標題: 107高雄聯招 [打印本頁]

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作者: 小姑姑    時間: 2018-6-10 09:30     標題: 107高雄聯招

第11題，公告答案修正為4。

附件: 107高雄聯招數學科試題卷.pdf (2018-6-10 09:30, 395.12 KB) / 該附件被下載次數 9187
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作者: 小姑姑    時間: 2018-6-10 09:56     標題: 拜託各位，提疑義必須在今天中午點前提出。

拜託各位，提疑義必須在今天中午點前提出。

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作者: exin0955    時間: 2018-6-10 10:09

答案是4吧

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作者: 小姑姑    時間: 2018-6-10 10:25     標題: 回復 3# exin0955 的帖子

我算的也是4

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作者: Bra    時間: 2018-6-10 10:31

我跟朋友算的也都是4，應該就是一直線會有最小值，答案應該錯了

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作者: 小姑姑    時間: 2018-6-10 11:13     標題: 回復 5# Bra 的帖子

希望多一點人傳過去提疑義，而且要今天中午12點之前。

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作者: cathy80609    時間: 2018-6-10 11:29     標題: 回復 6# 小姑姑 的帖子

答案已更正為4

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作者: Ellipse    時間: 2018-6-10 11:32

#9
法一:
假設P(a,b) ,利用換一半公式(計算題可能需要證明)
得直線AB : ax+by-2(x+a)/2+3(y+b)/2=0
整理得(2a-2)x+(2b+3)y+(-2a+3b)=0-------(1)
又直線AB為4x-5y-18=0--------(2)
比較(1)&(2)係數: (2a-2)/4 =(2b+3)/(-5)=(-2a+3b)/(-18)
得a=3,b=-4 ,所以P坐標為(3,-4)

法二:
依題意知圓心O(1,-3/2),半徑r=OA=(√13)/2
假設線段AB與線段OP交點為K , 線段OK=|4+5*(3/2)-18| / √(16+25)  =13 / (2√41)
由直角三角形子母相似性質:OA^2=OK*OP , 得OP=(√41)/2 -------(1)
假設P(a,b),則a=1+4t ,b=(-3/2) -5t (t為實數)--------(2)
由(1)&(2)得√[(4t)^2+(-5t)^2] = (√41)/2  ,得t=1/2 (畫圖知t=-1/2不合)
所以a=1+4(1/2)=3 ,b=(-3/2) -5(/2)=-4 ,所求(a,b)=(3,-4)

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作者: 小姑姑    時間: 2018-6-10 11:55     標題: 回復 8# Ellipse 的帖子

這一題我也是出來才知道這樣做，可是這種寫法會對嗎？

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作者: Ellipse    時間: 2018-6-10 12:00

引用:

原帖由 小姑姑 於 2018-6-10 11:55 發表
這一題我也是出來才知道這樣做，可是這種寫法會對嗎？

這舊教材都刪了,如果沒證,可能會被扣一些分數
應該不至於0分

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作者: cefepime    時間: 2018-6-10 23:59

9.

另解 1

C: x² + y² - 2x + 3y = 0 ...(1)

C 的圓心Q: (1, - 3/2)

令 P: (a, b)，則以 P, Q 為直徑兩端點之圓方程式:

(x-a)*(x-1) + (y-b)*(y+3/2) = 0 ...(2)

則 (1) - (2) 與 L: 4x - 5y - 18 = 0 同義

⇒ (a, b) = (3, -4)



另解 2 (類似)

令過 A，B，P 的圓 S:

x² + y² - 2x + 3y + k*(4x - 5y - 18) = 0

則 C 的圓心Q: (1, - 3/2) 在 S 上

⇒ k = -1/2

⇒ S 的圓心: (2, -11/4) 為 P，Q 的中點

⇒ P 之坐標 (3, -4)

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作者: cut6997    時間: 2018-6-11 12:36     標題: 請教14題正確做法

想請問14題除了羅畢達3次以外有其他作法嗎?

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作者: weiye    時間: 2018-6-11 12:54

第14題，

\(\displaystyle \lim_{\theta\to0}\frac{\tan\theta - \sin\theta}{\theta^3}=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta^3}\cdot\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}\)

\(\displaystyle=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta^3}\cdot\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}\cdot\frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta}=\lim_{\theta\to0}\frac{\sin^3\theta}{\theta^3}\cdot\frac{1}{\cos\theta\left(1+cos\theta\right)}\)

\(\displaystyle=1^3\cdot\frac{1}{1\cdot\left(1+1\right)}=\frac{1}{2}\)

不放心的話，頂多只需要再補上 \(\displaystyle\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1\) 的證明就可以了。

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作者: thepiano    時間: 2018-6-11 13:12     標題: 回復 12# cut6997 的帖子

第14題
\(\begin{align}
  & \frac{\tan \theta -\sin \theta }{{{\theta }^{3}}} \\
& =\frac{\sin \theta -\sin \theta \cos \theta }{{{\theta }^{3}}\times \cos \theta } \\
& =\frac{\sin \theta \times 2{{\sin }^{2}}\frac{\theta }{2}}{{{\theta }^{3}}\times \cos \theta } \\
& =\frac{\sin \theta }{\theta }\times {{\left( \frac{\sin \frac{\theta }{2}}{\frac{\theta }{2}} \right)}^{2}}\times \frac{1}{2\cos \theta } \\
&  \\
& \underset{\theta \to 0 }{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \theta -\sin \theta }{{{\theta }^{3}}}=1\times 1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \\
\end{align}\)

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作者: laylay    時間: 2018-6-11 13:54     標題: 回復 12# cut6997 的帖子

第14題
由泰勒展開式知  tanA=A+2/3!*A^3+.....
                            sinA=A-1/3!*A^3+.....
故所求=[2-(-1)]/3!=1/2

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作者: cut6997    時間: 2018-6-11 14:02

謝謝三位老師解答
難怪我每次都覺得時間不夠用
因為算的方法都是錯的

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作者: g112    時間: 2018-6-11 16:17

想請問第一題,
我的算法是: 分母25取2

分子:剛開始任取，然後以那點為中心劃十字,剩下4*4的方格中，黑白剛好各半，總共25*16/2

所以答案是8/12=2/3，不曉得哪裡算錯了
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另外想請問一下各位老師第11題的分數有加回來嗎
對完答案後少了7分(假如已經加分的話)

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作者: cut6997    時間: 2018-6-11 16:38     標題: 回復 17# g112 的帖子

老師您好
當中心點行數和列數皆為偶數時
剩下的4*4並不會剛好各半

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作者: g112    時間: 2018-6-11 17:32

引用:

原帖由 cut6997 於 2018-6-11 16:38 發表
老師您好
當中心點行數和列數皆為偶數時
剩下的4*4並不會剛好各半

了解，謝謝

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作者: cathy80609    時間: 2018-6-11 18:22     標題: 回復 17# g112 的帖子

g112大，我覺得應該是高雄聯招也看計算過程，可能答案對但計算過程有誤，所以沒給分(我的情況就是這樣，但我知道那7分是被扣定了)，可以拿題目一起討論看看!

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作者: tuhunger    時間: 2018-6-11 21:46     標題: 第14題

教甄必念寶典-泰宇的數學101

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作者: Ellipse    時間: 2018-6-11 22:00

引用:

原帖由 tuhunger 於 2018-6-11 21:46 發表
教甄必念寶典-泰宇的數學101

舊的絕版了~~

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作者: cut6997    時間: 2018-6-11 23:22     標題: 請教該如何補完小弟第6題缺失的步驟

對完答案的時候我原本以為會坐7望8...沒想到剛去查成績只有5開頭...
感覺這次過程抓很嚴...
我知道我第二行到第三行跳太快
可是我不知道該怎麼補齊那一段
又或者整個都是錯的
還請各位老師指點
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+4}}+\ldots\right)\)
\(\displaystyle =\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{3}{n}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}+\ldots \right)\)
\(\displaystyle =\int_0^1 \frac{1}{2\sqrt{1+x}}dx=\sqrt{1+x}|_0^1=\sqrt{2}-1\)

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作者: Ellipse    時間: 2018-6-11 23:51

引用:

原帖由 cut6997 於 2018-6-11 23:22 發表
對完答案的時候我原本以為會坐7望8...沒想到剛去查成績只有5開頭...
感覺這次過程抓很嚴...
我知道我第二行到第三行跳太快
可是我不知道該怎麼補齊那一段
又或者整個都是錯的
還請各位老師指點
4575 ...

應用裂項對消,將每一項有理化,剩下第一項及第二項的後面,以及最後兩項的前面,最後再取極限就好

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作者: tuhunger    時間: 2018-6-12 00:54     標題: 第2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,13題

[attach]4578[/attach]補充板上尚未討論的題目，
供參考，有錯再請指導

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作者: koeagle    時間: 2018-6-12 01:01     標題: 回復 25# tuhunger 的帖子

第3題另解
由集合\(S=\{\;2^1,2^2,2^3,\ldots,2^{200},2^{201}\}\;\)中一次選三個相異元素，則此三個元素可排成遞增的等比數列之方法有幾種？
[解]
奇次項\(A=\{\;2^1,2^3,\ldots,2^{201}\}\;\)，\(n(A)=101\)
偶次項\(B=\{\;2^2,2^4,\ldots,2^{200}\}\;\)，\(n(B)=100\)
利用等比中項：\(b^2=ac \Rightarrow a,c\)次方和必為偶數
\( \matrix{C_2^{101}&+&C_2^{100}&=\frac{101 \times 100}{2}+\frac{100\times 99}{2}=10000種 \cr (奇+奇)&&(偶+偶)&}\)

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作者: yustarhunter    時間: 2018-6-12 03:16

他有更正公告的答案檔，就先放上來了...我也因為計算錯誤而...

附件: 107高雄市高中職聯合教師甄選測驗題數學科答案-更正公告.pdf (2018-6-12 03:16, 326.78 KB) / 該附件被下載次數 5118
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作者: yustarhunter    時間: 2018-6-12 04:38     標題: 回復 26# koeagle 的帖子

老師，請問一下，第四題怎麼取n的，我一直卡住....還是沒想出來

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作者: koeagle    時間: 2018-6-12 09:32     標題: 回復 28# yustarhunter 的帖子

第4題
由\(y=x^3\)與\(x=0\)，\(x=2\)及\(x\)軸圍成一區域\(S\)的面積\(R\)，將\(S\)分成\(n\)個等寬的長方形，令其上和為\(U_n\)，　下和為\(L_n\)，則滿足\( \displaystyle \|;U_n-R \|;<\frac{1}{100} \)之最小自然數\(n=\)　　　　。
[解]
\(\displaystyle R=\int_0^2 x^3 dx=\frac{x^4}{4}\Bigg\vert\;_0^2=4\)

\(\displaystyle U_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{n} \cdot \left( \frac{2k}{n} \right)^{3} = \sum_{k=1}^{n} \frac{16}{n^4} \cdot k^3 = \frac{16}{n^4} \cdot \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{ 4n^4 + 8n^3 + 4n^2 }{n^4} = 4 + \frac{8n+4}{n^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \; | U_{n} - R | = \left| \frac{8n+4}{n^2} \right| < \frac{1}{100} \quad \Rightarrow \quad n^2 > 800n + 400 \quad \Rightarrow \quad (n^2 - 800n + 400^2) > 400 + 400^2\)

\(\displaystyle \Rightarrow \; (n - 400)^2 > 160400 \quad \Rightarrow \quad n - 400 > 400. \cdots \quad \Rightarrow \quad n > 800\)，最小自然數\(\displaystyle n = 801\)。

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作者: tuhunger    時間: 2018-6-12 23:09     標題: 第一題 另解

參考看看

圖片附件: IMG_20180612_230750.png (2018-6-12 23:09, 342.66 KB) / 該附件被下載次數 3758
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作者: nanpolend    時間: 2020-5-13 22:48     標題: 回復 1# 小姑姑 的帖子

另解第14題羅比塔法則
不過有一派學者認為不能拿去證明

圖片附件: 15893812415271692065464.jpg (2020-5-13 22:48, 3.59 MB) / 該附件被下載次數 3457
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作者: Almighty    時間: 2022-4-16 15:06     標題: 回復 12# cut6997 的帖子

參考之

圖片附件: S__155000843.jpg (2022-4-16 15:06, 168.25 KB) / 該附件被下載次數 1407
https://math.pro/db/attachment.php?aid=6244&k=2d06305ac26b4845b3ec5a6c26636968&t=1713930142

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