標題: 109高雄市高中聯招 [打印本頁]

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作者: bugmens    時間: 2020-5-31 09:51     標題: 109高雄市高中聯招

　

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5482&k=728cff28e1447f9aa63bd7ecec55887a&t=1713500587

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作者: bugmens    時間: 2020-5-31 09:51

5.
求\(\displaystyle \left[\frac{1}{3} \right]+\left[\frac{2}{3} \right]+\left[\frac{2^2}{3} \right]+\ldots+\left[\frac{2^{100}}{3} \right]\)之值，其中\(\left[a\right]\)表示不超過\(a\)的最大整數。
連結有解答
2000TRML個人賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1042&page=1#pid11268

6.
若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=2\)，則\(a+b+c=\)？

若實數\(a,b,c\)滿足\(\displaystyle \frac{a}{5}+\frac{b}{8}+\frac{c}{11}=\frac{a}{6}+\frac{b}{9}+\frac{c}{12}=\frac{a}{7}+\frac{b}{10}+\frac{c}{13}=1\)，則\(a+b+c=\)？
(1)18　(2)24　(3)27　(4)30
(96苗栗縣國中聯招)
這裡有更多類似問題，https://math.pro/db/thread-919-1-1.html

8.
求兩曲線\(y=x^3-3x+1,y=x^3-3x+33\)的公切線方程式？

\(y=x^3-3x\),\(y=x^3-3x+32\)，求兩曲線的公切線方程式？
連結有解答，https://math.pro/db/thread-1561-1-1.html

10.
一個盛滿水的半球形容器，將此半球形容器傾角\(\theta\)，使容器內的水恰好倒掉全部的\(\displaystyle \frac{23}{27}\)，求\(sin \theta=\)？

在直徑12公分的半球形容器內裝滿水，將此容器傾斜\( 30^o \)，求流出去的水量為多少立方公分？
99高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=1#pid2273

11.
已知\(2^x+3^y+5^z=7\)，\(2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11\)；若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z+1}\)，試求\(t\)的範圍？

已知\(x,y,z\)均為實數，且\(\cases{2^x+3^y+5^z=7 \cr 2^{x-1}+3^y+5^{z+1}=11}\)，若\(t=2^{x+1}+3^y+5^{z-1}\)，試求\(t\)的範圍。
連結有解答
98高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-797-1-1.html

14.
證明\(f(x)=x^8-x^5+x^2+x+1=0\)沒有實根。
連結有解答
104高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2290&page=2#pid13723

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作者: Ellipse    時間: 2020-5-31 10:29

引用:

原帖由 bugmens 於 2020-5-31 09:51 發表
　

#5
2000TRML,99基隆高中(數據一模一樣)

#7
2014TRML

#6
96苗栗縣國中,之後陸續也考過很多次 (這題數據幾乎都跟96苗栗縣國中(最後等於1)一樣)

#11
98年高市聯招,計算5  (出題老師還真懶,數據幾乎都一樣,只有最後改成5^(z+1) )

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作者: koeagle    時間: 2020-5-31 19:03

想請教證明第1題 (題號13)，謝謝。

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作者: Ellipse    時間: 2020-5-31 19:50

引用:

原帖由 koeagle 於 2020-5-31 19:03 發表
想請教證明第1題 (題號13)，謝謝。

(ab+bc+ca)²=(ab)²+(bc)²+(ca)²+2abc(a+b+c)-----------(*1)
依題意僅須證明(ab)²+(bc)²+(ca)²>=abc(a+b+c)
由柯西不等式知:
[(ab)²+(bc)²+(ca)²][(ca)²+(ab)²+(bc)²]>=[a²bc+ab²c+abc²]²
=>  (ab)²+(bc)²+(ca)²>=a²bc+ab²c+abc²=abc(a+b+c)---------(*2)
由(*1)&(*2)可得證

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作者: koeagle    時間: 2020-5-31 19:58     標題: 回復 5# Ellipse 的帖子

謝謝 Ellipse 老師。

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作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-31 20:33

請問填充第一題有除了假設一般式的方法嗎?

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作者: Ellipse    時間: 2020-5-31 20:45

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2020-5-31 20:33 發表
請問填充第一題有除了假設一般式的方法嗎?

假設f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x+b)+(2x-1)----------(*)
f(0)= -217 ,解得b= -9 代回(*)
所求f(5)= -87

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作者: jasonmv6124    時間: 2020-5-31 20:52     標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

謝謝你 我用的方法太複雜了

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作者: dream10    時間: 2020-6-1 09:32

引用:

原帖由 Ellipse 於 2020-5-31 10:29 發表

#5
2000TRML,99基隆高中(數據一模一樣)

#6
96苗栗縣國中,之後陸續也考過很多次 (這題數據幾乎都跟96苗栗縣國中(最後等於1)一樣)

#11
98年高市聯招,計算5  (出題老師還真懶,數據幾乎都一樣,只有最後改成5^(z+1) ) ...

應該說做考古題很有用~~~哈哈

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作者: yi4012    時間: 2020-6-1 11:26

第3題也是考古題，只要把X=i帶入算實部就可以了

第4題是104全國聯招填充第3題

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作者: 5pn3gp6    時間: 2020-6-1 14:28

引用:

原帖由 yi4012 於 2020-6-1 11:26 發表
第二題也是考古題，只要把X=i帶入算實部就可以了

第4題是104全國聯招填充第3題

帶入x=i 的應該是第3題

另外這次的第6題
跟 107新北聯的第1題也是類似的
https://math.pro/db/thread-2971-2-1.html

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作者: HC3064    時間: 2020-6-1 15:50

想請教版上老師填充第九題，謝謝。

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作者: koeagle    時間: 2020-6-1 16:24     標題: 回復 13# HC3064 的帖子

第9題，可視為二項分布 \( \displaystyle X \sim Bin \left( 12 , \frac{1}{4} \right) \)

\( \displaystyle E(X) = np = 3  ,  Var(X) = np(1-p) = \frac{9}{4}  ,  E(X^2) = Var(X) + [E(X)]^2 = \frac{45}{4} \)

所求：\( \displaystyle E(X^2 + 2X) =  \frac{45}{4} + 2 \times 3 = \frac{69}{4}  \)

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作者: jerryborg123    時間: 2020-6-1 16:41     標題: 回復 13# HC3064 的帖子

仿照二項分配證明期望值=np的方法，獎金中k的部分可以消掉，再把k+2看成k-1+3做第二次

可惜我不熟練，考試時來不及把這題寫完

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作者: HC3064    時間: 2020-6-1 18:10

感謝以上兩位老師，受教了。

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作者: 5pn3gp6    時間: 2020-6-1 23:21

引用:

原帖由 HC3064 於 2020-6-1 15:50 發表
想請教版上老師填充第九題，謝謝。

依題意 所求為
\(\displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k \left(\frac{1}{4}\right)^k \left(\frac{3}{4}\right)^{12-k} k(k+2)=\frac{1}{4^{12}}\left( \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2+ 2\sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \right) \)

其中　
\( \displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k \)
我把它想成 「從12人挑k人不參加運動比賽，其他(12-k)個人從三個項目中選擇其中一種；另外再從不參加的k個人中，挑1人來擔任領隊」
　
所以將k=0~k=12 的情形連加起來後，就可以得到
「12人中先挑一人擔任領隊(不參加比賽)，其餘11人可以參加比賽(三選一)或不參加比賽。」
即是 \( \displaystyle 12\times 4^{11} \)
　
同理，\( \displaystyle  \sum^{12}_{k=0} C^{12}_k 3^{12-k} k^2 = 12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10} \) (不參加的人要有人擔任領隊與經理，可同一人擔任)
　
所以所求為　\(\displaystyle \frac{1}{4^{12}}\left((12\times 4^{11} + 12\times 11 \times 4^{10})+2(12\times4^{11})\right)=\frac{4^{11}\left((12+3\times 11)+2\times(12)\right)}{4^{12}} =\frac{69}{4}\)

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作者: zidanesquall    時間: 2020-6-2 14:01

想請教第七題

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作者: ycl1280    時間: 2020-6-2 14:15     標題: 回復 18# zidanesquall 的帖子

第七題：我的做法是利用線性變換的特性來求面積
作法如下

圖片附件: D82E98D9-F392-49FA-BA51-7B7F88025FB8.jpg (2020-6-2 14:15, 302.42 KB) / 該附件被下載次數 2458
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5496&k=85e815d0cb2532d6b82a2cb789d6039a&t=1713500587

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作者: zidanesquall    時間: 2020-6-2 14:43     標題: 回復 19# ycl1280 的帖子

謝謝～～我懂了！

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作者: 5pn3gp6    時間: 2020-6-2 16:34

引用:

原帖由 zidanesquall 於 2020-6-2 14:01 發表
想請教第七題

長方形邊上的點，到兩對角線的距離和為定值

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作者: c711211    時間: 2020-6-4 09:47     標題: 詳解供參考

如題，請大家參考，若有誤請指教，謝謝各位老師

附件: 109高雄聯招試題暨詳解.pdf (2020-6-4 09:47, 154.37 KB) / 該附件被下載次數 5014
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5504&k=dac02b11b8899a0ee69c51ff3f368d2e&t=1713500587

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作者: Ellipse    時間: 2020-6-4 21:36

雄聯57分進複試
考生們加油~~

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