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標題: 109文華高中第二次（代理） [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2020-7-21 06:43     標題: 109文華高中第二次（代理）

109文華高中第二次（代理教師）教甄
筆試題目與參考答案

附件: 109文華高中第二次（代理）.pdf (2020-7-21 06:43, 481.74 KB) / 該附件被下載次數 6611
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5589&k=31464f6fc16aa41beb8c907ce8ae1df7&t=1714080033
作者: bugmens    時間: 2020-7-21 08:03

3.
設樣本空間\(S=\{\;a,b,c,d,e,f \}\;\)，事件\(A=\{\;a,b \}\;\)，則與事件\(A\)獨立的事件共有　　　個。

擲一公正骰子，樣本空間為\(S=\{\;1,2,3,4,5,6 \}\;\)，若事件\(A=\{\;1,6 \}\;\)，則與事件\(A\)獨立的事件有　　　個。
連結已失效h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/kshstest/106PDF/106_2_3_1.pdf

7.
已知\(a\in R\)，且\(M=\sqrt{\displaystyle (\frac{a^2}{4}-2)^2+(a-1)^2}+\sqrt{\displaystyle (\frac{a^2}{4}-1)^2+a^2}\)，則\(M\)的最小值為　　　。

8.
袋中有五顆球編號1 號~5 號，現從袋中任取一球記下號碼後放回，連取三次，則三次中出現最大號碼數的期望值為　　　。

同時擲三個公正骰子，最大點數(不是指點數和)的期望值為　　　。
(98嘉義高工，https://math.pro/db/thread-1031-1-1.html)

14.
將一個固定不動的圓分成10個相等的扇形，並用紅藍綠三種顏色加以著色，相鄰的扇形顏色不同，則有　　　種著色方法。
連結有解答，https://math.pro/db/thread-499-1-1.html

15.
某面積為\(3\sqrt{3}\)的三角形以\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為三邊長，若\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)為方程式\(x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96=0\)之相異三根，則\(k\)值為　　　。
[解答]
由根與係數可知\(\alpha+\beta+\gamma=2k\)，\(\displaystyle s=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}=k\)
\(\alpha,\beta,\gamma\)為方程式的三根，\((x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-2kx^2+(k^2+11)x-96\)
\(\Delta=\sqrt{s(s-\alpha)(s-\beta)(s-\gamma)}=\sqrt{k(k-\alpha)(k-\beta)(k-\gamma)}=\sqrt{k(k^3-2k\cdot k^2+(k^2+11)k-96)}\)
(我的教甄準備之路　三角形的面積，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)

設△ABC的三邊長為a、b、c，且a、b、c為方程式\( x^3-14x^2+62x-88=0 \)的三根，求△ABC的面積為　　。
(103竹北高中，https://math.pro/db/thread-1916-1-1.html)
(104台南二中，https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html)
(105松山家商，https://math.pro/db/thread-2528-1-1.html)
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-21 17:03

第13題
設\(A_1\)、\(A_2\)、\(A_3\)、…、\(A_{109}\)為正109邊形的109個頂點，且此正109邊形面積為10，考慮由此正109邊形之連續數個邊及相異的首尾兩頂點連成之凸多邊形，如\(A_3 A_4 A_5 A_6\)或\(A_{108}A_{109}A_1A_2 A_3 A_4 A_5\)等，試求所有符合條件之凸多邊形的面積和為　　　。

考慮取連續的n個邊 可以和剩下的109-n個邊組合成一個完整的正109多邊形
n=2~54 （55以後重複）
設n=2 則可構成一個三角形 剩餘的邊構成108邊形 共有109個 面積共1090 其餘同理
所求為1090*53=57770

小弟想問的是 如果直接取109個邊 為什麼不合
算出來的當下很直覺得要把這情況多補上去
作者: thepiano    時間: 2020-7-21 18:14     標題: 回復 3# satsuki931000 的帖子

題目有說您選的第一個頂點和最後一個頂點要相異
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-22 16:54

謝謝鋼琴老師
另外想問1 11 16
作者: whatbear    時間: 2020-7-22 19:53     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

16
球面\(S\)：\(x^2+y^2+z^2-2x-4y+8z+18=0\)及一平面\(E\)：\(x+2y-2z-16=0\)，\(S\)與\(E\)交於圓\(C\)，若過圓\(C\)上任一點做\(S\)的切平面恆過一定點\(R\)，則\(R\)的座標為　　　。
[解答]
球面的球心為(1,2,-4)、半徑為\(\sqrt{3}\)
令球心A(1,2,-4)及其於E的投影點A'
設題意的任一切平面與球面切點B
則可知 \(\Delta AA'B \sim \Delta BA'R\)且皆為直角三角形

\(\frac{\overline{AA'}}{\overline{BA'}}=\frac{\overline{BA'}}{\overline{A'R}}\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\overline{A'R}}\)

\(\overline{A'R}=2\)

\(\overline{AR}=3\)

令過球心且垂直E的直線L之參數動點(1+t,2+2t,-4-2t)
t=1,-1(不合)
可得R(2,4,-6)
作者: tsusy    時間: 2020-7-22 19:57     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

填充1.
設函數\(f(x)\)，已知\(f(2x)<0\)共有11個整數解，\(f(2x+5)<0\)共有16個整數解，則\(f(x)<0\)的整數解個數為　　　個。
[解答]
由題可知，偶數解有11個，奇數解有16個，故整數解共有27個
作者: tsusy    時間: 2020-7-22 20:11     標題: 回復 5# satsuki931000 的帖子

填充11.
設函數\(f(x)\)滿足：
(1)對於\(0\le x_1<x_2\le 1\)，有\(f(x_1)\le f(x_2)\)
(2)\(f(0)=0\)
(3)\(\displaystyle f(\frac{x}{3})=\frac{f(x)}{2}\)
(4)\(f(1-x)=1-f(x)\)
則\(\displaystyle f(\frac{109}{2020})=\)　　　。
[解答]
由題意中的條件可知

\( f(1)=f(1-0)=1-f(0)=1 \)

\( f(\frac{1}{3})=\frac{1}{2}\cdot f(1)=\frac{1}{2} \)

\( f(\frac{1}{2})=f(1-\frac{1}{2})=1-f(\frac{1}{2}) \Rightarrow f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2} \)

再由遞增得”若 \( \frac{1}{3}\leq x\leq\frac{1}{2} \)，則 \( f(x)=\frac{1}{2} \)"

\( f(\frac{109}{2020})=\frac{1}{2}f(\frac{327}{2020})=\frac{1}{4}f(\frac{981}{2020})=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \)


類題 105北一區(花蓮高中)學科能力競賽
(出處 7/23 補充，今天再看，突然想起來了，這好像是  Cantor function。Google 一下，果然真的是啊！)

已知函數 \( f(x) \) 滿足下列性質

(a) 若 \( x_{1}\leq x_{2} \)，則 \( f(x_{1})\leq f(x_{2}) \)

(b) \( f(1-x)=1-f(x) \)

(c) \( f(5x)=2f(x) \),

則 (1) 求 \( f(0) \), \( f(1) \), \( f(\frac{1}{5}) \), \( f(\frac{4}{5}) \) 的值。

(2) 求 \( f(x)=\frac{1}{2} \) 的解集合。

(3) 求 \( f(11.15) \) 及 \( f(\frac{1}{2016}) \) 的值。

其中最有意思的應該是第(2) 解集合，從(1)的結果，不難猜到是 \( [ \frac15, \frac45 ] \)
但有意思的就是再多一點點或少一點點函數值就不是這樣了的論證

[ 本帖最後由 tsusy 於 2020-7-23 10:20 編輯 ]
作者: satsuki931000    時間: 2020-7-23 00:17     標題: 回復 6# whatbear 的帖子

抱歉 小弟想知道比較詳細的說明
為何BA'R會是直角三角形且和AA'B'相似
作者: whatbear    時間: 2020-7-23 06:48     標題: 回復 9# satsuki931000 的帖子

(1)因B為切點，所以 \(\angle ABR\)為直角，即\(\Delta ABR\)為直角三角形。

(2)因A'為A在E上的投影點及\(\overline{BA'}\)是E上的一條線段，
所以\(\overline{BA'}\perp\overline{AA'}\)

由母子相似性質可推論相似

[ 本帖最後由 whatbear 於 2020-7-23 07:13 編輯 ]
作者: swallow7103    時間: 2020-7-23 07:39     標題: 回復 4# thepiano 的帖子

鋼琴老師您好：

我也有這個疑問，覺得答案應該要再包含原本這個正109邊形。
依題目所說，我可以選擇 \(A_1 A_2 A_3 ...A_{108} A_{109} \) 這108個連續邊(即不包含 \(A_{109} A_1\) 這個)。
然後首尾相連，就變回原本的正109邊形。

補一下我的算法： \( ( C^{109}_{2}-109 ) \times 10 +10 = 57780 \)
不知道想法對不對，有錯請指正 : )
作者: thepiano    時間: 2020-7-23 07:56     標題: 回復 11# swallow7103 的帖子

當您選了 108 個連續邊，再把最後一個邊連起來，相當於選了全部的 109 個邊，此時首尾兩頂點是同一個，不是題目要的。

此題要看的是最後的凸多邊形，其首尾兩頂點不能是同一個
作者: swallow7103    時間: 2020-7-23 21:14     標題: 回復 12# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師的解釋！

不過就我的看法，題目的意思是先選幾個連續的邊，造出一個頭尾不同頂點的path，再把頭尾連起來形成一個cycle；
所以我只選108個邊所造出的路徑，頭尾是不同的，應該符合題目敘述。

當然我的本意不是要爭答案是57770 還是57780，而是題目可能要有更精確的敘述(比如說原本的正109邊形不算)。
畢竟主要的解題策略應該是 “任選一條對角線，可以切出兩個不同的多邊形，面積和=10”，這才是題目要考的東西。
如果最後還得考慮文字敘述可能造成的差異，就有點失去測驗的本意了。

當然也可能是我的閱讀理解問題，如果真的是我與眾不同，那麻煩就大了... XD
作者: thepiano    時間: 2020-7-23 21:48     標題: 回復 13# swallow7103 的帖子

您說的也有道理

另外，應是任選一條對角線，可以切出兩個不同的“多邊形”
作者: happysad    時間: 2020-7-25 11:00

2.
若已知實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\displaystyle 3^{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{3}-\alpha\)，\(log_3 \beta=2\sqrt{3}-2\beta\)，則\((\alpha+\beta)^2-2(\sqrt{3})^{\alpha}-log_3 \beta=\)　　　。

請問填充2該怎麼做呢?  弄很久湊不出來~~
作者: thepiano    時間: 2020-7-25 13:55     標題: 回復 15# happysad 的帖子

小弟覺得這題有問題
作者: anyway13    時間: 2020-7-25 23:21     標題: 請教第10題

版上老師好

請問第10題高斯符號要怎摩處理阿

用暴力法算好久阿  請老師指點
作者: anyway13    時間: 2020-7-26 10:07     標題: 第10題過程

第10題
\([\;x ]\;\)表不大於\(x\)的最大整數，若\([\;\sqrt{1} ]\;+[\;\sqrt{3} ]\;+[\;\sqrt{5} ]\;+\ldots+[\;\sqrt{n} ]\;\le 2020\)，則\(n\)的最大值為　　　。

小弟有作出來可是還是覺得很慢
希望有更快的方法

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5598&k=998bb2e6e763c5577d07fc13000e8208&t=1714080033
作者: Ellipse    時間: 2020-7-26 12:52     標題: 回復 18# anyway13 的帖子

\([\;x ]\;\)表不大於\(x\)的最大整數，若\([\;\sqrt{1} ]\;+[\;\sqrt{3} ]\;+[\;\sqrt{5} ]\;+\ldots+[\;\sqrt{n} ]\;\le 2020\)，則\(n\)的最大值為　　　。

假設an=[√ n]
1X2    "a1"=a2="a3"=1
2X2    a4="a5"=a6="a7"=a8=2
3X4    "a9"=a10="a11"=a12="a13"=a14="a15"=3
4X4     a16=.................
................
15x16    "a225"=............
16x16    a=256=.............
17x18    "a=289"=.................   
(以上an為奇數項的,總和=1x2+2x2+3x4+4x4+.............+17x18=1866)

2020-1866=154 ,154/18=8......
所求=(18^2+1) +(8-1)*2=339
作者: anyway13    時間: 2020-7-26 20:37     標題: 回復 19# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse老師熱心回答
作者: Ellipse    時間: 2020-7-26 21:55

引用:
原帖由 happysad 於 2020-7-25 11:00 發表
請問填充2該怎麼做呢?  弄很久湊不出來~~
題目數據有誤(做不出來),要改成下列這樣,答案才會是他給的數據

圖片附件: 1595771631292.jpg (2020-7-26 21:55, 36.73 KB) / 該附件被下載次數 2415
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5599&k=6e147b2344f57062502dac001a3ba728&t=1714080033

作者: happysad    時間: 2020-7-27 11:32

引用:
原帖由 Ellipse 於 2020-7-26 21:55 發表

題目數據有誤(做不出來),要改成下列這樣,答案才會是他給的數據
感謝Ellipse大大的改正，不過小弟卡在(alpha + beta)^2 該如何化簡，請問如何處理?
作者: thepiano    時間: 2020-7-27 11:40     標題: 回復 22# happysad 的帖子

畫指數和對數函數圖形，利用它們關於 y = x 對稱
作者: anyway13    時間: 2020-7-28 15:27     標題: 回復 23# thepiano 的帖子

鋼琴老師好,小弟愚笨所以把這個圖用電腦畫一下

可是得不到對稱y=x的這件事

可不可以請老師指點一下這題要怎麼作阿

圖片附件: 118359.jpg (2020-7-28 15:27, 170.76 KB) / 該附件被下載次數 2478
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5600&k=0695c3ce8023189f090d049c9a8072e7&t=1714080033

作者: satsuki931000    時間: 2020-7-28 15:51



圖片附件: 16.JPG (2020-7-28 15:51, 37.22 KB) / 該附件被下載次數 2953
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5601&k=50398b72e48f4343a8d7f00c6989e7b1&t=1714080033

作者: anyway13    時間: 2020-7-28 19:18     標題: 回復 25#satsuki931000 的帖子

謝謝satsuki931000老師詳細的回答,感謝您
作者: koeagle    時間: 2021-2-11 22:22

想請教第3、9題，謝謝。
作者: thepiano    時間: 2021-2-12 00:01     標題: 回復 27# koeagle 的帖子

第 3 題
設樣本空間\(S=\{\;a,b,c,d,e,f \}\;\)，事件\(A=\{\;a,b \}\;\)，則與事件\(A\)獨立的事件共有　　　個。
[解答]
空集合
a 或 b 選一個，剩下四個選兩個
全部六個都選

第 9 題
若\(x,y\)為整數，\(a\)、\(b\)為有理數，\(i\)為虛數單位，且\((2\sqrt{2}+\sqrt{2}i)x^2-\sqrt{2}ixy-2\sqrt{2}iy^2+3\sqrt{2}y+(3+4i)a-(2+i)b-(11\sqrt{2}+i)=0\)，則\(x+y+a+b=\)　　　。
[解答]
實部整理後
2x^2 + 3y - 11 = 0
3a - 2b = 0

虛部整理後
x^2 - xy - 2y^2 = 0
4a - b = 1
作者: koeagle    時間: 2021-2-12 00:16     標題: 回復 28# thepiano 的帖子

第3題我漏了空集合，謝謝 thepiano 老師。
作者: ibvtys    時間: 2021-2-27 10:56

想請教第5題，謝謝。
作者: ibvtys    時間: 2021-2-27 12:51     標題: 回復 8# tsusy 的帖子

老師好 : 不知道能不能提示一下，如何證明 (2) 求 f(x) = 1/2 的解集合是[1/5 , 4/5]，我證到剩下f(1/6) = 1/3 ~ f(1/5) = 1/2 這個區間，但在這區間裡的數就不知道怎麼證了
作者: Lopez    時間: 2021-2-27 12:51     標題: 回復 30# ibvtys 的帖子

第5題
作者: ibvtys    時間: 2021-2-27 14:32     標題: 回復 32# Lopez 的帖子

終於懂了~非常感謝
作者: tsusy    時間: 2021-2-27 20:26     標題: 回復 31# ibvtys 的帖子

105 北一區(花蓮)
其本上就是 Cantor set, Cantor function

首先，易知對任意 \( n\in\mathbb{N}, f(\frac{1}{5^{n}})=\frac{1}{2^{n}} \)

可得 \( f(1-\frac{1}{5^{n}})=1-f(\frac{1}{5^{n}})=1-\frac{1}{2^{n}} \)

因此 \( f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{n+1}} \)

對任意 \( t \) 滿足 \( 0\leq t<\frac{1}{2} \)，存在正整數 \( n \) 使得 \( t<\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5^{n}} \)

又 \( f(x) \) 為遞增函數，因此 \( f(t)\leq f(\frac{1}{5}-\frac{1}{5^{n+1}})<\frac{1}{2} \)。

再由 \( f(1-x)=1-f(x) \)，可得對任意 \( t \) 滿足 \( \frac{4}{5}<t\leq1, f(t)>\frac{1}{2} \)
作者: ibvtys    時間: 2021-2-27 21:03     標題: 回復 34# tsusy 的帖子

了解~非常感謝



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