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標題: 110鳳山高中 [打印本頁]

作者: s7908155 時間: 2021-7-27 15:21 標題: 110鳳山高中

發現今天還沒人po，再請各位幫我把題目補齊，

可能有些數據有點跑掉，大家計算時再留意一下。

110.7.28版主補充
換上官方版題目

附件: 110鳳山高中.pdf (2021-7-28 13:28, 215.23 KB) / 該附件被下載次數 4633
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6071&k=b76e2417d913ccb4351c981bc00de991&t=1713988858

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-7-28 13:07

公布試題了
　
我上一篇寫錯題目的就刪掉了
　
複試名單也出來了
9個人，門檻為33分

110.8.28版主補充
將官方版題目放到第一篇文章

作者: bugmens 時間: 2021-7-28 14:00

7.
求無窮級數和\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+2)(k+3)}=\)　　　。

計算證明題
1.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_1=1\)，\(a_2=1\)，\(a_3=2\)，\(\displaystyle a_n=\frac{1}{a_{n-3}}(a_{n-2}\cdot a_{n-1}+3)\)，\(n\ge 4\)。試證：此數列每一項都是整數。

正數數列\(\{\;a_n \}\;\)有\(\displaystyle a_1=a_2=1,a_3=997,a_{n+3}=\frac{1993+a_{n+2}a_{n+1}}{a_n}\)，證明所有\(a_n\)均為整數。
(第三屆(1993年)澳門數學奧林匹克第三輪第4題)
[證明]
補充\(a_0=2\)，已知\(a_{n+3}a_n=1993+a_{n+2}a_{n+1}\)
用\(n+1\)換\(n\)並與上式相減化簡得\(\displaystyle \frac{a_{n+4}+a_{n+2}}{a_{n+2}+a_n}=\frac{a_{n+3}}{a_{n+1}}\)
對此式，令\(n=0,2,\ldots,2m-2\)，相乘得\(\displaystyle \frac{a_{2m+2}+a_{2m}}{a_2+a_0}=\frac{a_{2m+1}}{a_1}\)
即\(a_{2m+2}+a_{2m}=3a_{2m+1}\)
再令\(n=1,3,\ldots,2m-1\)，相乘得\(\displaystyle \frac{a_{2m+3}+a_{2m+1}}{a_3+a_1}=\frac{a_{2m+2}}{a_2}\)
即\(a_{2m+3}+a_{2m+1}=998a_{2m}\)，\(m\ge 0\)
對\(m\)用數學歸納法，不難證得\(a_{2m},a_{2m+1}\)均為整數，故結論成立。

作者: anyway13 時間: 2021-7-31 22:57 標題: 請教第9題

板上老師好

請問填充9,要怎麼做出p=11呢?

一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的

作者: thepiano 時間: 2021-8-1 07:20 標題: 回復 4# anyway13 的帖子

第 9 題
根號 433 約 20.808
根號 434 約 20.833
分母從 2 開始，只考慮小於 1 的最簡分數且其化成小數後介於 0.808 和 0.833 之間
這之中只有 5/6 約 0.8333 比較接近，但它比 0.833 大，不合
接著很快可找到 9/11 約 0.818，合
把它加上 20 就是答案

這題比較麻煩的只有前面的開根號

作者: anyway13 時間: 2021-8-1 10:22 標題: 回復 5# thepiano的帖子

小弟就是卡在根號開完的後續處理,謝謝鋼琴老師詳細的講解

作者: ibvtys 時間: 2021-8-1 13:34

想請教填充5和計算2

作者: Ellipse 時間: 2021-8-1 15:32

引用:

原帖由 ibvtys 於 2021-8-1 13:34 發表
想請教填充5和計算2

填充5:
F'(t)=(1/2)t -(1/4)sin(2t)
所以F' (π/3) = π/6 - (√ 3)/8

計算2:
請參考
https://www.facebook.com/photo.p ... 35567544&type=3

作者: ibvtys 時間: 2021-8-1 16:31 標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

感謝，理解了

作者: anyway13 時間: 2021-8-3 00:01 標題: 請教第12題,第10題

板上老師好第12題利用已知條件用長除法得到

e+a-d-1=0, f+b-d-1=0, g=0 同時0<=a,b,c,d,e,f<=9

答案給336,小第從a=9固定一直排到a=1,數字總得不到請教一下老師

第10題,把圖倒過來看,因為可以左右使得面積=15,接下來就真不會了

作者: thepiano 時間: 2021-8-3 08:51 標題: 回復 10# anyway13 的帖子

第 10 題
從左邊看，第一列剪 2 格，設第二 ~ 五列分別剪出 x、y、z、w 格
即求 x、y、z、w 是小於 6 的正整數
x + y + z + w = 13 的正整數解有幾組

H(4，9) - C(4，1) * H(4，4) = 80

作者: thepiano 時間: 2021-8-3 09:27 標題: 回復 10# anyway13 的帖子

第 12 題
考這種爛題目，出題老師是故意整考生的吧？

最後應是得到
a - d + e = 1
b - d + f = 1
c - d + g = 1

a + e = b + f = c + g = d + 1
再分別讓 d = 9、8、7、6 去討論，分別有 48、192、48、48 種，加起來是 336 種

作者: anyway13 時間: 2021-8-3 10:23 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

鋼琴老師好，先謝謝您的答覆。
第10題，最後一行，x+y+z+w=13.其中0小於等於x,y,z,w小於等於6

最後一行，可否請您用C，再講清楚一點。因為用H作真不懂。

這種題目，每次都用暴力作，分數總上不去。

作者: anyway13 時間: 2021-8-3 10:25 標題: 回覆#12 thepiano的帖子

謝謝鋼琴老師，再自己作作看。

作者: thepiano 時間: 2021-8-3 11:12 標題: 回復 13# anyway13 的帖子

不會吧？您年輕到沒學過 H

x、y、z、w 是小於 6 的正整數，
x + y + z + w = 13 的正整數解有幾組？

令 x = a + 1，y = b + 1，z = c + 1，w = d + 1
即求 a、b、c、d 是小於 5 的非負整數，
a + b + c + d = 9 的非負整數解有幾組？

全部的解扣掉 a、b、c、d 中有 1 個爆掉 (其中一個先給它 5)
所求 = C(12，9) - C(4，1) * C(7，4) = 80

作者: anyway13 時間: 2021-8-3 11:44 標題: 回覆#15 thepiano的帖子

年紀大重複組合一直沒學好。說起來也丟臉，H在當學生時沒好好聽課，都用C在作。

謝謝鋼琴老師耐心的解答。

作者: thepiano 時間: 2021-8-3 11:50 標題: 回復 16# anyway13 的帖子

最近我也感覺到年紀大了，慢慢變成別人眼中沒用的人
做數學時的思考力也大不如前，被疫苗認證是老人，因為一點副作用都沒有

作者: anyway13 時間: 2021-8-3 12:03 標題: 回復 17# thepiano 的帖子

鋼琴老師說笑了。每個人體質不同，這網上您幫了多少人，幫了多少老師，早已經是武林前輩了。保重身體阿

[ 本帖最後由 anyway13 於 2021-8-3 12:04 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2021-8-5 00:32 標題: 計算二

計算二發現Ellipse老師已經有分享了亂七八糟的過程就先撤下了

作者: Jimmy92888 時間: 2021-8-5 07:37

第12題
因為x^3+x^2+x+1=(x^2+1)(x+1)
所以也可以利用f(-1)=f(i)=0來得到關係式

作者: thepiano 時間: 2021-8-5 09:27 標題: 回復 19# anyway13 的帖子

計算第2題
這題其實不難，就計算量大了點，考試時一定要先跳過
設直線AB的方程式為\(y=mx+k\)，\(A\left( {{x}_{1}},m{{x}_{1}}+k \right),B\left( {{x}_{2}},m{{x}_{2}}+k \right)\)
\(\begin{align}
  & \frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{\left( mx+k \right)}^{2}}}{16}=1 \\
& \left( 25{{m}^{2}}+16 \right){{x}^{2}}+50mkx+\left( 25{{k}^{2}}-400 \right)=0 \\
& {{\left( 50mk \right)}^{2}}-4\left( 25{{m}^{2}}+16 \right)\left( 25{{k}^{2}}-400 \right)=0 \\
& {{k}^{2}}=25{{m}^{2}}+16 \\
& {{x}_{1}}=-\frac{50mk}{2\left( 25{{m}^{2}}+16 \right)}=-\frac{50mk}{2{{k}^{2}}}=-\frac{25m}{k} \\
&  \\
& {{x}^{2}}+{{\left( mx+k \right)}^{2}}={{R}^{2}} \\
& \left( {{m}^{2}}+1 \right){{x}^{2}}+2mkx+\left( {{k}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=0 \\
& {{\left( 2mk \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}+1 \right)\left( {{k}^{2}}-{{R}^{2}} \right)=0 \\
& {{k}^{2}}={{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right) \\
& {{x}_{2}}=-\frac{2mk}{2\left( {{m}^{2}}+1 \right)}==-\frac{m{{R}^{2}}}{k} \\
&  \\
& {{k}^{2}}={{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)=25{{m}^{2}}+16 \\
& {{m}^{2}}=\frac{16-{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-25} \\
&  \\
& {{\overline{AB}}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( m{{x}_{1}}-m{{x}_{2}} \right)}^{2}}=\left( {{m}^{2}}+1 \right){{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}} \\
& =\left( {{m}^{2}}+1 \right){{\left( -\frac{25m}{k}+\frac{m{{R}^{2}}}{k} \right)}^{2}} \\
& =\left( {{m}^{2}}+1 \right)\times \frac{\frac{16-{{R}^{2}}}{{{R}^{2}}-25}{{\left( {{R}^{2}}-25 \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}\left( {{m}^{2}}+1 \right)} \\
& =\frac{\left( 16-{{R}^{2}} \right)\left( {{R}^{2}}-25 \right)}{{{R}^{2}}} \\
& =41-\left( {{R}^{2}}+\frac{400}{{{R}^{2}}} \right) \\
& \le 41-40 \\
& =1 \\
\end{align}\)
\(\overline{AB}\)長的最大值是1，等號成立於\(R=2\sqrt{5}\)時

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-8-5 11:11

計算二
也分享一個拙拙的做法，參考附圖：

\(\overleftrightarrow{AB}\)為切線，則\(\overline{AG}\)為角\(F_2AF_1\) 的角平分線。　設\(\overline{AF_2}=k,\,\overline{AF_1}=10-k\)，則\(\overline{GF_2}=\frac{3}{5}k,\,\overline{GF_1}=\frac{3}{5}(10-k)\)

由角平分線性質可得
\(\overline{AG}=\sqrt{\overline{AF_2}×\overline{AF_1}-\overline{GF_2}×\overline{GF_1}}=\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}\)

因為\(\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|\)，所以先推出\(\sin\theta\)。

由三角形\(AGF_2\)：
\(\displaystyle\cos\theta=\frac{\overline{AG}^2+\overline{GF_2}^2-\overline{AF_2}^2}{2\overline{AG}· \overline{GF_2}}=\frac{\frac{16}{25}k(10-k)+\frac{9}{25}k^2-k^2}{2×\frac{4}{5}\sqrt{k(10-k)}×\frac{3}{5}k}=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}\)

所以\(\displaystyle\sin\theta=±\sqrt{1-\frac{16(5-k)^2}{9k(10-k)}}=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}\)

\(\displaystyle\overline{AB}=\overline{GO}×|\sin\theta|=\frac{3}{5}(5-k)\frac{5}{3}\sqrt{\frac{(k-2)(k-8)}{k(k-10)}}=\sqrt{\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}}\)

而\(\displaystyle\frac{(k^2-10k+25)(k^2-10k+16)}{k(k-10)}=\frac{400}{k(k-10)}+k(k-10)+25+16=41-\left(\frac{400}{k(10-k)}+k(10-k)\right)\leq41-2\sqrt{400}=1\)
　
所以最大值為1，此時\(\displaystyle\frac{400}{k(10-k)}=k(10-k)\)，解得\(k=5±\sqrt{5}\)或 \(k=5±3\sqrt{5}\)(後者不合，因為\(2\leq k\leq 8\))

將\(k=5-\sqrt{5}\)代入 \(cos\theta=\frac{4(5-k)}{3\sqrt{k(10-k)}}=\frac{2}{3}\)

此時，由梯形ABOG可得　\(\displaystyle R=\overline{BO}=\overline{AG}+\overline{GO}×\cos\theta=\frac{4}{5}\sqrt{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}+\frac{3\sqrt{5}}{5}×\frac{2}{3}=2\sqrt{5}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-5 11:19 編輯 ]

圖片附件: 擷取.PNG (2021-8-5 11:11, 43.48 KB) / 該附件被下載次數 1810
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6092&k=afdba3d5aa8b9304ba876f7af2ec9d77&t=1713988858

作者: anyway13 時間: 2021-8-5 18:36 標題: 回復 20# Jimmy92888 的帖子

謝謝Jimmy92888老師提供別的關係式

作者: anyway13 時間: 2021-8-5 18:39 標題: 回復 21,22# thepiano,5pn3gp6 的帖子

謝謝兩位老師腦袋真的比較直真在考場八成會選和鋼琴老師一樣的做法(不過鋼琴老師的暴力法小弟必須加強就是)

5pn3gp6老師用的光學性質提供的妙招真想不到

[ 本帖最後由 anyway13 於 2021-8-5 19:00 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2021-8-6 00:50

引用:

原帖由 anyway13 於 2021-8-5 00:32 發表
計算二發現Ellipse老師已經有分享了亂七八糟的過程就先撤下了

剛也嘗試一下不同解法,請參考看看~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-6 00:59 編輯 ]

圖片附件: 110鳳山_計2.jpg (2021-8-6 00:50, 414.21 KB) / 該附件被下載次數 1400
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6094&k=43c09c113bb789fe77e75d641ae5dcc6&t=1713988858

作者: 王重鈞 時間: 2021-8-6 01:07 標題: #回覆計算2

好久沒來這裡回了XD分享小弟淺見!

圖片附件: 228158918_509961606781760_849949364296818662_n.jpg (2021-8-6 01:07, 881.6 KB) / 該附件被下載次數 1351
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6095&k=47e099d2aea4225a6afc7d97ab95d057&t=1713988858

作者: enlighten0626 時間: 2021-8-6 15:26

請教填充4

作者: tsusy 時間: 2021-8-6 16:10 標題: 回復 27# enlighten0626 的帖子

填充4.
任取三個有 \( C^{20}_3 = 1140 \)
其中共線的有
(以長寬為 y,x軸方向)
斜率 0 ：\( C^4_3 \times 5 = 20 \)
斜率 1,-1：\( (C^3_3+C^4_3+C^4_3+C^3_3) \times 2 = 20 \)
斜率 2,-2：\( (1+1) \times 2= 4 \)
斜率不存在：\( C^5_3 \times 4 = 40 \)
無其它共線
故所求為 \( \frac{1140-84}{1140} = \frac{88}{95} \)

作者: anyway13 時間: 2021-8-6 16:54 標題: 回復 25#Ellipse26 # 王重鈞的帖子

謝謝Ellipse和王重鈞老師的分享,我這塊磚引了好多玉 XD

作者: enlighten0626 時間: 2021-8-7 11:05 標題: 回復 28# tsusy 的帖子

了解，感謝解惑

作者: enlighten0626 時間: 2021-8-9 18:44

請教填充第14題

作者: Ellipse 時間: 2021-8-9 21:26

引用:

原帖由 enlighten0626 於 2021-8-9 18:44 發表
請教填充第14題

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-8-9 21:28 編輯 ]

圖片附件: 588474.jpg (2021-8-9 21:28, 473.3 KB) / 該附件被下載次數 1447
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6108&k=b92d5a87cf5e09d441a502d6bb27c28b&t=1713988858

作者: Jimmy92888 時間: 2021-8-10 05:55

第14題
參照Ellipse老師的做法，
後面用tan的關係式解，
提供參考。

由題設得下面向量內積
\(6\overset\rightharpoonup{AB}\cdot \overset\rightharpoonup{AC}=3\overset\rightharpoonup{BA}\cdot \overset\rightharpoonup{BC}=4\overset\rightharpoonup{CA}\cdot \overset\rightharpoonup{CB}\)
即\(6bc cosA=3acc osB=4ab cosC\)
所以\(tanA:tanB:tanC=6:3:4\)
設tanA=6t, tanB=3t, tanC=4t
利用\(tanA+ tanB+ tanC=tanA tanB tanC\)
可得\(tanA=\sqrt{\frac{13}{2}}\)
故得\(sinA=\sqrt{\frac{13}{15}}\)

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2021-8-10 08:07 編輯 ]

作者: enlighten0626 時間: 2021-8-10 09:24

了解，感謝上面兩位老師的解惑

作者: 5pn3gp6 時間: 2021-8-17 10:19

引用:

原帖由 anyway13 於 2021-7-31 22:57 發表
板上老師好

請問填充9,要怎麼做出p=11呢?

一個一個從p=1測試,和不會做在考場裡面是一樣的

我也分享一個方法
說來慚愧，我對於手算開根號真的不熟練，所以只好想其他方法
　
從\(\sqrt{433},\sqrt{434}\)可以推得\(20<\frac{q}{p}<21\)，設\(q=20p+k,\,\,0<k<p\),  \(k\)為整數

平方後得到  \(\displaystyle 433<\frac{400p^2+40pk+k^2}{p^2}<434 \)　=>　\(\displaystyle 33<\frac{40k}{p}+\frac{k^2}{p^2}<34 \) ，其中\(0<\frac{k^2}{p^2}<1\)

所以可推得\(\displaystyle 32<\frac{40k}{p}<34 \)，即  \(\displaystyle 0.8=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}<\frac{k}{p}<\frac{17}{20}=0.85 \)。

利用上面的不等式，去找出可能的\(\frac{k}{p}\)

從\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{k}{p}\)，先找分母比分子恰巧多1的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{5}{6}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{6}{7}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差1的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)

從\(\displaystyle\frac{8}{10}<\frac{k}{p}\)，再找分母比分子恰巧多2的情形：\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{9}{11}<\frac{17}{20}\)，且\(\displaystyle\frac{4}{5}<\frac{11}{13}<\frac{17}{20}\)。而\(\displaystyle\frac{13}{15}>\frac{17}{20}\)，不合。
故分子分母恰差2的情況，只可能是\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)或\(\displaystyle\frac{11}{13}\)

先試試看吧，都不合再來找分子分母差3以上的。

接著用\(\displaystyle 33<\frac{40pk+k^2}{p^2}<34 \)找出真的可行的

若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{5}{6}\)，則\(\displaystyle\frac{1200+25}{36}=\frac{1225}{36}>34\)不合

若\(\displaystyle\frac{k}{p}=\frac{9}{11}\)，則\(\displaystyle\frac{3960+81}{121}=\frac{4041}{121}≈33.4\)，符合

故選擇\(p=11,\,k=9\)，即\(q=20*11+9=229\)，所求為\(\frac{229}{11}\)

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2021-8-17 10:26 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2021-8-17 16:52 標題: 回復 35# 5pn3gp6 的帖子

謝謝5pn3gp6 老師的分享受教了

作者: shihqua 時間: 2021-8-18 11:17

關於第九題
其實一開始在逼近的時候就發現皆是20.8…
所以要有整數夾兩者，一定要從11開始試試看，這樣前面就不用試了（發現前面鋼琴老師已經說明了…
14題可以用垂心性質得到兩個關係式，相乘可以得到cos平方,再找sin就好(反正恆正)

[ 本帖最後由 shihqua 於 2021-8-18 11:19 編輯 ]

作者: shihqua 時間: 2021-8-18 17:34 標題: 回復 3# bugmens 的帖子

想問老師，為何要將n分開假設成奇數和偶數的樣子呢？

作者: jerryborg123 時間: 2021-8-21 16:43 標題: 第11題

請教老師們第十一題
我直接列出向量長度的式子，做配方求出 b=2/9 a= -5/9
請問這樣做為什麼不對？

作者: thepiano 時間: 2021-8-21 20:55 標題: 回復 39# jerryborg123 的帖子

配方完應是 α = 5/3，β = 14/3 時，有最小值 6

作者: PDEMAN 時間: 2021-8-28 13:00 標題: 第一題

請教各位老師第一題

作者: thepiano 時間: 2021-8-28 15:00 標題: 回復 41# PDEMAN 的帖子

填充第 1 題
題目沒寫清楚
直線 L 應是分別交 x 軸正向和 y 軸正向於 A、B 兩點

假設直線 L 為 y = m(x - 1) + 2
找出 B 點和 A 點坐標及直線 AC 的方程式
利用 CD 的長 = 點 B 到直線 AC 的距離
剩下就簡單了

[ 本帖最後由 thepiano 於 2021-8-28 15:17 編輯 ]

作者: PDEMAN 時間: 2021-8-28 15:15 標題: 回復 42# thepiano 的帖子

感謝鋼琴老師

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