Math Pro 數學補給站

標題: 108中科實中雙語部 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2019-4-27 21:26 標題: 108中科實中雙語部

雙語部教甄初試試題及解答

108.5.1補充
以下資料供以後的考生參考：

1名正式教師，取8名參加複試
48,32,32,30,27,26,23,18(僅以數學成績排序)

其他，
10~19分 9人
0~ 9分 9人

共計 26 人

附件: 108中科實中_雙語部數學科初試題目.pdf (2019-4-27 21:26, 158.62 KB) / 該附件被下載次數 9113
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4950&k=b99cab8169b04c54c636d20dbb6a5353&t=1713584759

附件: 108中科實中_雙語部數學科初試解答.pdf (2019-4-27 21:26, 66.88 KB) / 該附件被下載次數 8847
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4951&k=a20e77fd8eb5f07b4fcbe7619087af28&t=1713584759

附件: 108中科實中_雙語部初試成績.pdf (2019-5-1 15:35, 278.19 KB) / 該附件被下載次數 8215
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5000&k=13ca6d82099758fb1d6c752303540355&t=1713584759

作者: bugmens 時間: 2019-4-27 21:48

填充題
2.
已知直角三角形的斜邊長與其中一股長之和為9，則此直角三角形面積的最大值為　　　

設一直角三角形的斜邊長與一股長的和為6，試求此直角三角形的面積產生最大值時的各邊長。
(101屏東女中，https://math.pro/db/thread-1386-1-1.html)

5.
方程式\((x+7)^{\frac{1}{3}}-(x-7)^{\frac{1}{3}}=2\)，則解方程式得實根中較小者為　　　
(99嘉義高工，https://math.pro/db/thread-964-1-1.html)

12.
已知圓周上有二十四個等分點，任取三點所組成的三角形中，三個內角均大於30度的有　　　個
https://math.pro/db/thread-1297-1-1.html

15.
求\(\left[(2+\sqrt{6})^{100} \right]\)的個位數為　　　。
(98國立清水高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1605)

計算題
2.
函數\(f(x)=\sqrt{40-x}+\sqrt{x}+\sqrt{13-x}\)，其中\(0\le x \le 13\)，
(1)\(f(x)\)的最大值為何？此時\(x\)為何值？
(2)\(f(x)\)的最小值為何？此時\(x\)為何值？

求函數\( y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x} \)的最大和最小值？
(2009大陸高中數學競賽)

作者: satsuki931000 時間: 2019-4-27 22:51

第一題
剛好今天考雄女有類似的題目XD

圖片附件: 702FFDF0-6EE1-42B9-ACC5-6DE41E3A8604.png (2019-4-27 22:51, 250.95 KB) / 該附件被下載次數 6292
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4954&k=32313026800b0b2ed91d756aadcde9b4&t=1713584759

圖片附件: CE622A49-4F13-4F34-A8CD-5D23FD8CE7AB.png (2019-4-27 22:51, 173.54 KB) / 該附件被下載次數 6185
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4955&k=83393063a744af7f6d8612ead13fc87c&t=1713584759

作者: Ellipse 時間: 2019-4-28 01:02

計算1:
跟我之前po過一題,數據一模一樣~
(註:我這題是從高中題庫找的)
詳細討論請參考
https://www.facebook.com/photo.p ... mp;type=1&theat
thepiano補充 :這題104彰化高中也考過

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-28 01:20 編輯 ]

作者: empty 時間: 2019-5-6 10:54 標題: 請問填充6

請問填充6如何算。謝謝。

作者: thepiano 時間: 2019-5-6 11:10 標題: 回復 5# empty 的帖子

填充第 6 題
考慮算幾不等式，等號成立時

作者: empty 時間: 2019-5-6 11:45 標題: 回復 6# thepiano 的帖子

謝謝thepiano
我的計算
一次微分，二次微分。判斷確定圖形後，再反推。才得到答案。長長的計算，卻沒有想到要用算幾不等式。
算幾不等式好算，快速

作者: thepiano 時間: 2019-5-6 11:56 標題: 回復 7# empty 的帖子

題目說 x 和 y 是正數，就是提示您用算幾

作者: empty 時間: 2019-5-6 12:26 標題: 回復 8# thepiano 的帖子

收到，謝謝您的提醒

作者: q1214951 時間: 2019-5-7 14:23 標題: 請問計算2如何算

請問計算2如何算，謝謝老師！

作者: Ellipse 時間: 2019-5-7 20:36

引用:

原帖由 q1214951 於 2019-5-7 14:23 發表
請問計算2如何算，謝謝老師！

請參考連結
https://www.facebook.com/photo.p ... p;theater&ifg=1

作者: q1214951 時間: 2019-5-8 15:12 標題: 回復 11# Ellipse 的帖子

謝謝Ellipse老師

作者: 小姑姑 時間: 2019-8-13 22:35 標題: 請教填充第13題

請教填充第13題，謝謝。

作者: tsusy 時間: 2019-8-14 15:47 標題: 回復 13# 小姑姑的帖子

多項式數 \( f(x) \) 在整個實數上為遞增函數之充要條件為

\( f'(x)\geq0, \forall x\in\mathbb{R} \)

上式可整理為

\( x^{4}+4a^{3}x+243 \geq 0, \forall x\in\mathbb{R} \)

令 \( g(x)=x^{4}+4a^{3}x+243 \)，則 \( g'(x)=4x^{3}+4a^{3}=4(x^{3}+a^{3}) \)

利用 \( g'(x) \) 的正負分析可得 \( g(x) \) 在 \( x=-a \) 時有最小值 \( g(-a)=-3a^{4}+243 \)

因此 \( g(x)\geq0\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow g(-a)\geq0\Leftrightarrow-3\leq a\leq3 \)

作者: weni 時間: 2019-8-15 20:40 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

謝謝寸絲大大

作者: 小姑姑 時間: 2019-8-15 22:28 標題: 回復 14# tsusy 的帖子

謝謝寸絲老師。

作者: satsuki931000 時間: 2019-8-16 21:33

想請問第九題

作者: thepiano 時間: 2019-8-16 22:05 標題: 回復 17# satsuki931000 的帖子

第 9 題
f(-1) >= 0
f(2) >= 0
f(0) <= 0
f(1) <= 0
a^2 - 4b > 0
畫出上述不等式之圖形，所求是以原點為圓心之最小圓半徑的平方

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-8-16 22:09 編輯 ]

作者: satsuki931000 時間: 2019-8-18 11:11 標題: 回復 18# thepiano 的帖子

有個地方不懂想請問
f(-1)=1+a+b
又因為0<=a<=2 -2<=b<=0

得-1<=1+a+b<=3
為何可以直接得到f(-1)>=0之結論

作者: thepiano 時間: 2019-8-18 12:08 標題: 回復 19# satsuki931000 的帖子

把二次函數的圖形畫出來就可看出

作者: jackyxul4 時間: 2020-2-23 14:50

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2019-4-27 22:51 發表
第一題
剛好今天考雄女有類似的題目XD
4954
4955

借題發問確認一下有關填充一的想法：

(1)有沒有利用對稱的矩陣做法?
從幾何觀念去處理，將L1的點對角平分線做對稱就會變換到L2上，只是兩直線不過原點，對稱矩陣有辦法寫成如題目中單一個A矩陣嗎?

(2)如果兩直線交於原點，則A有無限多解，對嗎?
我的想法是最基本的用角平分線做鏡射就有兩種，如果先把L1上的點伸縮a倍，再做鏡射，一樣滿足L1落在L2。
伸縮跟鏡射可以合併成一個\(a_{2\times 2}\) 所以A有無限多解。

(3)如果(2)是正確的，那如何驗證原本題目為唯一解??

[ 本帖最後由 jackyxul4 於 2020-2-23 14:51 編輯 ]

作者: jackyxul4 時間: 2020-2-23 20:29

這樣計算應該是最簡便的

[ 本帖最後由 jackyxul4 於 2020-5-10 13:49 編輯 ]

圖片附件: 773121FD-7750-4A7F-90B0-8E82FC6B5DDA.jpeg (2020-5-10 13:49, 172 KB) / 該附件被下載次數 2810
https://math.pro/db/attachment.php?aid=5450&k=a21176fe37e42bc3ce29dea273443db6&t=1713584759

作者: thepiano 時間: 2020-2-23 21:15 標題: 回復 21# jackyxul4 的帖子

(1) 無法寫出矩陣 A

(2) 若兩直線過原點，的確有無限多個矩陣 A

(3) 原題直線未過原點，只有唯一解

作者: 克勞棣 時間: 2020-2-24 09:01 標題: 回復 2# bugmens 的帖子

已知直角三角形的斜邊長與其中一股長之和為9，則此直角三角形面積的最大值為____

請問各位先進，這一題要怎麼算？此帖給的連結好像沒有這一題。謝謝！

作者: thepiano 時間: 2020-2-24 16:31 標題: 回復 24# 克勞棣的帖子

第2題
設兩股長分別是x、y，斜邊長9-x
易知\({{y}^{2}}+9x+9x=81\)，再用算幾

作者: jim1130lc 時間: 2020-2-29 11:40

今天才寫這份考古題
發現第5題應該錯了，答案的\(-5\sqrt{2}\)，代入原題會造成有理指數的底數為負...
若題目改成\(\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[3]{x-7}=2\)就沒問題了

作者: Lyndagm 時間: 2021-3-29 19:45 標題: 想請教第十題

各位老師們好～想問第十題該如何下手解決呢？
謝謝大家～

作者: BambooLotus 時間: 2021-3-29 21:12 標題: 回復 27# Lyndagm 的帖子

求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{1}{2n}\right)^p+\left(\frac{2}{2n}\right)^p+\ldots+\left(\frac{2n}{2n}\right)^p}
{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}\right)^p+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2n}\right)^p+\ldots+\left(\frac{1}{2}+\frac{n}{2n}\right)^p}\)之值\((p>0)\)　　　。
[解答]
切片切的順手就好的，還是喜歡把範圍限在0到1

原式\( \displaystyle=2\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{1}{2n}\sum\limits_{k=1}^{2n}\left(\frac{k}{2n}\right)^p}{\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{k}{2n}\right)^p}=2\times\frac{\displaystyle\int_0^1x^pdx}{\displaystyle\int_0^1\left(\frac{1}{2}+\frac{x}{2}\right)^pdx}=\frac{2^{p+1}}{2^{p+1}-1} \)

111.2.14補充
105鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2511&page=2#pid15490

作者: Lyndagm 時間: 2021-3-30 21:43 標題: 回復 28# BambooLotus 的帖子

感謝您～～
我再好好練習

作者: L.Y. 時間: 2021-7-4 14:53 標題: 請教第4題

老師們好，
想請教一下第四題能夠怎麼討論比較有系統呢：由0與1所形成項數為25的數列中，首項末項皆為0，0不相鄰、1沒有三個連續。
有嘗試著以幾個「110」來討論，還是覺得很混亂想請教更高明的想法。

作者: BambooLotus 時間: 2021-7-4 15:10

把「10」當\(x\)，「110」當\(y\)，用整數解配排列討論看看

作者: koeagle 時間: 2021-7-4 16:12 標題: 回復 30# L.Y. 的帖子

第四題

圖片附件: FB85CBBA-31B6-4E16-918A-A5594315E444.jpeg (2021-7-4 16:12, 135.26 KB) / 該附件被下載次數 2394
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6054&k=83ee9f7bfa21b30cff3fbfeeaf316cf1&t=1713584759

作者: L.Y. 時間: 2021-7-4 17:29 標題: 回復 32# koeagle 的帖子

謝謝 BambooLotus 與 koeagle老師，獲益良多！

作者: chihming 時間: 2021-7-10 12:00 標題: 回復 33# L.Y. 的帖子

想請教第十六題
                              事實上個人是會算啦，因為相減是二次所以只要假設三次就可以得到 a、b、c、d 的係數
                                       然後再以x=40 代入即可得知答案
                                                                                    但是問題是個人都不知道為什麼可以這樣假設
                                                      因為 f:N-->R 又不謹謹止於多項式  所以才有疑問說
                                                         為什麼可以這樣假設。
                                             以上提問謝謝大家

。

作者: BambooLotus 時間: 2021-7-10 12:23 標題: 回復 34# chihming 的帖子

先補個出處
97家齊女中
https://math.pro/db/thread-792-1-7.html

\(\displaystyle f(x+1)=\frac{x+2}{x+1}\times f(x)+\frac{3}{4}\times(x+2)+x(x+2)\)，\(\displaystyle\frac{f(x+1)}{x+2}=\frac{f(x)}{x+1}+x+\frac{3}{4}\)
令\(\displaystyle a_n=\frac{f(n)}{n+1}\)，\(\displaystyle a_{n+1}=a_n+n+\frac{3}{4}\)
剩下就很簡單了

作者: chihming 時間: 2021-7-11 14:59 標題: 回復 35# BambooLotus 的帖子

想請教第十四題
                           費伯那西數列求一般項之後
                                 怎麼除以 7 的餘數

作者: thepiano 時間: 2021-7-11 15:40 標題: 回復 36# chihming 的帖子

第 14 題
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=27867#p27867

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0