令 P(x)=(x−)(x−)，由 P(x2+4x−7)=0 有一根為 1 可得 =−2 或 =−2

不失一般性，令 =−2

又 P(x2+4x−7)=(x2+4x−7+2)(x2+4x−7−)=(x+5)(x−1)(x2+4x−7−) 有重根

因此此重根為 1 或 -5， 或者 x2+4x−7−=0   有重根

因此得 =−2 或 −11

故 P(5)=(5+2)2=49  或 (5+2)(5+11)=112

第3題

以下的記號是 a=a1, n=k

2a+a+(n−1)n=2000(2a+n−1)n=4000

n4000 又 2a=n4000−(n2−n)0n63 。

而 4000=2553 ，由 n4000 及 2n63，得 n  之可能有 248163251020402550 。

但 2a  為偶數可得 2481610204050  不合。 (這些 n  使得 n4000−n+1= 偶- 偶+1= 奇)

故 (na)=(3247)(5398)(2568) 。

第4題，方法是對的，應該只是計算錯誤而已

bc=(−12−1)，故平面 E 之方程式為 x−2y+z=0

點 P(157) 到平面之距離為 61−10+7=36 

這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，

個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分

倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能

計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：

令 A(a0)  B(0b)，其中 a2+b2=1，則有 P 之坐標可為 (xy)=(2a+b2b+a) 或 (a−2b2b−a)。

1. 若 P 之坐標為 (xy)=(2a+b2b+a)，可得 b=34x−2y, a=34y−2x。

(34x−2y)2+(34y−2x)2=120x2−32xy+20y2=9，由判別式 162−2020，知為一橢圓。

注意 (ab)(xy) 為 R2R2 的1-1 onto 映射。故以橢圓上的任一點 (xy)，皆可逆推找到 A(a0), B(0b) 滿足 a2+b2=1，使得 P 之坐標為 (xy)。

2. 若 P 之坐標為 (xy)=(2a−b2b−a)，可得 b=−34x+2y, a=−32x+4y。

(−32x+4y)2+(−34x+2y)2=120x2+32xy+20y2=9，由判別式 162−2020，知為一橢圓。

注意 (ab)(xy) 為 R2R2 的對射。故以橢圓上的任一點 (xy)，皆可逆推找到 A(a0), B(0b) 滿足 a2+b2=1，使得 P 之坐標為 (xy)。

綜合以上，軌跡為 (xy)20x232xy+20y2=9，其圖形為兩橢圓。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-18 07:22 PM 編輯 ]