Math Pro 數學補給站

標題: 113彰化高中 [打印本頁]

作者: kobelian 時間: 2024-4-25 11:24 標題: 113彰化高中

想請問老師 5 6 9

附件: 113年彰化高中試題解答.pdf (2024-4-25 11:24, 337.85 KB) / 該附件被下載次數 437
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7007&k=e0b983693f319735da8dafc2ba41875c&t=1716070917

附件: 113年彰化高中試題.pdf (2024-4-25 11:24, 376.62 KB) / 該附件被下載次數 495
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7008&k=f6081dbebe0bb90f1bb6cff6f3067a69&t=1716070917

作者: bugmens 時間: 2024-4-25 11:50

3.
數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_{n-1}=a_n+a_{n-2}\)，\(n\ge 3\)，設此數列前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(s_{2023}=2024\)，\(S_{2024}=2023\)，則\(S_{2025}=\)？

8.
設虛數\(z\)滿足\(z^7=1\)，求\(z+z^2+z^4=\)？
(110桃園高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3512&page=1#pid22742)

10.
四面體\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{10}\)，\(\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{BD}=\sqrt{7}\)，求此四面體的體積？

空間中，四面體\(A-BCD\)，\(\overline{AB}=\overline{CD}=6\)，\(\overline{AC}=\overline{AD}=\overline{BC}=5\)，\(\overline{BD}=7\)，求四面體\(A-BCD\)的體積為　　　。
(101文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=7#pid5431)

作者: zj0209 時間: 2024-4-25 20:53

請教一下第7題第12題謝謝

作者: thepiano 時間: 2024-4-25 22:30 標題: 回覆 1# kobelian 的帖子

第 6 題
外心 O、重心 G、垂心 H
HG = 2OG

以下向量符號省略
|OA + OB + OC| = |OG + GA + OG + GB + OG + GC| = 3|OG| = √3
|HA + HB + HC| = |HG + GA + HG + GB + HG + GC| = 3|HG| = 6|OG| = 2√3

第 9 題
先猜 a = b = c，第二式不合
再猜 a + b = c = 16，合
√a、√b、√c 是直角三角形之三邊長
面積 = (1/2)√(ab) ≦ (1/2)(1/2)(a + b) = 4

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-25 23:19 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2024-4-25 22:39

引用:

原帖由 zj0209 於 2024-4-25 20:53 發表
請教一下第7題第12題謝謝

#7
設A^3+3A²+A-2=0 的三根為x², -y² ,1/z²
(原想法有誤,恕刪)
後面解法請參考15樓Hawlee老師說明
彰中給錯答案了,請參考21樓
用Mathematica軟體檢驗說明

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-27 00:25 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 00:19

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-4-25 11:24 發表
想請問老師 5 6 9

#5
原式=> (以下z~表示z的bar)
12z*(z~)=2(z+2)(z~+2)+(z²+1)[(z~)²+1]+31
整理得[z+(z~)+2]²+[z*(z~)-6]²=0
z+6/z = z+z~ = -2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 00:33 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-26 05:50

我理解了謝謝Ellipse老師

作者: thepiano 時間: 2024-4-26 08:20 標題: 回覆 3# zj0209 的帖子

第 12 題
sinθ = a ＞ 0
cosθ = b ＞ 0
sinψ = c ＞ 0
cosψ = d ＞ 0
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1

原題改為 a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022 = 1，求 a^2023 - d^2023

(a^2024/d^2022 + b^2024/c^2022)(d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020) ≧ (a^2 + b^2)^2 = 1
等號成立於 (a/d)^2024) = (b/c)^2024，ac = bd，θ + ψ = π/2
此時 d^2022/a^2020 + c^2022/b^2020 = 1

所求 = (sinθ)^2023 - (cosψ)^2023 = 0

作者: std310185 時間: 2024-4-26 09:22

版上老師好，小弟想問一下13，感謝感謝

感謝E大老師提醒，不好意思漏看5 ><!!

[ 本帖最後由 std310185 於 2024-4-26 10:26 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-26 10:12

謝謝鋼琴老師

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 10:25

引用:

原帖由 std310185 於 2024-4-26 09:22 發表

版上老師好，小弟想問一下5跟13，感謝感謝

#5上面已答

#13
利用題目數據
可令f(c)=abc=c^3-5c^2+7c
f '(c)=3c^2-10c+7
當f '(c)=0,c=1或7/3
[且由柯西不等式得(a^2+b^2)(1+1)>=(a+b)^2
2(11-c^ 2)>=(5-c)^2,
3c^2-10c+3<=0,1/3<=c<=3 ]
又f(1/3)=(1/3)^3-5(1/3)^2+7*(1/3)=49/27
f(1)=1-5+7=3
f(7/3)=(7/3)^3-5(7/3)^2+7*(7/3)=49/27
f(3)=27-45+21=3
所求=M+m=3+49/27=130/27

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 13:28 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2024-4-26 12:40 標題: 回覆 9# std310185 的帖子

第 13 題
a + b + c = 5
b + c = 5 - a

ab + bc + ca = a(5 - a) + bc = 7
a^2 - 5a + 7 = bc ≦ [(b + c)/2]^2 = [(5 - a)/2]^2
1/3 ≦ a ≦ 3

abc = a(a^2 - 5a + 7) = a^3 - 5a^2 + 7a
f(a) = a^3 - 5a^2 + 7a
f'(a) = 3a^2 - 10a + 7 = (a - 1)(3a - 7) = 0
a = 1 or 7/3

f(1) = 3，f(7/3) = 49/27
f(3) = 3，f(1/3) = 49/27

M + m = 3 + 49/27 = 130/27

作者: std310185 時間: 2024-4-26 13:00

感謝鋼琴老師回答，我小菜雞一枚
想問說老師您中間有用到算幾 -- bc <= [(b+c)/2]^2
但題目沒提到說b c為非負實數，這樣沒關係嗎@@?!
再次感謝鋼琴老師!

作者: thepiano 時間: 2024-4-26 13:17 標題: 回覆 13# std310185 的帖子

別這樣說，有疑問是好事，錯了就修正

[(b + c)/2]^2 - bc
= (b^2 + 2bc + c^2)/4 - bc
= (b - c)^2/4
≧ 0

作者: Hawlee 時間: 2024-4-26 14:16

想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那裡思路有誤?

作者: farmer 時間: 2024-4-26 20:12

答案有誤

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

作者: Hawlee 時間: 2024-4-26 21:18

謝謝老師
另外想再請問計算一

作者: Dragonup 時間: 2024-4-26 22:21 標題: 回覆 17# Hawlee 的帖子

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 22:36

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-26 22:55 編輯 ]

作者: Hawlee 時間: 2024-4-26 22:59 標題: 回覆 18# Dragonup 的帖子

喔喔看懂了，謝謝

另外還想再請問填充15，17，謝謝

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 02:26 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2024-4-26 23:16

引用:

原帖由 Hawlee 於 2024-4-26 14:16 發表
想請問第七題，題目說xyz屬於實數，若用x^2，-y^2，1/z^2 去解t^3+3t^2+t-2=0的根
但t^3+3t^2+t-2=0的根，有一正二負，
x^2，1/z^2 為正根必相同，所以-y^2有兩種情況討論
算出來根去求答案，算出7-根號5，與 (9-根號5)/2，不知道是否有那 ...

您寫得沒有錯,出題者可能想用構造法來解
忽略了正負根重根的問題
出這種題目要很小心,它總共有216組解 (包含實數,複數解)
其中實數解有16組,全部經由Mathematica檢驗所求答案為7-√5或(9-√5)/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-27 00:23 編輯 ]

圖片附件: 1714148425447.jpg (2024-4-27 00:23, 362.28 KB) / 該附件被下載次數 36
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7017&k=080e9cd0d92ad999686b1d29169b81b9&t=1716070917

作者: zidanesquall 時間: 2024-4-27 02:12 標題: 回覆 4# thepiano 的帖子

想請問鋼琴老師，#9為什麼可以這樣子猜？會不會有其他不是這樣的解？

原本看完式子想用海龍去解，但是...卡關了

作者: thepiano 時間: 2024-4-27 06:23 標題: 回覆 22# zidanesquall 的帖子

有三個未知數，但只有兩個等式，面積是不定值，連餘弦定理都難以處理
所以從特例正三角形和直角三角形去猜，畢氏定理可得到 a + b = c 這個符合題意的結果

除了 a + b = c 或 b + c = a 或 c + a = b，應該沒其它解了，有空再來做

這張題目多，技巧性高的題目也多，做法不調整，分數會很難看

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 06:24 編輯 ]

作者: farmer 時間: 2024-4-27 07:41 標題: 15題出錯，計算3用矩陣

15題只能得到角B=30°，這樣沒辦法確定三角形面積的範圍。

計算證明3用矩陣：
設P=矩陣如下：
a  c  b
b  a  c
c  b  a
則p=det(P)，設q=det(Q)，
則pq=det(PQ)，最後只需炸開證明：
PQ矩陣也是如上形式。
（不知這題有沒有其他方便的證法？）

[ 本帖最後由 farmer 於 2024-4-27 07:45 編輯 ]

作者: Dragonup 時間: 2024-4-27 08:33

#9 \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\) 為直角三角形三邊的理由，剩下同 thepiano

[ 本帖最後由 Dragonup 於 2024-4-27 13:13 編輯 ]

作者: Hawlee 時間: 2024-4-27 13:48

謝謝老師們，最後想請問填充17
原本是想用座標化硬做，但後面數字太醜計算不太出來
不知道是否有其他技巧，謝謝

[ 本帖最後由 Hawlee 於 2024-4-27 13:53 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-27 22:59

請教一下計算2 謝謝

作者: Dragonup 時間: 2024-4-27 23:05 標題: 回覆 27# zj0209 的帖子

作者: cut6997 時間: 2024-4-28 05:44 標題: 回覆 26# Hawlee 的帖子

正常情況下判別式的部分應該需要可以消掉
但這題消不掉導致會高達5次方...
真的要快就只能賭出題老師良心
由於面積等於9
而若取頂點和兩根所圍面積與其近似
可得x^3<=9
賭出題老師良心，可以直接得到x=2 也就是兩根之差為4，且頂點y座標為-4

[ 本帖最後由 cut6997 於 2024-4-28 06:27 編輯 ]

作者: zj0209 時間: 2024-4-28 09:21

感謝 Dragonup 老師

作者: farmer 時間: 2024-4-29 15:07 標題: 12題與17題

12題用廣義柯西不等式

17題高度懷疑是題目沒出好，
導致嚴謹解題需要解5次方程。
偷吃步解法為先測試出拋物線頂點
x坐標為h=1時，四邊形面積剛好為9，
再由圖形變化說明隨著h由0-->無限大，
該四邊形面積會越來越大（1對1對應），
因此h=1，b=-2。

[ 本帖最後由 farmer 於 2024-4-29 15:45 編輯 ]

圖片附件: 1714376607946.jpg (2024-4-29 15:44, 136.12 KB) / 該附件被下載次數 36
https://math.pro/db/attachment.php?aid=7037&k=7e33580eaf0d2e221ca65c71995a1a16&t=1716070917

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0