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標題: 108新北市高中聯招 [打印本頁]

作者: Superconan 時間: 2019-5-12 14:31 標題: 108新北市高中聯招

如附件

108.5.14初試疑義答覆
第一部分第12題
1.三種顏色的球各\(2n\)顆，若是球是相異的話，題目應該就會寫成「\(6n\)顆相異球平分成兩堆」，同色球就是相同，相異的話題目會特別說明。
2.但基於考生權益，若以為球是相異的話，答案為\(C(6n,3n)/2\)，也給分。

原答案與\(\displaystyle \frac{1}{2}C_{3n}^{6n}=\frac{(6n)!}{2(3n)!(3n)!}\)均給分

附件: 108新北市高中聯招試題.pdf (2019-5-19 05:47, 310.94 KB) / 該附件被下載次數 12971
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作者: Superconan 時間: 2019-5-12 14:35

請問填充6、7、10、12，計算1

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 15:24 標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充第12題
這題準備送分，沒說同色球都是相同的

其中一堆紅球\(a\)顆、黑球\(b\)顆、白球\(c\)顆
\(a+b+c=3n\)
所求\(=\frac{H_{3n}^{3}-3\times H_{3n-\left( 2n+1 \right)}^{3}+1}{2}=\frac{C_{3n}^{3n+2}-3\times C_{n-1}^{n+1}+1}{2}=\frac{3{{n}^{2}}+3n+2}{2}\)
分子加上的1是剛好平分時那種

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-12 15:27 編輯 ]

作者: Almighty 時間: 2019-5-12 16:30 標題: 填充8

從x,y的係數
令x=y=t
或者用 Cauchyineq.

[ 本帖最後由 Almighty 於 2019-5-12 19:43 編輯 ]

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作者: bugmens 時間: 2019-5-12 16:42

5.
設\(\displaystyle 7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)總共2019個7，請問此數除以100的餘數為　　　。

設\(\displaystyle a=7^{7^{.^{.^{.^7}}}}\)(有2013個7)，試求\(a\)的末兩位數為　　　。
(102高中數學能力競賽　北二區(新竹高中)筆試二試題，https://math.pro/db/thread-2359-1-1.html)

6.
邊長為1的正五邊形內部，去掉同時與五個頂點距離皆小於1的點後，剩下的面積是　　　。
(102高中數學能力競賽，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2359&page=2#pid17859)

7.
一長方體的最長對角線，與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，求此長方體體積。

長方體\(ABCDEFGH\)中，對角線\(\overline{CE}\)與不相鄰邊之距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，求此長方體體積。
(103高中數學能力競賽　新北市口試試題，https://math.pro/db/thread-2125-1-1.html)

9.
設\(p,q\)為實數使得\(x^3+3x^2+px-q=0\)的三根成等差數列，且同時使得\(x^3+(2-p)x^2-(q+3)x-8=0\)的三根成等比數列，則數對\((p,q)\)為　　　。
(108台灣師大申請入學，連結已失效h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14)

已知\(x^3+6x^2+px-q=0\)之三根成等差數列，且\(x^3+qx^2-px+1=0\)之三實根成等比數列，則數對\((p,q)=\)　　　。
(104北一女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2218&page=1#pid12958)

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 16:53 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

請問加1 是否是因為平分只有一個狀況不像其他會重複算到
所以要加1再除2呢？

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 16:56

請問填充4.11

填充11 請問不是(甲沒進×乙沒進×甲進)嗎?

作者: roger0315 時間: 2019-5-12 17:00 標題: 回復 7# jasonmv6124 的帖子

還有甲沒進-乙沒進-甲沒進-乙進?！不知道我這樣想對不對

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 17:03 標題: 回復 6# jasonmv6124 的帖子

加 1 後再除以 2 的原因如您所言

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 17:14 標題: 回復 8# roger0315 的帖子

應該是如此答案正確
謝謝老師跟鋼琴老師的回答

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 18:36 標題: 回復 8# roger0315 的帖子

填充第 11 題
以下兩種情形的機率加起來
(1) 甲第一次沒進，乙第一次也沒進，甲第二次進
(2) 甲第一次沒進，乙第一次也沒進，甲第二次又沒進，乙第二次進

作者: Superconan 時間: 2019-5-12 19:14 標題: 回復 5# bugmens 的帖子

想請教一下 cefepime 老師解這題的想法
他的鯊魚鰭形指的應該是 KIJ 這塊
但是我想請問「108度扇形」和「帳篷形」指的是哪兩塊？
謝謝老師

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作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 19:45 標題: 回復 12# Superconan 的帖子

鯊魚鰭應該是AHB喔
帳篷是AEH
(以上都是順著曲線)

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 19:49

填4

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 19:55 編輯 ]

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作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 19:50

第6題

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作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 21:00 標題: 第4題

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作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 21:03 標題: 第7題

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作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 21:11 標題: 第8題

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=5045&k=de4e6d7a605ebd66d73152c5400babe0&t=1713603472

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 21:14 標題: 證明第二題

證明第二題直接看這裡的例題11.1
懶的打了
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/attachments/article/836/11%20mathdata.pdf

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 22:09 標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充第 7 題
請參考
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... &p=27929#p27929

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 22:21 標題: 證明第一題

其實此題跟Pi無關，隨便連續寫2020個數字，中間一定有一段是2019的倍數。

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作者: thepiano 時間: 2019-5-12 22:22 標題: 回復 2# Superconan 的帖子

填充第 10 題
以下度省略
原式 = (tan10)^2 + 1 + (tan70)^2 + 1 + (tan50)^2 + 1
而 (tan10)^2 + (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9，這是 105 能力競賽，嘉義區複賽試題

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-5-12 22:30 編輯 ]

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-12 22:43

感謝以上老師回答

作者: Superconan 時間: 2019-5-12 22:55 標題: 回復 22# thepiano 的帖子

(tan10)^2 + (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9 這個算式感覺也很不容易呀＠＠

以下是 105 年高中能力競賽，嘉義區複賽所給的解析，給各位參考

[ 本帖最後由 Superconan 於 2019-5-12 23:29 編輯 ]

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作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 23:05

引用:

原帖由 Superconan 於 2019-5-12 22:55 發表
(tan10)^2 + (tan50)^2 + (tan70)^2 = 9 這個算式感覺也很不容易呀＠＠

引用解法最好註明一下來源

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-5-12 23:09 編輯 ]

作者: Superconan 時間: 2019-5-12 23:13 標題: 回復 25# Ellipse 的帖子

不好意思，這是從別人手上拿到的詳解，不知道是誰解的，所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享，如果不妥的話，我再刪除

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 23:21

引用:

原帖由 Superconan 於 2019-5-12 23:13 發表
不好意思，這是從別人手上拿到的詳解，不知道是誰解的，所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享，如果不妥的話，我再刪除

Superconan的來源應該是這裡，連結已失效h ttps://www.cysh.cy.edu.tw/files/15-1001-2330,c629-1.php

但這解法太麻煩，我下面貼一篇。

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 23:22

引用:

原帖由 Superconan 於 2019-5-12 23:13 發表
不好意思，這是從別人手上拿到的詳解，不知道是誰解的，所以我無法註明來源
我只是想跟網友分享，如果不妥的話，我再刪除

這個是105年高中能力競賽,嘉義區複賽所給的解析
註明來源就好了

作者: Superconan 時間: 2019-5-12 23:28 標題: 回復 28# Ellipse 的帖子

原來是這個意思！那我知道了，謝謝橢圓老師！

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-12 23:38 標題: 第10題

利用根與系數關係來算
--------------------------------------

--------------------------------------
這種題目通常都可以用這招，若只有三個就找三倍角公式（四個的就找四倍角公式），然後把角度三倍看看值一不一樣，有時可以用餘角、補角去試。
此題為例，cos10可以先化為sin 80，然後三倍角後的sin值相同，就可以用這招。
以thepiano貼的嘉義105年的為例tan50三倍角後差一個負號，但剛好它是平方，所以就改成tan(-50)又剛好。
--------------------------------------

--------------------------------------
可以看出嘉義這題比較難一點。

有人密我說是不是我出的，不是啦，這想法是從ptt看來的，單純搜尋能力而已，來源如下：
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.13 ... ucSjCpiracaVhTJvWDo

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2019-5-12 23:48 編輯 ]

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作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 23:43

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2019-5-12 23:38 發表
利用根與系數關係來算
5050

這種題目通常都可以用這招，若只有三個就找三倍角公式（四個的就找四倍角公式），然後把角度三倍看看值一不一樣，有時可以用餘角、補角去試。
此題為例，cos10可以先化為sin 80，然後三倍角後的sin值相 ...

老師厲害~~又一位高手來造福考生~~

作者: thepiano 時間: 2019-5-12 23:45 標題: 回復 30# DavidGuo 的帖子

您同事出題蠻狠的 ...

作者: Ellipse 時間: 2019-5-12 23:49

這張會寫1/3 以上就很厲害了

作者: BambooLotus 時間: 2019-5-13 00:15

填10
原式\(\displaystyle=\frac{2}{1+\cos20^\circ}+\frac{1}{1-\cos^220^\circ}+\frac{1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-8\cos^320^\circ+1}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}\) \(\left(-8\cos^320^\circ+6\cos20^\circ=-1\right)\)
\(\displaystyle=\frac{12\cos^220^\circ-6\cos20^\circ}{4(1-\cos^220^\circ)\cos^220^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2(1-\cos^220^\circ)\cos20^\circ}=\frac{6\cos20^\circ-3}{2\cos20^\circ-2\cos^320^\circ}\) \(\displaystyle\left(-2\cos^320^\circ+\frac{3}{2}\cos20^\circ=-\frac{1}{4}\right)\) 其實考試當下看到\(\displaystyle-\frac{1}{4}\)我就已經先填答案是\(12\)了
\(\displaystyle=\frac{6\cos20^\circ-3}{\displaystyle\frac{1}{2}\cos20^\circ-\frac{1}{4}}=12\)

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-13 00:33

引用:

原帖由 thepiano 於 2019-5-12 23:45 發表
您同事出題蠻狠的 ...

呵呵，
其實聯招的題目會由兩位教授出題，題目有易有難，
然後幾位資深高中老師入圍選題，選題也蠻關鍵的。

作者: manifold5566 時間: 2019-5-13 00:52

證明2

圖片附件: 60007854_2247536235339711_4423394278508593152_n.jpg (2019-5-13 00:52, 180.96 KB) / 該附件被下載次數 3532
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作者: yi4012 時間: 2019-5-13 10:12 標題: 回復 16# DavidGuo 的帖子

其實另一種直觀想法
abc最大值發生在a=b=c
所以x=y=z=pi/4時，等式成立，所以最大值為根號2/4
我是利用柯西不等式和三角恆等式(sin^2 x+cos^2 x=1)

作者: Ellipse 時間: 2019-5-13 10:41

引用:

原帖由 DavidGuo 於 2019-5-13 00:33 發表
呵呵，
其實聯招的題目會由兩位教授出題，題目有易有難，
然後幾位資深高中老師入圍選題，選題也蠻關鍵的。

您們可以統計看看那些難題,在短短80分鐘內,464位考生有幾個做的出來?
(平均一題不到6分內就要解出來)

作者: yi4012 時間: 2019-5-13 11:05 標題: 回復 30# DavidGuo 的帖子

sin240度是-根號3/2喔，這次是剛好有平方才一樣的。
sin60度=sin120度=根號3/2
稍微有錯誤，請更正。

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-13 12:37

請教第5題
我的算法是2019個7跟2017個7會同餘
這樣算下來會直接跟1個7同餘
所以我答案算7

不知道這樣哪裡算錯?

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-13 12:55

引用:

原帖由 Ellipse 於 2019-5-13 10:41 發表
您們可以統計看看那些難題,在短短80分鐘內,464位考生有幾個做的出來?
(平均一題不到6分內就要解出來)

這不用統計，要滿分一定很難，我現場做應該只有60而已。
前面的答案也是回來後慢慢想，跟別的老師討論，化簡之後才打的。
現場不可能想的到。

但這不是學生在學校的考試，沒有要全做出來。
把題目流覽過，選有把握的寫，填充寫出個五題應該就可進試教了。
進了試教的時候，不看筆試分數，大家又重新開始。

我以前開會時，曾跟某獨招學校出題的老師argue同樣的問題，
他是給我這樣的講法，我是覺得還蠻合理的。

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2019-5-13 13:17 編輯 ]

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-13 13:00

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2019-5-13 12:37 發表
請教第5題
我的算法是2019個7跟2017個7會同餘
這樣算下來會直接跟1個7同餘
所以我答案算7
不知道這樣哪裡算錯?

圖片附件: Capture.PNG (2019-5-13 13:00, 25.21 KB) / 該附件被下載次數 4179
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5054&k=49e1084754f0851794d964b92494408b&t=1713603472

作者: jasonmv6124 時間: 2019-5-13 20:33 標題: 回復 42# DavidGuo 的帖子

請問是次方總共2019個7
還是包含下面的7總共2019個呢?

作者: DavidGuo 時間: 2019-5-13 22:29

引用:

原帖由 jasonmv6124 於 2019-5-13 20:33 發表
請問是次方總共2019個7
還是包含下面的7總共2019個呢?

題目看起來是包含下面的7總共2019個，
有沒有包含答案都是43。

作者: tuhunger 時間: 2019-5-13 22:57 標題: 計算2 (另外證法)

參考看看

圖片附件: 219321.jpg (2019-5-13 22:57, 188.75 KB) / 該附件被下載次數 3235
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5057&k=1d98853cee3f280a941950b0f22ebd75&t=1713603472

作者: tuhunger 時間: 2019-5-14 01:39 標題: 填充8 (幾何解法)

參考看看

圖片附件: 219426.jpg (2019-5-14 01:39, 94.23 KB) / 該附件被下載次數 3336
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5060&k=6f3c1fdcfbbe0bf78d9f43997e9b83af&t=1713603472

作者: Jane 時間: 2019-5-14 15:07 標題: 填充 5

不曉得自己的算法哪裡有錯
麻煩各位前輩幫我糾錯，謝謝大家

圖片附件: D5A4574A-2D8A-4AD3-A01F-CF414A4BD12D.jpeg (2019-5-14 15:07, 369.29 KB) / 該附件被下載次數 4119
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作者: tuhunger 時間: 2019-5-14 16:22 標題: 填充2

依照abcd...順序即可推得原式為112x89=9968

圖片附件: 未命名.png (2019-5-14 16:22, 3.01 KB) / 該附件被下載次數 3066
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作者: superlori 時間: 2019-5-15 14:45 標題: 填充10

學校老師問的，提供我自己的解法供參考

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作者: yi4012 時間: 2019-5-15 15:10 標題: 回復 47# Jane 的帖子

7^7=>43
但是7^7^7=7^823543，並非43^7
7=7，7^2=49，7^3=343，7^4=2401
我也犯了同樣的錯誤
請查收
所以如前者所說，是跟7除4餘3有關，跟7的數量無關
除了7之外，7^7^7^...........^7一律都是除100同餘43

因為不會打同於符號，所以直接用中文

作者: yi4012 時間: 2019-5-15 15:13 標題: 回復 48# tuhunger 的帖子

其實看到第一次乘積是4位，就可以知道乘數末位>8，只會是9
而結果是4位數，9999/89=112.........31
又1000/9==111........1
所以被乘數為112，答案可知是112*89=9968

作者: shia41059 時間: 2019-5-16 16:33 標題: 回復 46# tuhunger 的帖子

為什麼AB向量=(-t,-t,-2t/3)，不能是(1,2,1)等使內積=0的向量

[ 本帖最後由 shia41059 於 2019-5-20 17:06 編輯 ]

作者: Uukuokuo 時間: 2019-5-16 17:48 標題: 回復 17# DavidGuo 的帖子

請問abc怎麼解出

作者: weni 時間: 2019-5-16 23:50 標題: 填充2

雜亂又冗長作法…希望你看得懂…

110.2.10補充
109高中數學能力競賽也出這題https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html

圖片附件: IMG_4957.JPG (2019-5-16 23:50, 974.24 KB) / 該附件被下載次數 4552
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5068&k=4a4f323bec80c3ed95047f774f137a39&t=1713603472

作者: Jane 時間: 2019-5-17 10:41 標題: 回復 50# yi4012 的帖子

我瞭解了，謝謝y大

作者: yi4012 時間: 2019-5-17 16:11 標題: 回復 53# Uukuokuo 的帖子

(ac)^2/(a^2+c^2)=20
利用倒數得到：
(a^2+c^2)/(ac)^2=1/20
=1/c^2+1/a^2
其他兩式以此作法推得，令x=1/a^2，y=1/b^2，z=1/c^2
x+z=1/20
y+z=13/900
x+y=2/45
求出x=1/25，y=1/225，z=1/100
所以a=5，b=15，c=10
順序無所謂，所以可能跟前者有點出入，見諒

作者: tuhunger 時間: 2019-5-17 21:56

引用:

原帖由 shia41059 於 2019-5-16 16:33 發表
為什麼AB向量=(-t,-t,-2/3t)，不能是(1,2,1)等使內積=0的向量

圓錐與平面的截痕,
如果平面平切是圓,  n向量=(0,0,1)
題目為斜切是橢圓, n向量=(1,1,-3)  ,其實z向量不重要,

會發現x,y,向量變成(1,1), 所以平面會往反方向翹起來
所以我假設(-t,-t,  z) , t為正
又(-t,-t,  z)與n向量=(1,1,-3)垂直, 可知z=2t/3

作者: shia41059 時間: 2019-5-20 17:12 標題: 回復 57# tuhunger 的帖子

原來如此，謝謝

作者: anyway13 時間: 2019-6-1 17:19 標題: 證明第一題

請問版上老師,關於證明第一題,感謝21樓 DavidGuo老師提供作法

只是在建造a1,a2,a3...的同時是怎麼樣會保證一定會有兩個除以2019得到相同的餘數呢?

照老師建造的方式,題目若是改成證明圓週率

作者: anyway13 時間: 2019-6-1 17:20 標題: 證明第一題

請問版上老師,關於證明第一題,感謝21樓 DavidGuo老師提供作法

只是在建造a1,a2,a3...的同時是怎麼樣會保證一定會有兩個除以2019得到相同的餘數呢?

照老師建造的方式,題目若是改成證明圓週率

作者: anyway13 時間: 2019-6-1 17:21 標題: 證明第一題 (後面字打不出用夾檔方式提問)

請問在附件謝謝

[ 本帖最後由 anyway13 於 2019-6-1 17:29 編輯 ]

附件: 證明第一題.pdf (2019-6-1 17:29, 356.66 KB) / 該附件被下載次數 5119
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5108&k=1b8c664d25e2cbf8618209d1ebc54c8b&t=1713603472

作者: lyingheart 時間: 2019-6-1 19:29 標題: 回復 22# thepiano 的帖子

今年(107學年度)北市賽填充第五題是這樣的
\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2{20^o}}+ \frac{1}{\sin^2{40^o}}+ \frac{1}{\sin^2{80^o}} \)

以下是我的作法，從三角學辭典裡面學到的。

[ 本帖最後由 lyingheart 於 2019-6-1 19:30 編輯 ]

圖片附件: 107北市2-5-1.png (2019-6-1 19:30, 17.67 KB) / 該附件被下載次數 3428
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5109&k=f9cd01ac7a67790784b50ade800715b1&t=1713603472

圖片附件: 107北市2-5-2.png (2019-6-1 19:30, 11.88 KB) / 該附件被下載次數 3361
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5110&k=68d3f139a99ca395d023bfa5179bccec&t=1713603472

作者: zanlinphon 時間: 2019-6-1 21:30

餘數只有2019種，找2020個數字至少有兩個會重複

作者: Lopez 時間: 2019-6-2 06:34 標題: 回復 59# anyway13 的帖子

證明第一題
我越俎代庖,說明一下細節...

Claim : a1 , a2 , ..... , a2020 這2020個數中,必有兩數除以2019的餘數相同
pf :
令 B = { a1 , a2 , ..... , a2019 }
(1) 若 B 中有兩個元素除以2019的餘數相同,則得證.

(2) 若 B 中元素除以2019的餘數皆不同,
表示 B 中元素除以2019 餘0 , 餘1 , 餘2 , ..... , 餘2018 者, 各有一個.
設 a2020 除以2019的餘數為 n , 其中 0 ≤ n ≤ 2018
則餘n 共有兩個,得證.

作者: anyway13 時間: 2019-6-2 14:20 標題: 謝謝回覆證明一的老師們

謝謝你們。終於搞懂了。

作者: jackyxul4 時間: 2020-4-4 00:42 標題: 回復 18# DavidGuo 的帖子

填充8

不影響最後答案的錯誤:兩個點是(1,1,-1)與(-5,-5,-5)才對

[ 本帖最後由 jackyxul4 於 2020-4-4 00:46 編輯 ]

作者: 呆呆右 時間: 2021-5-2 02:23 標題: 請教計算1

證明圓周率\( \pi\)的小數點後，能取到連續一段數字是2019的倍數。

我的問題是：
若能指出圓周率3.14...
小數位數中有出現0
那麼直接取0作為2019的倍數
是否就算是回答這道問題了？

老師們構造數列，再用鴿籠原理的手法
假設遇到像是：
01234-1234=00000，再去掉後面4個0，得到0
(也就是一開始構造的數列本身就有數值是相同的)
如此一來，就是取0作為2019的倍數

在此請教老師們的想法！

已解答：若能指出小數點後有出現0就算是回答問題了

[ 本帖最後由呆呆右於 2021-5-2 02:46 編輯 ]

作者: ChuCH 時間: 2021-10-17 17:21 標題: 回復 57# tuhunger 的帖子

想問一下
"又(-t,-t, z)與n向量=(1,1,-3)垂直, 可知z=2t/3"

若z=2t/3 這樣子內積是否不為0 是不是應該加上負號

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