+x+1)^2}=\frac{x^2}{(x^3+x+1)^2}+x^3+x^2+x+2$
$\displaystyle =\frac{x^2}{x^6+2x^4+2x^3+x^2+2x+1}+x^3+x^2+x+2=\frac{x^9+x^8+3x^7+6x^6+5x^5+9x^4+8x^3+6x^2+5x+2}{x^6+2x^4+2x^3+x^2+2x+1}$
$\displaystyle =\frac{x^9+x^8+x^7+x^5+x^4+x}{x^6+x^2+1}=\frac{x+1}{x^3+1}=(x+1)(x)=x^2+x$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^2+x)=0$
$Z=[x+1,x]$
$Y1=Z1*X=(x+1)(x^3+x+1)=x^4+x^3+x^2+2x+1=x^4+x^3+x^2+1=x^3+x^2+x$
$Y2=Z2*X=(x)(x^3+x+1)=x^4+x^2+x=x^2+1$
$(X,Y)=(x^3+x+1,x^3+x^2+x)=(g^7,g^{11})$和$(x^3+x+1,x^2+1)=(g^7,g^8)$
－－－－－－－－－－－
當$X=x^2+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^2+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2}{(x^2+1)^2}+2x^2+2=\frac{x^2}{x^4+2x^2+1}+2x^2+2=\frac{2x^6+6x^4+7x^2+2}{x^4+2x^2+1}=\frac{x^2}{x^4+1}=x$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x)=0$
$Z=[x^3+x,x^3+x+1]$
$Y1=Z1*X=(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x=x^5+x=x^2$
$Y2=Z2*X=(x^3+x+1)(x^2+1)=x^5+2x^3+x^2+x+1=x^5+x^2+x+1=1$
$(X,Y)=(x^2+1,x^2)=(g^8,g^2)$和$(x^2+1,1)=(g^8,1)$
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+x$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+x)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+x)^2}=\frac{x^2}{(x^3+x)^2}+x^3+x^2+x+1=\frac{x^2}{x^6+2x^4+x^2}+x^3+x^2+x+1$
$\displaystyle =\frac{x^7+x^6+3x^5+3x^4+3x^3+3x^2+x+2}{x^4+2x^2+1}=\frac{x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x}{x^4+1}=\frac{x^3+x^2}{x}=(x^3+x^2)(x^3+1)=x^6+x^5+x^3+x^2=x^2+x$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^2+x)=0$
$Z=[x+1,x]$
$Y1=Z1*X=(x+1)(x^3+x)=x^4+x^3+x^2+x=x^3+x^2+1$
$Y2=Z2*X=(x)(x^3+x)=x^4+x^2=x^2+x+1$
$(X,Y)=(x^3+x,x^3+x^2+1)=(g^9,g^{13})$和$(x^3+x,x^2+x+1)=(g^9,g^{10})$
－－－－－－－－－－－
當$X=x^2+x+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^2+x+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2}{(x^2+x+1)^2}+2x^2+x+2=\frac{x^2}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}+2x^2+x+2$
$\displaystyle =\frac{2x^6+5x^5+10x^4+11x^3+11x^2+5x+2}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}=\frac{x^5+x^3+x^2+x}{x^4+x^2+1}=\frac{x^3}{x^2+x}=(x^3)(x^2+x+1)=x^5+x^4+x^3=x^3+x^2+1$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2+1)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+x^2+x$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+x^2+x)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+x^2+x)^2}=\frac{x^2}{(x^3+x^2+x)^2}+x^3+2x^2+x+1$
$\displaystyle =\frac{x^2}{x^6+2x^5+3x^4+2x^3+x^2}+x^3+2x^2+x+1=\frac{x^7+4x^6+8x^5+11x^4+10x^3+7x^2+3x+2}{x^4+2x^3+3x^2+2x+1}$
$\displaystyle =\frac{x^7+x^4+x^2+x}{x^4+x^2+1}=\frac{x^3+x^2+x}{x^2+x}=(x^3+x^2+x)(x^2+x+1)= x^5+2x^4+3x^3+2x^2+x=x^5+x^3+x=x^3+x^2$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+x^2+x+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+x^2+x+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+x^2+x+1)^2}=\frac{x^2}{(x^3+x^2+x+1)^2}+x^3+2x^2+x+2$
$\displaystyle =\frac{x^2}{x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1}+x^3+2x^2+x+2=\frac{x^9+4x^8+8x^7+14x^6+18x^5+18x^4+16x^3+11x^2+5x+2}{x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+1}$
$\displaystyle =\frac{x^9+x^2+x}{x^6+x^4+x^2+1}=\frac{x^3+x^2}{x^3+x}=(x^3+x^2)(x^3+x^2)=x^6+2x^5+x^4=x^6+x^4=x^3+x^2+x+1$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2+x+1)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+x^2+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+x^2+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+x^2+1)^2}=\frac{x^2}{(x^3+x^2+1)^2}+x^3+2x^2+2$
$\displaystyle =\frac{x^2}{x^6+2x^5+x^4+2x^3+2x^2+1}+x^3+2x^2+2=\frac{x^9+4x^8+5x^7+6x^6+10x^5+6x^4+5x^3+7x^2+2}{x^6+2x^5+x^4+2x^3+2x^2+1}$
$\displaystyle =\frac{x^9+x^7+x^3+x^2}{x^6+x^4+1}=\frac{x^3+x^2+1}{x^3+x^2+x}=(x^3+x^2+1)(x+1)=x^4+2x^3+x^2+x+1=x^4+x^2+x+1=x^2$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^2)=0$
$Z=[x^3+1,x^3]$
$Y1=Z1*X=(x^3+1)(x^3+x^2+1)=x^6+x^5+2x^3+x^2+1=x^6+x^5+x^2+1=x^3+x^2+x+1$
$Y2=Z2*X=(x^3)(x^3+x^2+1)=x^6+x^5+x^3=x$
$(X,Y)=(x^3+x^2+1,x^3+x^2+x+1)=(g^{13},g^{12})$和$(x^3+x^2+1,x)=(g^{13},g)$
－－－－－－－－－－－
當$X=x^3+1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(x^3+1)+(x^2+1)+\frac{x^2}{(x^3+1)^2}=\frac{x^2}{(x^3+1)^2}+x^3+x^2+2=\frac{x^2}{x^6+2x^3+1}+x^3+x^2+2$
$\displaystyle =\frac{x^9+x^8+4x^6+2x^5+5x^3+2x^2+2}{x^6+2x^3+1}=\frac{x^9+x^8+x^3}{x^6+1}=\frac{x^2+x+1}{x^3+x^2+1}=(x^2+x+1)(x^2)=x^4+x^3+x^2=x^3+x^2+x+1$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(x^3+x^2+x+1)=0$
$Z$無解
－－－－－－－－－－－
當$X=1$時
$\displaystyle \beta=X+a+\frac{b}{X^2}=(1)+(x^2+1)+x^2=2x^2+2=0$
解方程式$Z^2+Z+\beta=Z^2+Z+(0)=0$
$Z=[0,1]$
$Y1=Z1*X=(0)(1)=0$
$Y2=Z2*X=(1)(1)=1$
$(X,Y)=(1,0)=(1,0)$和$(1,1)=(1,1)$
(%o13)　$\matrix{[16,[[\infty,\infty],[0,x],[x,x^2],[x,x^2+x],[x^3,x^3+x],[x^3,x],[x^3+x+1,x^2+1],[x^3+x+1,x^3+x^2+x],[x^2+1,x^2],\cr
[x^2+1,1],[x^3+x,x^2+x+1],[x^3+x,x^3+x^2+1],[x^3+x^2+1,x],[x^3+x^2+1,x^3+x^2+x+1],[1,0],[1,1]]]}$

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12^# 大中小發表於 2020-3-3 22:17 只看該作者

將上一篇文章濃縮成一個副程式

要先載入elliptic_curves.mac才能呼叫ec2_set_curve,f2_solve_quadratic
(%i1)　load("elliptic_curves.mac");
(%o1)　C:/maxima-5.43.0/share/maxima/5.43.0/share/contrib/elliptic_curves/elliptic_curves.mac

將numth.lisp取代原本的檔案C:\maxima-5.43.0\share\maxima\5.43.0\src\numth.lisp
讓更正的程式碼能重新載入
(%i2)　load("numth.lisp");
(%o2)　C:/maxima-5.43.0/share/maxima/5.43.0/src/numth.lisp

計算橢圓曲線點個數和坐標副程式
(%i3)
CountingPoints(ReductionPoly,a,b):=block
([count:1,Points:[[inf,inf]]/*將無窮遠點先放入*/,p,g,n,m,Degree,beta,X,Z:[0,0]],
gf_set_data(2,ReductionPoly),/*F[2]/(x^4+x+1)的Galois體*/
[p,ReductionPoly,g,n,m]:gf_infolist(),
ec2_set_curve(ReductionPoly,gf_p2n(a),gf_p2n(b)),/*設定橢圓曲線參數*/
Degree:hipow(ReductionPoly,x),/*x^4+x+1的最高次方Degree=4*/
Points:append(Points,[[0,gf_exp(b,2^(Degree-1))]]),/*當X=0時Y=b^2^(Degree-1)*/
count:count+1,/*當X=0時,Y只有一解(重根)*/
for i:1 thru m do/*m為gf_infolist()除了0之外的Galois體的元素個數*/
(X:gf_exp(g,i),/*X坐標*/
beta:gf_add(gf_add(X,a),gf_div(b,gf_mult(X,X))),/*計算β=X+a+b/X^2*/
Z:f2_solve_quadratic(gf_p2n(beta),Degree),/*解方程式Z^2+Z+β=0*/
if Z#false then/*若Z有解*/
   (Z:[gf_n2p(Z[1]),gf_n2p(Z[2])],
   Points:append(Points,[[X,gf_mult(X,Z[1])],[X,gf_mult(X,Z[2])]]),/*計算Y=X*Z得到Y坐標*/
   count:count+2/*得到2個點坐標*/
   )
),
return([count,Points])
)$

計算$Y^2+XY=X^3+aX^2+b\pmod{2}\pmod{x^4+x+1}$橢圓曲線的點個數和坐標
$a=x^2+1,b=x^2$
(%i4)　[count,Points]:CountingPoints(x^4+x+1,x^2+1,x^2);
(%o4)　$\matrix{[16,[[\infty,\infty],[0,x],[x,x^2],[x,x^2+x],[x^3,x^3+x],[x^3,x],[x^3+x+1,x^2+1],[x^3+x+1,x^3+x^2+x],[x^2+1,x^2],\cr
[x^2+1,1],[x^3+x,x^2+x+1],[x^3+x,x^3+x^2+1],[x^3+x^2+1,x],[x^3+x^2+1,x^3+x^2+x+1],[1,0],[1,1]]]}$

計算以不同的不可分解多項式p(x)的$Y^2+XY=X^3+aX^2+b\pmod{2}\pmod{p(x)}$橢圓曲線點個數
$a=0,b=1$
(%i7)
a:0$
b:1$
for k:1 thru 10 do
  (gf_set_data(2,k),
[p,ReductionPoly,g,n,m]:gf_infolist(),
print("Y"^2,"+XY=X"^3,"+",a,"X"^2,"+",b,"(mod 2) (mod",ReductionPoly,")",
         ",橢圓曲線點個數#E(F",2,""^k,")=",CountingPoints(ReductionPoly,a,b)[1])
  )$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2})=4$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^2+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^2})=8$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^3+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^3})=4$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^4+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^4})=16$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^5+x^2+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^5})=44$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^6+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^6})=56$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^7+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^7})=116$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^8+x^4+x^3+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^8})=288$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^9+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^9})=508$
$Y^2+XY=X^3+0X^2+1 \pmod{2} \pmod{x^{10}+x^3+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{10}})=968$

計算以不同的不可分解多項式p(x)的$Y^2+XY=X^3+aX^2+b\pmod{2}\pmod{p(x)}$橢圓曲線點個數
$a=1,b=1$
(%i10)
a:1$
b:1$
for k:1 thru 10 do
  (gf_set_data(2,k),
[p,ReductionPoly,g,n,m]:gf_infolist(),
print("Y"^2,"+XY=X"^3,"+",a,"X"^2,"+",b,"(mod 2) (mod",ReductionPoly,")",
         ",橢圓曲線點個數#E(F",2,""^k,")=",CountingPoints(ReductionPoly,a,b)[1])
  )$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2} )=2$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^2+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^2})=8$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^3+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^3})=14$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^4+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^4})=16$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^5+x^2+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^5})=22$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^6+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^6})=56$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^7+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^7})=142$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^8+x^4+x^3+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^8})=288$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^9+x+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^9})=518$
$Y^2+XY=X^3 + 1 X^2 + 1 \pmod{2} \pmod{x^{10}+x^3+1}$,橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{10}})=968$

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bugmens

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13^# 大中小發表於 2020-3-22 08:15 只看該作者

美國國家標準暨技術研究院(National Institute of Standards and Technology，NIST)在FIPS.186-4文件中推薦數個二元橢圓曲線參數
二元橢圓曲線還分為pseudo-random curve($E：y^2+xy=x^3+x^2+b$)和koblitz curve($E：y^2+xy=x^3+ax^2+1，a=0$或1)兩類。
其中koblitz curve可由二階遞迴數列算出在不同$GF(F_{q^n})$，$q=2$下橢圓曲線點個數，計算方式如下(第107頁)。
1.計算在$GF(F_q)$下的橢圓曲線點個數#$E(F_q)$。
2.求出frobenius trace $t=q+1-$#$E(F_q)$。
3.二階遞迴數列$V_n$為
　$V_0=2,V_1=t$
　$V_n=V_1V_{n-1}-qV_{n-2}$
4.在$GF(F_{q^n})$的橢圓曲線點個數為#$E(F_{q^n})=q^n+1-V_n$

以下就koblitz curve不同$a$值進行公式推導

當$a=0$時 $E：y^2+xy=x^3+0x^2+1$	當$a=1$ $E：y^2+xy=x^3+1x^2+1$
1.在$GF(F_2)$下的橢圓曲線點個數 $E(F_2)=\{\;(\infty,\infty),(0,1),(1,0),(1,1) \}\;$ #$E(F_2)=4$ 2.frobenius trace $t$ $t=q+1-$#$E(F_2)=2+1-4=-1$ 3.二階遞迴數列$V_n$ $V_0=2,V_1=t=-1$ $V_n=V_1V_{n-1}-qV_{n-2}=-V_{n-1}-2V_{n-2}$ 4.在$GF(F_{2^n})$的橢圓曲線點個數 #$E(F_{2^n})=2^n+1-V_n$	1.在$GF(F_2)$下的橢圓曲線點個數 $E(F_2)=\{\;(\infty,\infty),(0,1) \}\;$ #$E(F_2)=2$ 2.frobenius trace $t$ $t=q+1-$#$E(F_2)=2+1-2=1$ 3.二階遞迴數列$V_n$ $V_0=2,V_1=t=1$ $V_n=V_1V_{n-1}-qV_{n-2}=V_{n-1}-2V_{n-2}$ 4.在$GF(F_{2^n})$的橢圓曲線點個數 #$E(F_{2^n})=2^n+1-V_n$

再解出$V_n$一般式

求二階遞迴數列$V_n+V_{n-1}+2V_{n-2}=0$一般式
特徵方程式為$x^2+x+2=0$，得二根$\displaystyle x={-1\pm \sqrt{7}i \over 2}$
設一般式$\displaystyle V_n=c_1 \left({-1-\sqrt{7}i}\over 2\right)^n+c_2 \left({-1+\sqrt{7}i}\over 2\right)^n$
將$V_0=2,V_1=-1$代入得到$\cases{\displaystyle c_1+c_2=2 \cr c_1 \left({-1-\sqrt{7}i}\over 2\right)+c_2 \left({-1+\sqrt{7}i}\over 2\right)=-1}$
解出$c_1=c_2=1$
一般式$\displaystyle V_n=\left({-1-\sqrt{7}i}\over 2\right)^n+ \left({-1+\sqrt{7}i}\over 2\right)^n$

求二階遞迴數列$V_n-V_{n-1}+2V_{n-2}=0$一般式
特徵方程式為$x^2-x+2=0$，得二根$\displaystyle x={1\pm \sqrt{7}i \over 2}$
設一般式$\displaystyle V_n=c_1 \left({1-\sqrt{7}i}\over 2\right)^n+c_2 \left({1+\sqrt{7}i}\over 2\right)^n$
將$V_0=2,V_1=1$代入得到
$\cases{\displaystyle c_1+c_2=2 \cr c_1 \left({1-\sqrt{7}i}\over 2\right)+c_2 \left({1+\sqrt{7}i}\over 2\right)=1}$
解出$c_1=c_2=1$
一般式$\displaystyle V_n=\left({1-\sqrt{7}i}\over 2\right)^n+ \left({1+\sqrt{7}i}\over 2\right)^n$

當$a=0$時$E：y^2+xy=x^3+0x^2+1$的二階遞迴數列
(%i3)
V[0]:2;
V[1]:-1;
V[n]:=V[1]*V[n-1]-2*V[n-2];
(V[0])　2
(V[1])　$-1$
(V[n])　$V_n:=V_1V_{n-1}-2V_{n-2}$

利用二階遞迴數列計算$GF(F_{2^2})$到$GF(F_{2^{10}})$橢圓曲線點個數，符合上一篇執行結果
(%i4)
for n:2 thru 10 do
  (print("V[",n,"]=V[1]*V[",n-1,"]-2V[",n-2,"]=(",V[1],")*(",V[n-1],")-2*(",V[n-2],")=",V[n],
         "，橢圓曲線點個數#E(F 2"^n,")=2"^n,"+1-V[",n,"]=",2^n+1-V[n])
  );
$V[2]=V[1]*V[1]-2V[0]=(-1)*(-1)-2*(2)=-3$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^2})=2^2+1-V[2]=8$
$V[3]=V[1]*V[2]-2V[1]=(-1)*(-3)-2*(-1)=5$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^3})=2^3+1-V[3]=4$
$V[4]=V[1]*V[3]-2V[2]=(-1)*(5)-2*(-3)=1$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^4})=2^4+1-V[4]=16$
$V[5]=V[1]*V[4]-2V[3]=(-1)*(1)-2*(5)=-11$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^5})=2^5+1-V[5]=44$
$V[6]=V[1]*V[5]-2V[4]=(-1)*(-11)-2*(1)=9$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^6})=2^6+1-V[6]=56$
$V[7]=V[1]*V[6]-2V[5]=(-1)*(9)-2*(-11)=13$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^7})=2^7+1-V[7]=116$
$V[8]=V[1]*V[7]-2V[6]=(-1)*(13)-2*(9)=-31$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^8})=2^8+1-V[8]=288$
$V[9]=V[1]*V[8]-2V[7]=(-1)*(-31)-2*(13)=5$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^9})=2^9+1-V[9]=508$
$V[10]=V[1]*V[9]-2V[8]=(-1)*(5)-2*(-31)=57$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{10}})=2^{10}+1-V[10]=968$
(%o4)　done

當$a=0$時，NIST建議以下4種koblitz橢圓曲線
(%i5)　Degree:[233,283,409,571];
(Degree)　$\left[233,283,409,571 \right]$

計算橢圓曲線點個數
(%i6)
for d in Degree do
  (print("K-",d,"橢圓曲線"),
print("V[",d,"]=(",(-1-sqrt(7)*%i)/2,")"^d,"+(",(-1+sqrt(7)*%i)/2,")"^d,"=",V[d]),
print("橢圓曲線點個數#E(F 2"^d,")=2"^d,"+1-V[",d,"]=",2^d+1-V[d])
  );
$K-233$橢圓曲線
$ \displaystyle V[\;233]\;=\left({-\sqrt{7}\%i-1 \over 2}\right)^{233}+\left({\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{233}=-137381546011108235394987299651366779$
橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{233}})=2^{233}+1-V[\;233]\;=13803492693581127574869511724554051042283763955449008505312348098965372$
$K-283$橢圓曲線
$ \displaystyle V[\;283]\;=\left({-\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{283}+\left({\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{283}=7777244870872830999287791970962823977569917$
橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{283}})=2^{283}+1-V[\;283]\;=$
$15541351137805832567355695254588151253139246935172245297183499990119263318817690415492$
$K-409$橢圓曲線
$ \displaystyle V[\;409]\;=\left({-\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{409}+\left({\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{409}=10457288737315625927447685387048320737638796957687575791173829$
橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{409}})=2^{409}+1-V[\;409]\;=$
$1322111937580497197903830616065542079656809365928562438569297580091522845156996764202693033831109832056385466362470925434684$
$K-571$橢圓曲線
$ \displaystyle V[\;571]\;=\left({-\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{571}+\left({\sqrt{7}\%i-1\over 2}\right)^{571}=-148380926981691413899619140297051490364542574180493936232912339534208516828973111459843$
橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{571}})=2^{571}+1-V[\;571]\;=$
$7729075046034516689390703781863974688597854659412869997314470502903038284579120849072535914090826847338826851203301405845094699896266469247718729686468370014222934741106692$
(%o6)　done

刪除$V_n$數列定義
(%i7)　kill(V);
(%o7)　done

當$a=1$時$E：y^2+xy=x^3+1x^2+1$的二階遞迴數列
(%i10)
V[0]:2;
V[1]:1;
V[n]:=V[1]*V[n-1]-2*V[n-2];
(V[0])　2
(V[1])　1
(V[n])　$V_n:=V_1V_{n-1}-2V_{n-2}$

利用二階遞迴數列計算$GF(F_{2^2})$到$GF(F_{2^{10}})$橢圓曲線點個數，符合上一篇執行結果
(%i11)
for n:2 thru 10 do
  (print("V[",n,"]=V[1]*V[",n-1,"]-2V[",n-2,"]=(",V[1],")*(",V[n-1],")-2*(",V[n-2],")=",V[n],
         "，橢圓曲線點個數#E(F 2"^n,")=2"^n,"+1-V[",n,"]=",2^n+1-V[n])
  );
$V[2]=V[1]*V[1]-2V[0]=(1)*(1)-2*(2)=-3$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^2})=2^2+1-V[2]=8$
$V[3]=V[1]*V[2]-2V[1]=(1)*(-3)-2*(1)=-5$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^3})=2^3+1-V[3]=14$
$V[4]=V[1]*V[3]-2V[2]=(1)*(-5)-2*(-3)=1$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^4})=2^4+1-V[4]=16$
$V[5]=V[1]*V[4]-2V[3]=(1)*(1)-2*(-5)=11$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^5})=2^5+1-V[5]=22$
$V[6]=V[1]*V[5]-2V[4]=(1)*(11)-2*(1)=9$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^6})=2^6+1-V[6]=56$
$V[7]=V[1]*V[6]-2V[5]=(1)*(9)-2*(11)=-13$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^7})=2^7+1-V[7]=142$
$V[8]=V[1]*V[7]-2V[6]=(1)*(-13)-2*(9)=-31$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^8})=2^8+1-V[8]=288$
$V[9]=V[1]*V[8]-2V[7]=(1)*(-31)-2*(-13)=-5$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^9})=2^9+1-V[9]=518$
$V[10]=V[1]*V[9]-2V[8]=(1)*(-5)-2*(-31)=57$，橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{10}})=2^{10}+1-V[10]=968$
(%o11)　done

當$a=1$時，NIST建議以下1種koblitz橢圓曲線
(%i12)　d:163;
(d)　163

計算橢圓曲線點個數
(%i15)
print("K-",d,"橢圓曲線")$
print("V[",d,"]=(",(1-sqrt(7)*%i)/2,")"^d,"+(",(1+sqrt(7)*%i)/2,")"^d,"=",V[d])$
print("橢圓曲線點個數#E(F 2"^d,")=2"^d,"+1-V[",d,"]=",2^d+1-V[d])$
$K-163$橢圓曲線
$\displaystyle V[\;163]\;=\left( {1-\sqrt{7}\%i \over 2} \right)^{163}+\left( {\sqrt{7}\%i+1 \over 2} \right)^{163}=-4845466632539410776804317$
橢圓曲線點個數#$E(F_{2^{163}})=2^{163}+1-V[\;163]\;=11692013098647223345629483507196896696658237148126$

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14^# 大中小發表於 2020-3-28 14:56 只看該作者

橢圓曲線加密的安全性倚賴橢圓曲線離散對數問題(Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem，ECDLP)的困難度上，橢圓曲線離散對數問題敘述如下：

令$E$為基於二元體$F_{2^n}$的橢圓曲線，$P,Q$為橢圓曲線上的點坐標($P,Q\in E(F_{2^n})$)且$Q=kP,k\in N$，當$n$很大時，計算$k$值非常困難。

解決橢圓曲線離散對數問題的方法會在另一篇文章討論，這裡僅示範暴力搜尋法找出$k$值。
可惜在C:\maxima-5.43.0\share\maxima\5.43.0\share\contrib\elliptic_curves\ec2.lisp程式碼中沒有解橢圓曲線離散對數問題的指令

要先載入elliptic_curves.mac才能呼叫ec2_set_curve,ec2_add
(%i1)　load("elliptic_curves.mac");
(%o1)　C:/maxima-5.43.0/share/maxima/5.43.0/share/contrib/elliptic_curves/elliptic_curves.mac

$y^2+xy=x^3+ax^2+b\pmod{2}\pmod{x^4+x+1}$的橢圓曲線
$a=g^8=x^2+1=101_2=5_{10}$，$b=g^2=x^2=100_2=4_{10}$
(%i3)
[ReductionPoly,a,b]:[x^4+x+1,5,4];
ec2_set_curve(ReductionPoly,a,b);
(%o2)　$[x^4+x+1,5,4]$
(%o3)　true

$P,Q$兩點坐標
$P=[g^3,g^9]=[x^3,x^3+x]=[1000_2,1010_2]=[8_{10},10_{10}]$
$Q=[g^{13},g^1]=[x^3+x^2+1,x]=[1101_2,10_2]=[13_{10},2_{10}]$
(%i5)
P:[8,10];
Q:[13,2];
(P)　$[8,10]$
(Q)　$[13,2]$

計算$2P,3P,\ldots,kP$，看何時等於$Q$
(%i7)
kP: P$
for k:2 thru 15 do
  (print(k," P=",kP:ec2_add(P,kP)),
if kP=Q then
   (return(k))
  );
$2P=[2,6]$
$3P=[10,13]$
$4P=[5,4]$
$5P=[11,5]$
$6P=[1,0]$
$7P=[13,15]$
$8P=[0,2]$
$9P=[13,2]$
(%o7)　9

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