感謝提供試題。

隨機變數這題，可以用期望值的性質。即令 Xi  i.i.d. 的白努力試驗，滿足 Xi=0 或 1，而且 P(Xi=1)=p

則 X1+X2+X3++Xn 和 X 有相同之分布，故期望值和變數異皆相相等。

而得 E(X)=np, Var(X)=np(1−p)

三平面這題

令 ni=(aibici)。若 =0 ，則方程式有唯一解，而得三平面交於一點，故 =0，所以 ni's 線性相依。

不失一般性可假設 n3=n1+n2

將第三式減法 ( 第一式乘法 及第二式乘上 ) 可得一新的方程組，記之為

a1x+b1y+c1za2x+b2y+c2z0x+0y+0z=d1=d2=，其中 =d3−d1−d2。

由三平面相交之情，得 =0 和 n1n2=0
(感謝 casanova，指出筆誤，紅字部分已修正之)

注意這樣的消去(列運算，不改變各行列式之值。

故 xyx=n1n2=0

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 11:35 PM 編輯 ]

寫寫 12 題

sinxsin9x+cosxcos9x=sin2x2sin10x。

令 t=2x，則上式為 sint2sin5t。

由和角公式、及 cosx1 可遞推得 sinntnsintnN

故得 −10sint2sin5t10，而當 t0 時，其值收斂至 10；當 t 其值收斂至 −10
(紅字是錯的，下界估錯了，那極限也是正的...)
--------------以下刪除----------------

原本不想用 5 倍的式子，看來失敗了

令 y=sint

則 \begin{aligned}\sin5t & =\sin3t\cos2t+\cos3t\sin2t\\ & =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2y(4\cos^{4}y-3\cos^{2}y)\\ & =(3y-4y^{3})(1-2y^{2})+2t(4(1-y^{2})^{2}-3(1-y^{2}))\\ & =16y^{5}-20y^{3}+5y \end{aligned}

當 \sin t\neq0 ，時 \frac{\sin5}{\sin t}=16y^{4}-20y^{2}+5=16(y^{2}-\frac{5}{8})^{2}-\frac{5}{4}

而 0 < y^2 \leq 1 ，故其值域為 [-\frac{5}{2}, 10)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-11 10:24 PM 編輯 ]

對，是個筆誤，謝謝！

第8題.

a_{n}-[a_{n}]=\begin{cases} \frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\ \frac{2}{3} & \mbox{, n is even} \end{cases} ，由此可得 a_{n+1}=\begin{cases} a_{n}+\frac{1}{3} & \mbox{, n is odd}\\ a_{n}+\frac{2}{3} & \mbox{, n is even} \end{cases}  \Rightarrow a_{n+2}+a_{n+1}=a_{n+1}+a_{n}+1 ( 1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3} )。

又 a_{1}+a_{2}=1 ，故得 a_{n}+a_{n+1}=n 。

第 9 題，這樣的級數看起來像黎曼和，稍微試一下

\displaystyle \frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\frac{2}{n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}} ，故 \displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{4k}{\sqrt{n^{4}+4k^{2}n^{2}}}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{2} {n}\cdot\frac{\frac{2k}{n}}{\sqrt{1+\left(\frac{2k}{n}\right)^{2}}}

其為 \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx 之黎曼和，故其極限為 \int_{0}^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\sqrt{1+x^{2}}\Big|_{0}^{2} = \sqrt{5}-1 。

計算 12 試著玩看看，難然沒有用到  5 倍角，但不見得比較高明

令 t=2x ，則 \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=\frac{\sin10x}{\sin2x}=\frac{\sin5t}{\sin t} 。

注意這個過程，我們應用了二倍角公式進行化簡。如果要再玩一次，就乘個 \frac{\cos t}{\cos t} 給它，就會有

\frac{\sin5t}{\sin t}=\frac{\sin5t\cos t}{\sin t\cos t}=\frac{\sin6t+\sin4t}{\sin2t} ，再令 y=2t=4x 。

則又可改寫為 \frac{\sin3y+\sin2y}{\sin y}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 。

上面的式子，嚴謹一點，應該寫作「若 \sin t\neq0 且 \cos t\neq0 ，則 \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 」

但其兩端函數在 t 使得 \cos t=0 處，皆連續，因此可寫為 「若 \sin t\neq0 ，則 \frac{\sin5t}{\sin t}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 」

故當 \sin x\neq0 且 \cos x\neq0 時 \frac{\sin9x}{\sin x}+\frac{\cos9x}{\cos x}=4\cos^{2}y+2\cos y-1 ，其中 y=4x 。

因此 \cos y=-\frac{1}{4} 時，上式有最小值 -\frac{5}{4} 。

第8題. 不知道是示怎麼來的，我不知該說什麼

沒有想法的時候，就單純代代數字，看看可以看到什麼

\left\langle a_{n}\right\rangle :\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{7}{3},\frac{8}{3},\frac{10}{3},\frac{11}{3},\ldots

自己代，應該是看得出規則(律)的