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標題: 111彰化女中 [打印本頁]
作者: thepiano    時間: 2022-6-3 06:49     標題: 111彰化女中

請參考附件，冰淇淋又出現了 ......

111.6.3補充
公告更正本校111學年第2次教甄初試數學科填充題第13題答案
連結已失效h ttps://www.chgsh.chc.edu.tw/2022/06/03/%e5%85%ac%e5%91%8a%e6%9b%b4%e6%ad%a3%e6%9c%ac%e6%a0%a1111%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e5%ba%a6%e7%ac%ac%e4%ba%8c%e6%95%99%e5%b8%ab%e7%94%84%e9%81%b8%e5%88%9d%e8%a9%a6%e6%95%b8%e5%ad%b8%e7%a7%91%e5%a1%ab/
公告第2次更正國立彰化女中111學年第2次教甄初試數學科填充題第2題答案及第9題送分
連結已失效h ttps://www.chgsh.chc.edu.tw/2022/06/03/%e5%85%ac%e5%91%8a%e7%ac%ac2%e6%ac%a1%e6%9b%b4%e6%ad%a3%e5%9c%8b%e7%ab%8b%e5%bd%b0%e5%8c%96%e5%a5%b3%e4%b8%ad111%e5%ad%b8%e5%b9%b4%e7%ac%ac2%e6%ac%a1%e6%95%99%e7%94%84%e5%88%9d%e8%a9%a6%e6%95%b8/

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=6407&k=3306e2771cd2ae1cd93628765a8ef137&t=1714244143
作者: peter0210    時間: 2022-6-3 10:03

填充3
設正整數\(x,y\)滿足\(\sqrt{x}+\sqrt{2022}=\sqrt{xy+2022}\)，試求數對\((x,y)=\)　　　。(有兩組數對)
[解答]

圖片附件: 20220603_100111.jpg (2022-6-3 10:03, 64.33 KB) / 該附件被下載次數 1734
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6402&k=1dcac9010c6da02dd7eb5858c3ab4055&t=1714244143

作者: bugmens    時間: 2022-6-3 10:11

填充題
1.
某冰淇淋店最少需準備\(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 500 種」。試問來店顧客從\(n\)桶中任選兩球(可為同一口味)共有　　　種方法。

某冰淇淋店最少需準備\(n\)桶不同口味的冰淇淋，才能滿足廣告所稱「任選兩球不同口味冰淇淋的組合數超過 100 種」。試問來店顧客從\(n\)桶中任選兩球(可為同一口味)共有幾種方法？
(1)101　(2)105　(3)115　(4)120　(5)225
(111學測，https://math.pro/db/thread-3606-1-1.html)

6.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\ldots+\frac{(n+2)}{n!+(n+1)!+(n+2)!}\right]=\)　　　。
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)
[提示]
\( \displaystyle \frac{k+2}{k!+(k+1)!+(k+2)!}=\frac{k+2}{k!(1+k+1+(k+1)(k+2))}=\frac{k+2}{k!(k+2)^2}=\frac{1}{k!(k+2)}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{(k+2)-1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)

7.
已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC=\)　　　。

已知\(P\)為\(\Delta ABC\)內部的一點，滿足\(\angle PBA=80^{\circ}\)，\(\angle PBC=20^{\circ}\)，\(\angle PCB=10^{\circ}\)，且\(\angle PCA=30^{\circ}\)，則\(\angle PAC\)的度數為　　　度。
(106新北市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2770&page=1#pid17257)
連結有解答

14.
給定四次多項函數為\(f(x)=x^4-4x^3+10\)，求與\(y=f(x)\)恰有兩個相異切點直線方程式(如下圖虛線所示)為　　　。

計算證明題
1.
\(e\)為自然常數：
(1)\(\pi^e\)與\(e^{\pi}\)何者較大？
(2)試證明之。

試證\( \displaystyle \frac{ln(n+1)}{n+1}<\frac{ln n}{n} \)對所有大於2之自然數\(n\)均成立。
(78大學聯考試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824)
作者: swallow7103    時間: 2022-6-3 10:12     標題: 回覆 1# thepiano 的帖子

填充2.
彰化女中籃球校隊想招收隊員，某參加甄選的學生聲稱自身的投籃命中率\(p\ge 0.4\)，校方想透過檢定的方式來決定她的聲稱是否採信。假設「此學生的投籃命中率\(p\ge 0.4\)」且「投籃直到第一次進球共需\(X\)次」，在顯著水準為0.05的條件之下，求隨機變數\(X\)的拒絕域為　　　。(\(log2\approx 0.3010\)，\(log3\approx 0.4771\))
[解答]
合理性檢定，相關內容可參考龍騰第六冊(數甲下)單元02，或者估狗"假設檢定"找到更詳細的說明。
我覺得我的算法是對的，可是跟答案差了一點，來請各路高手幫忙檢視一下。

假設該生命中率\( p\) 就是\( 0.4\)，\(X\)為投籃到第一次進球總共所需次數，因\(X\)服從幾何分配，故
\( \displaystyle P(X=k)=0.6^{k-1}\times0.4 \)，因顯著水準訂為0.05，是故k的最小值應滿足
\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 且 \( \displaystyle P(X=k-1) + \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) \geq 0.05 \)
由\( \displaystyle \sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) <0.05 \) 可得 \( \displaystyle 0.4\times(0.6^{k-1}+0.6^k+0.6^{k+1} + \dots )<0.05 \)
化簡得\( 0.05 > 0.6^{k-1} \)，借助常用對數可得 \( k > 6.8... \)，因此拒絕域為 \( X \geq 7 \)。

回家後以EXCEL求值確認 \( P(X=6)+P(X=7)+...=0.07776 \) 而 \( P(X=7)+P(X=8)+...=0.046656\)。
有沒有可能題目的\( X \)，所代表的是直到投進第一次前，投球沒進的次數？

而後面的填充13，題目也沒講清楚 a>b 還是b>a，雖然我們熟悉的設定都是長軸2a，但還是覺得出題時可以定義的更清楚。
作者: swallow7103    時間: 2022-6-3 10:43     標題: 回覆 3# bugmens 的帖子

計算1.
\( \pi^e \)和\( e^\pi \)誰比較大？
可參考以下影片 ： https://www.youtube.com/watch?v=SPHD7zmLVa8
另外影片下方留言區有強者網友提供更簡潔的方法
考慮\( e^x\)的泰勒展開式\(\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...\)，故\(\displaystyle e^x>1+x\)
令\( x=\frac{\pi}{e}-1\)，則 \( e^{\frac{\pi}{e}} \times e^{-1}> \pi \times e^{-1} \) 故 \(\displaystyle e^{\frac{\pi}{e}}>\pi \)
兩邊同時\(e\)次方，得\( e^\pi > \pi^e  \)。
作者: koko880404    時間: 2022-6-3 10:55

計算1.
e^π和π^e誰比較大？
也可參考以下影片：https://youtu.be/mZguXn1XubQ
猜測出題老師的靈感來自這邊
作者: 黑哥    時間: 2022-6-3 11:06

計算3.
已知\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{9}+isin\frac{2\pi}{9}\)，求\(|\;2-\omega|\;^2+|\;2-\omega^2|\;^2+\ldots+|\;2-\omega^8|\;^2\)。
[解答]

圖片附件: S__186073091.jpg (2022-6-3 11:06, 150.86 KB) / 該附件被下載次數 1752
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6403&k=c641b7c5b75841720202b8adc6f60135&t=1714244143

作者: peter0210    時間: 2022-6-3 15:08

原來還可以A多走一次，但還少一種，再請教各位老師

圖片附件: 20220603_153041.jpg (2022-6-3 15:34, 76.2 KB) / 該附件被下載次數 1698
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6406&k=8be95533d66113a7cf442296fb844697&t=1714244143

作者: koeagle    時間: 2022-6-3 15:21     標題: 回覆 8# peter0210 的帖子

填充5
如圖所示，\(A\)、\(B\)兩人面對面，中間有十個間隔，行進時\(A\)只能向右1或2格，\(B\)只能向左1或2格。\(A\)、\(B\)兩人輪流行動，\(A\)先動。若兩人停在同一格，這遊戲提前結束。問遊戲提前結束的方法有幾種？　　　。
A□□□□□□□□□□B
[提示]
104師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2226
作者: koeagle    時間: 2022-6-3 15:23

想請教填充4、填充9，謝謝。
作者: mathman    時間: 2022-6-3 15:49     標題: 回覆 10# koeagle 的帖子

填充9彰女公告送分了
作者: thepiano    時間: 2022-6-3 15:51     標題: 回覆 8# peter0210 的帖子

填充第 5 題
您還少了 A8B3
作者: thepiano    時間: 2022-6-3 16:34     標題: 回覆 10# koeagle 的帖子

填充第 4 題
\(n\)是不超過1000的正整數，且\(\displaystyle \frac{n+4}{n^2+7}\)為最簡分數，問\(n\)有多少個可能值？　　　。
[解答]
(n + 4) / (n^2 + 7)
= (n + 4) / (n^2 - 16 + 23)
= (n + 4) / [(n + 4)(n - 4) + 23]
當 n + 4 是 23 的倍數，它就可以約分

5 ~ 1004 有 43 個 23 的倍數

所求 = 1000 - 43 = 957
作者: koeagle    時間: 2022-6-3 17:27     標題: 回覆 13# thepiano 的帖子

謝謝 thepiano 老師！
作者: satsuki931000    時間: 2022-6-3 20:01

11. 考場沒做出來，回去後才想到....

OPAB是一個圓內接四邊形，假設正方形的邊長為\(2a\)
則有\(\displaystyle \overline{OB}=\sqrt{2}a,\overline{AB}=2a, \overline{PB}=\sqrt{4a^2-8}\)

由托勒密定理得到\(\displaystyle a^2=\frac{29}{2}\)

則所求\(\displaystyle \overline{PB}=\sqrt{58-8}=5\sqrt{2}\)
作者: satsuki931000    時間: 2022-6-3 20:14

15.
空間中有一個邊長為6的正四面體\(OABC\)，平面\(ABC\)上一點\(P\)滿足\(\displaystyle \vec{OP}=\frac{1}{2}\vec{OA}+\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{6}\vec{OC}\)。若通過\(P\)點且相異於平面\(ABC\)的另一平面分別與射線\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)交於\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，求此平面與\(\overline{OA}\)、\(\overline{OB}\)、\(\overline{OC}\)三射線圍出四面體\(OA'B'C'\)中體積的最小值為　　　。
[解答]
第一眼被嚇到，但後來發現還好

假設平面E交\(\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}\)於\(A',B',C\)

且設\(\displaystyle \overline{OA'}=x\overline{OA} , \overline{OB'}=y\overline{OB} , \overline{OC'}=z\overline{OC}\)

由P點落在\(A'B'C'\)平面上可知\(\displaystyle \frac{3}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=6\)
求\(xyz\)的最小值，由算幾不等式易求得\(xyz \geq \displaystyle \frac{3}{4}\)

因此所求體積\(V'\)為原本的體積\(V\)的\(\displaystyle \frac{3}{4}\)倍
得\(\displaystyle V'=\frac{3}{4}\cdot 18\sqrt{2}=\frac{27\sqrt{2}}{2}\)


剛剛發現的偷吃步方法

坐標化求P點，在\(\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}\)取\(A',B',C'\)
讓\(\displaystyle \triangle{A'B'C'}\)的重心為P
此時圍出的四面體\(O-A'B'C'\)即為所求的最小體積四面體
作者: Gary    時間: 2022-6-4 11:44     標題: 想請教一下計算2 完全沒想法

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-6-4 18:15

引用:
原帖由 PDEMAN 於 2022-6-4 12:22 發表
\(OP_1=OP_2=\cdots=OP_{2022}=1\)
再利用柯西
\(((a_1)^2+\cdots+(a_{2022})^2)(2022)\geq (a_1+\cdots+a_{2022})^2\)
推得 \(a_1+\cdots+a_{2022}\leq 1\)
最後可得所求是1
想問這裡推得 \(OP_1=OP_2=\cdots=OP_{2022}=1\) 會不會太快了？
畢竟題目是說\(P_1,P_2,\cdots\)在圓盤上
不過主軸是用柯西沒錯

先由\(OP_1,OP_2,\cdots,OP_{2022}\leq1\)
得知
\(a_1\cdot 1+a_2 \cdot 1+\cdots+a_{2022}\cdot 1 \geq a_1\cdot OP_1+a_2 \cdot OP_2+\cdots+a_{2022}\cdot OP_{2022} \geq 1\)
再由柯西不等式所得結果，搭配上式
得到\(1\leq a_1+\cdots+a_{2022}\leq 1\)
所以得到1

另外提一下計算第一題，最好不要使用估算法
要用估算法，誤差要縮很小，搭配常用對數或許可以，
但用計算機試了一下，只能用
\(e^\pi>2.7^{3.1415}>3.15^{2.7183}>\pi^e\)
得到正確結果
不過用\(\log 2=0.3010,\log 3=0.4771\)之類的去估算，會得到
\(3.1415 \log 2.7 - 2.7183 \log 3.15\simeq 0.0004\)
差距太小，表示還要花時間去說明你的估算誤差，沒有超過0.0004
所以下次看到，就真的不要用估算的
（或者有高手可以提供估算的做法）
作者: yosong    時間: 2022-6-4 20:26     標題: 填充14

提供自己的想法給大家參考,不知道有沒有更好的寫法

[ 本帖最後由 yosong 於 2022-6-4 21:13 編輯 ]

圖片附件: 111彰化女中填充14.jpg (2022-6-4 20:28, 57.82 KB) / 該附件被下載次數 725
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6409&k=1dc3f2c1062870f4cc00bb82cbde212b&t=1714244143

作者: 5pn3gp6    時間: 2022-6-5 18:51

話說第13題的答案，是不是還可以多一個\(a^2\)呢？
畢竟它的橢圓方程式是給
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
沒有其它資訊判斷橢圓的長軸走向等等

教甄寫到這樣的題目，都會很猶豫要不要直接預設a>b
有時候怕預設了結果寫的答案不完整沒分數
不設又怕出題者覺得a>b理所當然

來寫個試題疑義好了
作者: Superconan    時間: 2022-6-5 19:59     標題: 回覆 20# 5pn3gp6 的帖子

老師您好，第 13 題彰化女中 6/3 已經改過答案，應該不需要疑義了
作者: 5pn3gp6    時間: 2022-6-5 20:48

引用:
原帖由 Superconan 於 2022-6-5 19:59 發表
老師您好，第 13 題彰化女中 6/3 已經改過答案，應該不需要疑義了
感謝老師提醒！
沒有注意到彰化女中這麼快就有更正答案了！
這樣明早我就不用再跑一趟了，謝謝您。
作者: happysad    時間: 2022-6-5 22:17

請教填充10的算法，謝謝~~~
作者: Ellipse    時間: 2022-6-5 23:29

引用:
原帖由 happysad 於 2022-6-5 22:17 發表
請教填充10的算法，謝謝~~~
轉成平面上,在△ABC中,AB=3,AC=5 ,∠BAC=120度
求BC邊上的高
作者: happysad    時間: 2022-6-6 06:37

引用:
原帖由 Ellipse 於 2022-6-5 23:29 發表

轉成平面上,在△ABC中,AB=3,AC=5 ,∠BAC=120度
求BC邊上的高
謝謝大大回覆~~~~
作者: Joanna    時間: 2023-3-23 19:11

想請教填充8，謝謝
作者: Ellipse    時間: 2023-3-23 22:05

引用:
原帖由 koko880404 於 2022-6-3 10:55 發表
計算1.
e^π和π^e誰比較大？
也可參考以下影片：https://youtu.be/mZguXn1XubQ
猜測出題老師的靈感來自這邊
這個算很古老的考古題了~
出題老師應該也不會去刻意看到這地方才出
且原設計這題的作者應該不是張老師那樣解~
作者: Ellipse    時間: 2023-3-23 22:13

引用:
原帖由 Joanna 於 2023-3-23 19:11 發表
想請教填充8，謝謝
96全國聯招選擇題有考過(數據有改)
因式分解:
[2^(n+1)*x-1]*[ (2^n)*x-1]=0
x=1/2^(n+1) 或1/2^n
兩個再去相減取絕對值....
後面再用三角形面積公式,Σ,取極限
作者: laylay    時間: 2023-5-29 11:42     標題: 計算1.另解

令 f(x)=x^(1/x) => f`(x)=x^(1/x)*(1-lnx)/x^2
當 e<x<=pi 時f`(x)<0 => f(x) 為嚴格遞減 =>e^(1/e)>pi^(1/pi) , 兩邊取(e*pi)次方=> e^pi>pi^e
本證明可知只要 c>e ,  則 e^c>c^e
也輕易知道 如 3^4>4^3 , 4^5>5^4 , 3^5>5^3 ......



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