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標題: 111家齊高中 [打印本頁]
作者: Superconan    時間: 2022-4-18 15:15     標題: 111家齊高中

家齊高中蠻好的，原本沒有公告答案，打電話過去說明原由以後就公告了
而且行政效率很高，不到一小時就處理好了～

附件: 111家齊高中題目.pdf (2024-4-13 07:58, 380.56 KB) / 該附件被下載次數 4040
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作者: bugmens    時間: 2022-4-18 16:02

填充題
4.
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)　　　。

計算題
2.
設\(f(x)=\sqrt{x^4-9x^2-6x+34}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，當\(x=t\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，試求數對\((t,M)\)。
[提示]
\(\sqrt{(x^2-5)^2+(x-3)^2}+\sqrt{(x^2-2)^2+(x-0)^2}\)
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174
作者: Ellipse    時間: 2022-4-18 21:06

引用:
原帖由 Superconan 於 2022-4-18 15:15 發表
家齊高中蠻好的，原本沒有公告答案，打電話過去說明原由以後就公告了
而且行政效率很高，不到一小時就處理好了～
很欣賞家齊高中~其他不敢公布考題的學校要精進一下

計算2:
原式=2(cotA+cotB+cotC)
證明cotA+cotB+cotC>=√3
(後面是骨董級的考古題了...)

這只是其中一種證法
我乍看之下,這題證法至少三種以上...
作者: sliver    時間: 2022-4-18 21:34

計算5
求\(7x^2+6y^2=5z^2\)的整數解。
[解答]
若\((x,y,z)\)為一組解，三數皆非0，並假設其互質

\(7x^2+6y^2\equiv 5z^2\pmod{5}\)
\(\Rightarrow 2x^2+y^2\equiv 0\pmod{5}\)
\(\Rightarrow x^2\equiv y^2\equiv 0\pmod{5}\Rightarrow x\equiv y\equiv 0\pmod{5}\)
代回原式，可得\(x\equiv y\equiv z\equiv 0\pmod{5}\)(與假設不合)

故\((x,y,z)\)至少有一數為\(0\Rightarrow (x,y,z)\)只有一組解\((0,0,0)\)
作者: basess8    時間: 2022-4-18 22:52

第9題的題目中的P點要改成A。考試期間有訂正過一次題目
作者: Ellipse    時間: 2022-4-19 00:01

7
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AC}=6\)，\(\displaystyle cos(B-C)=\frac{2}{3}\)，則\(\overline{BC}\)為　　　
[提示]
題目數據出得有點可惜
這樣一看∠B=90度,就變秒殺題了
作者: nnkuokuo    時間: 2022-4-19 20:25

請問填2，4，10
作者: thepiano    時間: 2022-4-19 21:14     標題: 回復 7# nnkuokuo 的帖子

填充第 2 題
設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)　　　
[提示]
跟 107 北一女代理這題差不多
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2999&page=1#pid18935
作者: sliver    時間: 2022-4-19 21:14

填充2
設\(P\)為\(\Delta ABC\)中\(\overline{BC}\)上一點，\(\overline{PB}=\overline{AC}=a\)，\(\displaystyle \angle BAP=\frac{1}{3}\angle PAC=\frac{\pi}{6}\)，求\(\overline{PC}=\)　　　
[解答]
作者: peter0210    時間: 2022-4-19 21:22

填充10
試求\(y=-x^2-3x+6\)和\(x+y-3=0\)所圍成的區域繞\(x=2\)所得的旋轉體體積為　　　
[解答]
計算量有點多...

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作者: thepiano    時間: 2022-4-19 21:46     標題: 回復 7# nnkuokuo 的帖子

填充第 4 題
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)　　　。
[解答]
BD = 4√5，DM = 2√5
利用 △DMF 和 △DCB 相似，可求出 DF = 5，CF = 3

摺起來後 △CMD 是等腰直角三角形
摺起來後的 CD = 2√10

最後利用餘弦定理就可求出 cosθ
作者: koeagle    時間: 2022-4-19 23:43     標題: 回復 7# nnkuokuo 的帖子

填充10
試求\(y=-x^2-3x+6\)和\(x+y-3=0\)所圍成的區域繞\(x=2\)所得的旋轉體體積為　　　
[解答]
可以用Pappus 定理

\( \displaystyle -x^2-3x+6 = -x+3 \; \Rightarrow \; x = -3,1 \quad , \quad  A = \int_{-3}^{1} [(-x^2-3x+6) - (-x+3)] dx = \frac{32}{3} \)

\( \displaystyle \overline{X} = \frac{ \displaystyle \int \int x dA }{ \displaystyle \int \int dA } = \frac{1}{A} \int_{-3}^{1} (-x^3 - 2x^2 + 3x) dx = \frac{ \displaystyle -\frac{32}{3} }{ \displaystyle \frac{32}{3} } = -1 \)

\( \displaystyle V = A \times 2\pi R = \frac{32}{3} \times 2 \pi \times [2 - (-1)] = 64\pi \)
作者: son249    時間: 2022-4-20 23:11     標題: 請問第12題

第12題怎樣算？
作者: pretext    時間: 2022-4-21 00:22     標題: 回復 13# son249 的帖子

總共有28種不能連成一條線的情況
用全部扣掉不能的就可以了
作者: satsuki931000    時間: 2022-4-21 19:28

計算2
設\(f(x)=\sqrt{x^4-9x^2-6x+34}-\sqrt{x^4-3x^2+4}\)，當\(x=t\)時，\(f(x)\)有最大值\(M\)，試求數對\((t,M)\)。
[提示]
常見的考古題

計算3
銳角三角形\(ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{sinA}{sinBsinC}+\frac{sinB}{sinCsinA}+\frac{sinC}{sinAsinB}\)的最小值並證明其為最小。
[提示]
小弟是用琴生不等式求\(\displaystyle cotA+cotB+cotC\)的最小值的，還想請教有無其他方法

計算4
當\(0<x<1\)時，\(x^2+ax+4\ge 0\)恆成立，試求\(a\)的範圍。
[解答]
改寫成\(\displaystyle a\leq -x-\frac{4}{x}\)，設\(\displaystyle f(x)=-x-\frac{4}{x}\)
畫圖可知 \(\displaystyle x\in(0,1)\)時，\(f(x)<-5 \)
也就是取\(\displaystyle a \geq -5\)
作者: son249    時間: 2022-4-21 20:33     標題: 計算4

銳角三角形\(ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{sinA}{sinBsinC}+\frac{sinB}{sinCsinA}+\frac{sinC}{sinAsinB}\)的最小值並證明其為最小。
[解答]
另一種算法

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作者: satsuki931000    時間: 2022-4-21 21:04     標題: 回復 16# son249 的帖子

搭配到外森比克不等式 厲害 受教了
作者: Harris    時間: 2022-4-22 11:12

請問老師11題如何得到-1這個答案？我只有算出k=3，是因為還有其他k值嗎？
作者: thepiano    時間: 2022-4-22 11:21     標題: 回復 18# Harris 的帖子

第 11 題
已知\(abc\ne 0\)，且\(\displaystyle \frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}\)，試求\(\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\)　　　
[解答]
2b + c = ak
2c + a = bk
2a + b = ck

3(a + b + c) = (a + b + c)k
k = 3 或 a + b + c = 0
a + b = - c，b + c = - a，c + a = - b 代入求值式的分子
作者: peter0210    時間: 2022-4-22 14:16

填充12
將\(1,2,3,4,5,6,7,8,9\)共九個數字任意填入九宮格中，數字不可重複，則5個奇數至少有3個可以連成一直線(例如：下圖2種情形皆可)的機率為　　　
[解答]
補一下過程

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作者: enlighten0626    時間: 2022-4-22 14:36

請教第6、8題
作者: Ellipse    時間: 2022-4-22 15:02

引用:
原帖由 Harris 於 2022-4-22 11:12 發表
請問老師11題如何得到-1這個答案？我只有算出k=3，是因為還有其他k值嗎？
鋼琴老師已回~
補充一下 這題其實是國中的資優題
但如果是給國中生考,另一個 a+b+c=0的情況可能就會有問題
因為此時a,b,c會出現複數解
作者: Harris    時間: 2022-4-22 15:19     標題: 回復 22# Ellipse 的帖子

謝謝兩位老師的回應

另外回覆21樓：
第6題
實係數多項方程式\(f(x)=x^4+2(k-2)x^3-7(k-1)x^2+px+q=0\)，已知\(2+i\)為其複數根，另有兩根為實數，求\(pq\)的最小值為　　　
[解答]
將原多項式除以(x^2-4x+5)商式為(x^2+2kx+(k+2))，展開得到p=6k-8，q=5k+10
搭配上兩實根，剩下就是二次函數配方法而已囉

第8題
坐標平面上，\(C\)：\(x^2+y^2=1\)，一定點\(A(-2,0)\)，\(Q\)為圓\(C\)上的動點，以\(Q\)為中心，將\(A\)點逆時針旋轉90度得\(P\)點，求動點\(P\)的軌跡方程式為　　　
[解答]
設Q(cos,sin)，AQ向量和PQ向量垂直且等長
P點參數式(cos+sin, sin-cos-2)，消掉參數式就是答案囉
作者: enlighten0626    時間: 2022-4-22 15:34     標題: 回復 23# Harris 的帖子

謝謝老師解惑
作者: PDEMAN    時間: 2022-4-29 15:13

第四題
設有一張長方形的紙\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=4\)，通過對角線\(\overline{BD}\)的中點\(M\)且垂直於\(\overline{BD}\)的直線分別交\(\overline{AB}\)與\(\overline{CD}\)於\(E\)、\(F\)兩點，當以\(\overline{EF}\)為折線把紙\(ABCD\)折起來，使得平面\(AEFD\)垂直於平面\(EBCF\)，此時若\(\angle CFD=\theta\)，\(0<\theta<\pi\)，求\(cos\theta=\)　　　。
[解答]
另一個做法
先求得 線段\(AE=3\),線段\(BM=2\sqrt{5}\)
接著座標化得\(B(4,2,2\sqrt{5}),E(3,0,0) ,A(0,0,0)\)
最後因為向量\(EB\)平行 向量\(FC\)
利用 向量\(EA\)與 向量\(EB\) 求得
作者: 新手老師    時間: 2022-5-25 19:55     標題: 回覆 1# Superconan 的帖子

請問第13題
印象中好像某年考過類似的題目?
作者: thepiano    時間: 2022-5-25 20:13     標題: 回覆 26# 新手老師 的帖子

第 13 題
已知一個圓內接八邊形\(P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8\)，若\(\overline{P_1P_2}=\overline{P_3P_4}=\overline{P_5P_6}=\overline{P_7P_8}=3\)，且\(\overline{P_2P_3}=\overline{P_4P_5}=\overline{P_6P_7}=\overline{P_8P_1}=4\)，則此八邊形面積=　　　
[解答]
把八邊形切成全等的 4 塊
每塊四個邊長分別是 3、4、r、r，其中 r 是半徑
r 和 r 這兩邊的夾角是 90 度，3 和 4 這兩邊的夾角是 135 度
再搭配餘弦定理就可以了
作者: anyway13    時間: 2022-5-30 20:33     標題: 請問第一題

空間中一點\(P(4,3,1)\)，\(C\)：\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13\cr x+2y+2z=3}\)，\(Q\in C\)，求\(\overline{PQ}\)之最大值為[u]　　　[/u]

版上老師好   請問第一題不知道哪裡算錯了

過程如附件

圖片附件: 249819.jpg (2022-5-30 20:33, 84.82 KB) / 該附件被下載次數 899
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作者: PDEMAN    時間: 2022-5-30 21:44     標題: 回覆 28# anyway13 的帖子

\(Q_1\)在平面\(x+2y+2z=3\)上，但是需要檢查一下\(Q_1\)有沒有在圓上(在球上又在平面上的那圈)
作者: thepiano    時間: 2022-5-30 22:29     標題: 回覆 28# anyway13 的帖子

填充第 1 題
空間中一點\(P(4,3,1)\)，\(C\)：\(\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13\cr x+2y+2z=3}\)，\(Q\in C\)，求\(\overline{PQ}\)之最大值為　　　
[解答]
這題至少有 3 個學校考過，不過都是求最小值
家齊改成求最大值

求出 P(4，3，1) 在平面 x + 2y + 2z = 3 的投影點 P'(3，1，-1)
平面和球的交圓之圓心為 O(-1，-1，3)，半徑 2

PQ 之最大值 = √[PP'^2 + (OP' + 2)^2] = √73
作者: anyway13    時間: 2022-5-31 08:14     標題: 回覆 29# PDEMAN 30# the piano 的帖子

To# PDEMAN老師  原來Q1可能不在空間圓上    感謝

To# 鋼琴老師   謝謝老師詳解
作者: anyway13    時間: 2022-6-1 23:26     標題: 請教第五題

版上老師好

請問一下能否教一下第五題是怎麼求算的阿?
作者: satsuki931000    時間: 2022-6-1 23:50     標題: 回覆 32# anyway13 的帖子

ge\(\alpha\)、\(\beta\)是方程式\(\Bigg\vert\;\matrix{x-sin\theta&cos\theta\cr -cos\theta&x-sin\theta}\Bigg\vert\;=0\)之兩根，若\(n\in Z\)，求\(\alpha^n+\beta^n\)之值為　　　
[解答]
展開行列式 \(\displaystyle x^2-2sin\theta +1=0\)
易知兩根和為\(\displaystyle 2sin \theta = 2cos (\frac{\pi}{2}- \theta) \)，兩根積為1
所以兩根分別為\(\displaystyle cos (\frac{\pi}{2}- \theta) \pm isin (\frac{\pi}{2}- \theta)\)
剩下就簡單了
作者: anyway13    時間: 2022-6-2 00:53     標題: 回復 33# satsuki931000的帖子

感謝satsuki931000老師講解
作者: tsusy    時間: 2022-6-2 18:44     標題: 回覆 33# satsuki931000 的帖子

到二次方程式的話，
好像直接公式解就結束了?

\( x = \frac{2 \sin \theta \pm \sqrt{4 \sin^2\theta -4}}{2} = \sin \theta \pm i \cos \theta  \)
作者: anyway13    時間: 2022-6-4 23:26     標題: 請教第15題

在坐標平面上有\(n\)個邊長皆為2的正方形，將它們依下圖方式疊排在一起，其中前後兩個正方形皆有\(\displaystyle \frac{1}{4}\)部分是重疊的，第一個正方形為\(A_1B_1C_1D_1\)，第二個正方形為\(A_2B_2C_2D_2\)，第三個正方形為\(A_3B_3C_3D_3\)，其中點\(A_3\)與點\(C_1\)是重合的，依此疊排原則得第\(n\)個正方形為\(A_nB_nC_nD_n\)，已知\(A_1(0,0),B_1(2,0),D_1(0,2),B_n(x_n,y_n)\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}(\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{y_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{y_2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{x_n}+\sqrt{y_n}})=\)　　　。

版上老師好

第15題小弟怎麼作都是根號2 過程如附件  不知道哪一步做錯了

求指點

圖片附件: 250827.jpg (2022-6-4 23:26, 86.87 KB) / 該附件被下載次數 942
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作者: satsuki931000    時間: 2022-6-5 00:59     標題: 回覆 36# anyway13 的帖子

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-2}}=\frac{1}{2} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}[\sqrt{n-1}+\sqrt{n}-1]=1\)
作者: thepiano    時間: 2022-6-5 07:15     標題: 回覆 36# anyway13 的帖子

正方形的邊長是 2，您看成 1
作者: anyway13    時間: 2022-6-5 07:33     標題: 回復 37# satsuki931000 的帖子回復 38#thepiano 的帖子回復

謝謝 satsuki931000 老師和鋼琴老師  (居然連邊長都可以看錯...)
作者: anyway13    時間: 2022-6-5 23:58     標題: 請教第12題

請教老師第12題  在第20樓 peter0210老師有提到

5個奇數中   有中間的數及含兩個角的數 要求不會有連線的有八種

可是,光是將這五個奇數的1,3,5,7,9,的狀況分別放在中間,鎖算出來的個數也應該會是5的倍數才對阿

請問是哪裡想錯了?
作者: thepiano    時間: 2022-6-6 08:06     標題: 回覆 40# anyway13 的帖子

peter0210 老師省略排列數
您選 5 個格子填入奇數，剩 4 個格子填入偶數，再乘以 5! * 4!
最後算機率時，它還是會被約掉
作者: anyway13    時間: 2022-6-6 14:00     標題: 回復 41# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師。
作者: Ellipse    時間: 2022-6-13 23:18

引用:
原帖由 satsuki931000 於 2022-4-21 19:28 發表
計算2 常見的考古題

計算3 小弟是用琴生不等式求\(\displaystyle cotA+cotB+cotC\)的最小值的，還想請教有無其他方法

計算4 改寫成\(\displaystyle a\leq -x-\frac{4}{x}\)，設\(\displaystyle f(x)=-x-\frac{4}{x}\)
...
應該是 \(\displaystyle a ≧ -x-\frac{4}{x}\)



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