標題: 反函數 [打印本頁]

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作者: 耳東陳    時間: 2024-10-8 12:56     標題: 反函數

已知f(x)與g(x)為定義在所有實數上的實係數多項函數，
若f(g(x))=x, 則g(f(x))=x
請問是正確的嗎？要如何證明？

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作者: weiye    時間: 2024-10-9 09:47

若 f(x) 與 g(x) 分別為 m 次、n 次多項式，

則 f(g(x)) 為 m×n 次多項式，得 m×n = 1 ⇒ m = n = 1。

令 f(x) = ax+b, g(x) = cx+d ，其中 ac ≠ 0，

由於 f(g(x)) =a ( c x+d) + b =  ac x + ad + b = x，得 ac = 1 且  ad+b = 0。

因此 g(f(x)) = c ( a x+b) + d  = ac x + bc+d = 1 × x + b ×(1/a) + d = x + (b+ad)/a = x  。

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作者: 耳東陳    時間: 2024-10-9 10:32     標題: 回覆 2# weiye 的帖子

感謝老師的回覆

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