標題: 110臺中一中 [打印本頁]

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作者: Superconan    時間: 2021-4-24 20:14     標題: 110臺中一中

週一應該會公告題目，簡單打一下還記得的關鍵字。
想請問填充第 11 題。
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110.04.29
計算證明題
感謝 BambooLotus 老師分享試題，
我用老師記得的數據與我的印象，推論出直線方程式的常數32，打成電子檔與各位分享。

110.05.21
臺中一中在 05/13 公告一份測驗題答案的檔案，其中包含計算證明題的試題與答案。因此，我將原本記憶版的檔案重新打字，改為跟官方一樣的敘述與數據，跟各位分享。

附件: 110臺中一中數學科測驗題公告0426.pdf (2021-4-26 14:22, 266.91 KB) / 該附件被下載次數 6167
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附件: 110臺中一中數學科測驗題答案公告0513.pdf (2021-5-21 16:58, 142.46 KB) / 該附件被下載次數 5097
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6020&k=2346a621bf3f0c3117753be57ed321b6&t=1716097364

附件: 110臺中一中計算證明題(官方數據版).pdf (2021-5-21 16:58, 120.99 KB) / 該附件被下載次數 4950
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6021&k=99b9d7287b21329d0b8abf5c6ba06844&t=1716097364

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作者: bugmens    時間: 2021-4-24 21:56

13.
在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿著對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ})\)，則\(\overline{BD}\)的長度為　　　(以\(\theta\)表示)。
其他相關題目https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

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作者: thepiano    時間: 2021-4-24 23:42     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

第 11 題
有\(A\)、\(B\)、\(C\)三個箱子，每箱內皆有六顆球，分別為兩個1號球、兩個2號球、兩個3號球。今甲、乙兩人均自每個箱子內各取一球，甲先取、乙後取，取後皆不放回，則兩人各取得三個球。若自\(A\)、\(B\)、\(C\)箱內取得球的號碼分別為百位數、十位數、個位數，則乙取得的三位數大於甲取得的三位數的機率為　　　。
[解答]
甲和乙從 A 袋中，抽出一樣號碼的機率 = 1/5
甲抽出的三位數 = 乙抽出的三位數的機率 = (1/5)^3
所求 = [1 - (1/5)^3] / 2

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作者: mean4136    時間: 2021-4-26 10:04

公布填充題及答案了

110.4.26版主補充
將檔案移到第一篇，方便網友下載

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作者: BambooLotus    時間: 2021-4-26 10:14

結果試題沒有公布計算題，小弟幫忙背個題目出來，日子過有點久了，有點健忘

計算1
在平面座標有一圓\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)，圓上一點\(A(-6,9)\)和一點B，
對直線\(3x+4y+...=0\)(常數項忘了但不影響答案)的正射影長為\(12\)，試求\(AB\)向量長的最大值。(9分)
小弟算答案為\(6\sqrt{5}\)

計算2
多項式方程式\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0\)的四根為\(\alpha,\beta,\gamma,\phi\)
(1)試求\(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}++\frac{1}{1-\phi}\)。(5分)
(2)在複數平面上一點\(1+i\)，此點為\(A\)，\(f(x)=0\)的四根在複數平面上為\(P,Q,R,S\)
試求\(\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{AR}\times\overline{AS}=\)？(5分)

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作者: mean4136    時間: 2021-4-26 10:17     標題: 回復 5# BambooLotus 的帖子

請教計算1

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作者: flyinsky218    時間: 2021-4-26 13:31     標題: 回復 6# mean4136 的帖子

我用A在直線上的投影點，然後推出B的投影點B’
作直線過B’點且垂直L，會和圓交於兩點，看哪個長度大

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-26 15:02

想請教填充12

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作者: pretext    時間: 2021-4-26 15:06     標題: 回復 8# ibvtys 的帖子

12.
若\(x\in R\)，滿足\(6^{x+1}-3 \cdot 8^x+2 \cdot 27^x-36^x=0\)，則\(\displaystyle \frac{x}{2x-1}=\)　　　。
[解答]
令a=2^x,b=3^x這樣比較容易看出因式分解
原式=6ab-3a^3+2b^3-(a^2)(b^2)=0

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作者: son249    時間: 2021-4-26 15:29     標題: 請教填充第5題的最小值怪怪的

我算的最小值是16/5

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作者: ChuCH    時間: 2021-4-26 15:37     標題: 回復 10# son249 的帖子

令橢圓參數式，到(2,0)距離，配方即可

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作者: thepiano    時間: 2021-4-26 16:10     標題: 回復 10# son249 的帖子

軌跡是橢圓 x^2 / 16 + y^2 / 36 = 1
易看出最小值是 2 沒錯

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作者: yosong    時間: 2021-4-26 20:47     標題: 填充8

8.
由樣本空間\(S\)得到兩個隨機變數\(X\)、\(Y\)，已知\(E(x)=1\)、\(E(X^2)=3\)、\(E(Y)=2\)、\(E(Y^2)=5\)、\(E(XY)=3\)，則\(Var(3X-2Y+7)=\)　　　。
[解答]
解法參考

圖片附件: 填充8.jpg (2021-4-26 20:47, 51.88 KB) / 該附件被下載次數 1565
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5913&k=e665914a241de8e3e1a437ea0ca163ba&t=1716097364

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作者: peter0210    時間: 2021-4-26 21:10

填充9
已知四個實數\(a,b,c,d\)，滿足\(abcd=-5\)，\(a(b-1)(c-1)(d-1)=11\)，\(a(b-2)(c-2)(d-2)=33\)，\(a(b-3)(c-3)(d-3)=73\)，則\(a(b+1)(c+1)(d+1)\)的值為　　　。
[解答]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5914&k=5e4bde872c9eb729d8b4cb3393e2ab71&t=1716097364

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作者: matsunaga2034    時間: 2021-4-27 00:14

想請教填充10

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作者: CyberCat    時間: 2021-4-27 01:06     標題: 回復 15# matsunaga2034 的帖子

10.
已知三次函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)(其中\(a,b,c,d\in R\)且\(a\ne 0\))，若函數\(f(x)\)的對稱中心為\((1,2)\)，且局部看函數\(y=f(x)\)的圖形在\(x=2\)附近近似於一條斜率為\(-4\)的直線，則\(\displaystyle \Bigg\vert\;\frac{b^2+c^2+d^2}{a}\Bigg\vert\;\)的最小值為　　　。
[解答]
由三次函數對稱點性質可得
-b/3a=1 得 b=-3a
又f'(2)=12a+4b+c=-4
可以推得c=-4,d=6+2a
將 b=-3a,c=-4,d=6+2a代入題目
再用算幾就可以處理了

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作者: happysad    時間: 2021-4-27 12:41

請問填充6該怎麼作答? 謝謝。

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作者: ycj    時間: 2021-4-27 13:01     標題: 回復 17# happysad 的帖子

6.
串生創造一個數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)，若\(a_1=x\)、\(a_2=y\)(\(x,y\)為正整數)，且對所有正整數\(n\)皆滿足\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\)。已知創造出的數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)中有一項是115，則\(x+y\)的最小值為　　　。
[解答]
Fibonacci
\(x,y,x+y,x+2y,2x+3y,3x+5y,5x+8y,8x+13y,13x+21y,21x+34y,34x+55y\)

\(x,y\)為正整數，不難從後面找回來，第一個找到的\(x+y\)最小
\(x=4,y=3\)時\(13x+21y=115\)

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作者: peter0210    時間: 2021-4-27 13:11

計算1
已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
\(B\)可能有兩點，\(AB\)線段最大為\(A\)至\(B2\)的距離\(=6\sqrt{5}\)

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作者: happysad    時間: 2021-4-27 13:32

感謝 ycj 大大的回覆~~~

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作者: ycj    時間: 2021-4-27 13:55

計算1
已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
求過A點平行線，得弦心距=1後，半弦長=7
重訂數據，設A'(-12,0)，O'(-5,1)，C': \((x+5)^2+(y-1)^2=50\)，投影線在x軸上
則B點會在y軸上，有兩解x=0代入得y=6或-4(-4時為最小值)
B(0,6)，AB最大值=\(6\sqrt{5}\)

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作者: laylay    時間: 2021-4-27 15:10     標題: 填充9.

已知四個實數\(a,b,c,d\)，滿足\(abcd=-5\)，\(a(b-1)(c-1)(d-1)=11\)，\(a(b-2)(c-2)(d-2)=33\)，\(a(b-3)(c-3)(d-3)=73\)，則\(a(b+1)(c+1)(d+1)\)的值為　　　。
[解答]
設 f(x)=x^3+px^2+qx+5/a=0 的三根為b,c,d  , 此時bcd=-5/a,它符合了abcd=-5
則 f(x+1)=0  三根為b-1,c-1,d-1 =>(b-1)(c-1)(d-1)= -(1+p+q+5/a)=11/a => p+q=-1-16/a
則 f(x+2)=0  三根為b-2,c-2,d-2 =>(b-2)(c-2)(d-2)= -(8+4p+2q+5/a)=33/a => 2p+q=-4-19/a
則 f(x+3)=0  三根為b-3,c-3,d-3 =>(b-3)(c-3)(d-3)= -(27+9p+3q+5/a)=73/a => 3p+q=-9-26/a
可得 p=-3-3/a=-5-7/a => a=-2 , p=-3/2 , q=17/2
  f(x-1)=0  三根為b+1,c+1,d+1 => (b+1)(c+1)(d+1)=-(-1+p-q+5/a)=27/2
=> a(b+1)(c+1)(d+1)=-27

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作者: enlighten    時間: 2021-4-27 23:23     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

可以請教詳細過程嗎?

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作者: pretext    時間: 2021-4-28 08:42     標題: 回復 23# enlighten 的帖子

先找出折起來的角DAB或DCB的cos
再用餘弦定理就可以得到對邊了

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作者: ibvtys    時間: 2021-4-28 10:07

想請問計算2的答案是2 和 根號41 嗎?

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作者: thepiano    時間: 2021-4-28 11:22     標題: 回復 25# ibvtys 的帖子

對

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作者: satsuki931000    時間: 2021-4-28 15:17

計算一
已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
不過很暴力就是了

把整個圖形平移，圓形平移變成一個圓心在原點的圓，得\(x^2+y^2=50\)
則平移過後的點\(A'(-5，5)\)，然後令\(B(5\sqrt2 cos\theta,5\sqrt2 sin\theta)\)
得\(\vec {AB}=(5\sqrt2 cos\theta +5,5\sqrt2 sin\theta -5)\)，所求為\(\displaystyle \sqrt{50\sqrt2 (cos\theta-sin\theta)+100}\)
之後再用正射影長公式列出關係式
解三角函數，代回去求最大值

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作者: tuhunger    時間: 2021-5-1 00:21     標題: 填充13

在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta\)(\(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ}\))，則\(\overline{BD}\)的長度為　　　(以\(\theta\)表示)。
[解答]
坐標化解法

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作者: chihming    時間: 2021-5-2 18:57     標題: 回復 18# ycj 的帖子

如果，倒過來，要先 找一般項，那怎麼找? 再反推 起始值

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 01:01     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

填1
若滿足\(2^k \cdot 4^m \cdot 8^n=512\)之正整數\((k,m,n)\)共有\(a\)組，滿足\(4^p \cdot 3^q \cdot 6^r=2^{11} \cdot 6^{16}\)之正整數\((p,q,r)\)共有\(b\)組，則數對\((a,b)=\)　　　。
[解答]

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 01:54     標題: 回復 30# nanpolend 的帖子

填2
設\(x\)、\(y\)、\(z\)、\(u\)均為實數，方陣\(A=\left[\matrix{x&y\cr z&u}\right]\)、\(B=\left[\matrix{1&4\cr -1&2}\right]\)、\(C=\left[\matrix{4&-26\cr -3&18}\right]\)，已知\(A\)的反方陣乘以\(B\)等於\(C\)，則序對\((x,y,z,u)=\)　　　。
[解答]

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 02:24     標題: 回復 31# nanpolend 的帖子

填3
已知\(x>1\)且滿足\(log_4 x-log_x 8+2=0\)，則\(2(log_2 x)^3+9(log_2 x)-7(log_2 x)-3=\)　　　。

圖片附件: 填充3.png (2021-5-3 02:24, 14.78 KB) / 該附件被下載次數 1667
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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 03:13     標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

填四
有一體積為\(18\sqrt{3}\)的四面體\(ABCD\)，若\(\Delta ABC\)為邊長6的正三角形，且\(\overline{CD}=\overline{BD}\)，半平面\(ABC\)和半平面\(DBC\)的兩面角為\(60^{\circ}\)，則\(\overline{AD}=\)　　　。
[解答]

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 05:01     標題: 回復 10# son249 的帖子

填5
已知線段\(\overline{PQ}\)之長為10，且線段\(\overline{PQ}\)上有一點\(R\)使\(\overline{PR}:\overline{RQ}=3:2\)。若\(P\)在\(x\)軸上移動，\(Q\)在\(y\)軸上移動，動點\(R\)所形成的圖形為\(\Gamma\)，若點\((2,0)\)與\(\Gamma\)上之點，距離的最大值為\(M\)、最小值為\(m\)，則數對\((M,m)=\)　　　。
[解答]

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 10:27     標題: 回復 34# nanpolend 的帖子

填12
若\(x\in R\)，滿足\(6^{x+1}-3\cdot 8^x+2 \cdot 27^x-36^x=0\)，則\(\displaystyle \frac{x}{2x-1}=\)　　　。
[解答]

圖片附件: 填12.png (2021-5-3 10:27, 15.28 KB) / 該附件被下載次數 1636
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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 10:27     標題: 回復 1# Superconan 的帖子

請教填充7做法

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作者: thepiano    時間: 2021-5-3 10:37     標題: 回復 36# nanpolend 的帖子

第 7 題
令 f(x) = a(x - 1)(x + 1)(x - 2)^2(x + 2)^2
......

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-3 16:24     標題: 回復 37# thepiano 的帖子

填7
若\(f(x)\)為滿足\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x-1}=36\)、\(\displaystyle \lim_{x\to -1}\frac{f(x)}{x+1}=-36\)、\(\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{f(x)}{x-2}=0\)、\(\displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{f(x)}{x+2}=0\)之最低次多項式，則\(f(3)=\)　　　。
[解答]
詳細作法

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作者: nanpolend    時間: 2021-5-4 02:47     標題: 回復 2# bugmens 的帖子

填充13

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作者: tsusy    時間: 2021-5-4 18:01     標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

填充 13. \( \overline{BD'} \) 沒有和 \( \overline{AC} \) 垂直，\( \angle BD'D \) 不是二面夾 \( \theta \)

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作者: anyway13    時間: 2021-6-16 00:16     標題: 請教計算2第二小題

版上老師好

計算二第二小題,請問有沒有比較快的做法

因為訂好坐標在一個 一個算很慢很複雜

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作者: thepiano    時間: 2021-6-16 08:37     標題: 回復 41# anyway13 的帖子

計算二
多項式方程式\(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0\)的四根為\(\alpha,\beta,\gamma,\phi\)
(1)試求\(\displaystyle\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}++\frac{1}{1-\phi}\)。(5分)
(2)在複數平面上一點\(1+i\)，此點為\(A\)，\(f(x)=0\)的四根在複數平面上為\(P,Q,R,S\)
試求\(\overline{AP}\times\overline{AQ}\times\overline{AR}\times\overline{AS}=\)？(5分)
[解答]
(2)
x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x - α)(x - β)(x - γ)(x - ψ)

AP * AQ * AR * AS = |[(1 + i) - α][(1 + i) - β][(1 + i) - γ][(1 + i) - ψ]|
= |(1 + i)^4 + (1 + i)^3 + (1 + i)^2 + (1 + i) + 1|

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作者: anyway13    時間: 2021-6-16 11:37     標題: 回復 42# thepiano的帖子

謝謝鋼琴師。

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作者: s9757140    時間: 2022-4-14 13:43

版上老師好

請教計算二第一小題, 謝謝

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作者: thepiano    時間: 2022-4-14 16:37     標題: 回復 44# s9757140 的帖子

計算二(1)
\(\begin{align}
  & {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=\left( x-\alpha  \right)\left( x-\beta  \right)\left( x-\gamma  \right)\left( x-\phi  \right) \\
& \frac{1}{1-\alpha }+\frac{1}{1-\beta }+\frac{1}{1-\gamma }+\frac{1}{1-\phi } \\
& =\frac{\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\gamma  \right)\left( 1-\phi  \right)+\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\gamma  \right)\left( 1-\phi  \right)+\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\phi  \right)+\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\gamma  \right)}{\left( 1-\alpha  \right)\left( 1-\beta  \right)\left( 1-\gamma  \right)\left( 1-\phi  \right)} \\
& =\frac{f\ '\left( 1 \right)}{f\left( 1 \right)} \\
& =2 \\
\end{align}\)

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作者: s9757140    時間: 2022-4-14 21:26     標題: 回復 45# thepiano 的帖子

非常感謝您

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作者: numzero    時間: 2022-11-21 14:01     標題: 回覆 16# CyberCat 的帖子

老師好，請教老師，後面算幾應當如何做?謝謝!

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作者: satsuki931000    時間: 2022-11-21 15:14     標題: 回覆 47# numzero 的帖子

原式等同\(\displaystyle |\frac{13a^2+24a+52}{a}|\)
若\(\displaystyle a>0 \Rightarrow 13a+\frac{52}{a}+24\geq 52+24=76\)
若\(\displaystyle a<0 \Rightarrow 13a+\frac{52}{a}+24\leq -52+24=-28\)


故\(\displaystyle |\frac{13a^2+24a+52}{a}|\geq 28\)

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