填充2.
設\( x,y \in R \)，\( x \ne 0 \)，則函數\( f(x,y)=(x+y)^2+(\frac{1}{x}-y)^2 \)的最小值是
。
[解答]
\( \displaystyle f(x,y)=x^2+2xy+y^2+\frac{1}{x^2}-\frac{2y}{x}+y^2=(x-\frac{1}{x})^2+2-2y(x-\frac{1}{x})+y^2+y^2=(x-\frac{1}{x}-y)^2+y^2+2 \)
當\( x=\pm 1,y=0 \)時有最小值2
103.4.21補充
感謝Superconan指正，這是計算3
計算3.
(1)如下圖，\( \overline{AE}=4 \)，\( \overline{AD}=2 \)，\( \overline{AB}=3 \)，\( \overline{AE} \)中有一點Q使\( \overline{AQ}:\overline{QE}=3:1 \)，且P為\( \overline{CG} \)中點，問平面BPQ在此長方體的截痕為幾邊形？
(2)同上題，以兩種方法解說給學生聽。
(3)求平面BPQ把此長方體截成兩半後，較小那塊之體積。
[解答]
(1)五邊形
(2)除了坐標化的方法外也可以將長方體展開，\( \overline{BP} \)交\( \overline{GH} \)於I，\( \overline{BQ} \)交\( \overline{HE}\)於J，故BPIJQ為五邊形
(3)
感謝linteacher提供想法
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... t=3269&start=20
較大塊體積=最大的四面體-3個小四面體\( \displaystyle =\frac{1}{6}(5^3-1^3-2^3-3^3)=\frac{89}{6} \)
較小塊體積=長方體-較大塊體積\( \displaystyle =2 \times 3 \times 4-\frac{89}{6}=\frac{55}{6} \)
103.75補充
計算4.
□□□□□□□□□□ 十個格子塗紅、黃、綠三色，相鄰不同色
(1) 若第1格和第10格不同色，方法數為何？
(2) 若第1、5、10都不同色，方法數為何？
以下的題目取自凡異出版社出版的"遞歸數列"一書中第149頁練習五
6.
考慮一個\( 1 \times n \)格棋盤，假定我們對棋盤的每個方格用紅、藍兩種顏色著色，相鄰兩格不能著紅色。令\( a_n \)表示沒有任何兩個相鄰的方格著紅色的著色個數。試建立\( a_n \)所滿足的遞歸方程，並求出\( a_n \)的表達式。
[解答]
若第一格著的是藍色，那麼餘下的\( (n-1) \)格符合題意的著色方法有\( a_{n-1} \)種，若第一格著的是紅色，那麼第二格只能著藍色，餘下的\( (n-2) \)格符合題意的著色方法有\( a_{n-2} \)個，所以\( a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \)。
7.
考慮一個\( 1 \times n \)格棋盤，使用m種顏色的全部或其中幾種顏色將這棋盤著色，並且：一、相鄰兩格顏色要不同；二、相鄰兩格及兩端的兩格也要著成不同的顏色。並設一、二的著色方法數分別為\( a_n \)與\( b_n \)，\( m \ge 3 \)。那麼：
(1)求\( b_2 \)，並用m、n表示\( a_n \)；
(2)當\( n \ge 3 \)時，求\( b_n \)，\( b_{n-1} \)與\( a_n \)之間的關係；
(3)用m,n表示\( b_n \)。
[解答]
(1)
第一格著色有m種方法，則第二格有\( m-1 \)種方法，所以兩端兩格的著色方法有\( b_2=m(m-1) \)種。
\( a_n =(m-1)a_{n-1} \)，\( a_1=m \)，\( a_n=m(m-1)^{n-1} \)。
(2)
對於(1)中的\( a_n \)，它的兩端有兩種可能性：第一種是兩端不同的顏色，所以應有\( b_n \)種方法；第二種是兩端著相同的顏色，那麼它相當於\( (n-1) \)格的兩端著不同的顏色的情況，即有\( b_{n-1} \)種方法，所以\( a_n=b_n+b_{n-1} \)。
(3)
\( b_n+b_{n-1}=m(m-1)^{n-1} \)
使用待定係數法設\( b_n-km(m-1)^n=(-1) \cdot [b_{n-1}-km(m-1)^{n-1}] \)
移項得\( b_n+b_{n-1}=km(m-1)^n+km(m-1)^{n-1} \)
和原式比較係數得\( m(m-1)^{n-1}=km(m-1)^n+km(m-1)^{n-1} \)，得\( \displaystyle k=\frac{1}{m} \)
\( b_n-(m-1)^n=(-1)^1[b_{n-1}-(m-1)^{n-1}]=(-1)^2[b_{n-2}-(m-1)^{n-2}]=\ldots=(-1)^{n-2}[b_2-(m-1)^2] \)
將\( b_2=m(m-1) \)代入
\( b_n-(m-1)^n=(-1)^{n-2}[m(m-1)-(m-1)^2]=(m-1)(-1)^{n-2} \)
\( b_n=(m-1)(-1)^{n-2}+(m-1)^n \)
將\( (-1)^{n-2} \)改成\( (-1)^n \)和\( (m-1)^n \)次方一致
得\( b_n=(m-1)(-1)^n+(m-1)^n \)
計算5.
有一線段交x軸於\( (t,0) \)，交y軸於\( (0,1-t) \)，\( 0 \le t \le 1 \)，求此線段形成的圖形與x、y軸圍成區域的面積。
[解答]
http://140.122.140.2/~cyc/m1117.doc
我是參考陳創義老師在第一頁的結論
包絡線\( \alpha(\lambda)=(x(\lambda),y(\lambda)) \)滿足
\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{F(x(\lambda),y(\lambda),\lambda)=0 \cr F_{\lambda}(x(\lambda),y(\lambda),\lambda)=0} \)
\( \overline{AB} \)的直線方程式為\( \displaystyle y=\frac{t-1}{t}x+1-t \)，令\( \displaystyle F=x-\frac{x}{t}-y+1-t=0 \)
F函數對t微分，\( \displaystyle F_t=\frac{x}{t^2}-1=0 \) ， \( t=\pm \sqrt{x} \)(負不合)
\( t=\sqrt{x} \)代入F函數
\( x-\frac{x}{\sqrt{x}}-y+1-\sqrt{x}=0 \) ， \( (\sqrt{x}-1)^2=(\pm \sqrt{y})^2 \) ， 取第一象限的\( \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \)
[
本帖最後由 bugmens 於 2014-7-5 10:20 AM 編輯 ]
