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標題: 請問除法法則要怎麼證明他是對的呢？ [打印本頁]

作者: wushing 時間: 2007-9-28 15:11 標題: 請問除法法則要怎麼證明他是對的呢？

請問除法法則要怎麼證明他是對的呢？
有沒有人會它整個證明的過程^^"麻煩了

let a and b be integers with b>0. then there exist unique integers q and r with the property that a = bq+r, where 0 < r < b or 0 = r < b.

[ 本帖最後由 wushing 於 2007-9-28 08:30 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2007-9-28 20:24

可以說得詳細一點嗎？你所說的除法法則是？
有英文名稱嗎？(數論的 division algorithm 嗎?)
哪個領域的呢？
分數除法法則？整數除法法則？多項式除法法則？微分除法法則？還是極限的除法法則？
可以大概描述一下你要問的東西是什麼嗎？

作者: weiye 時間: 2007-9-28 22:13

引用:

原帖由 wushing 於 2007-9-28 03:11 PM 發表
let a and b be integers with b>0. then there exist unique integers q and r with the property that a = bq+r, where 0 < r < b or 0 ...

這是數論裡面整數的除法原理，

幾乎數論的書(至少英文的啦)都會有證明

如果手邊沒有書的話可以參考
http://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm

簡述上面維基百科的證明(請參見原文討論較詳細)，

要證明 a 被 d 除，一定可以找到商數 q 與餘數 r ，使得 a = qd + r ，

首先證商數與餘數的存在性，

令

不管 d>0 or d<0 ，都可以根據阿基米得原理知道 S 必包含有非負的整數為元素，

再根據良序法則，自然數的非空子集必包含有最小元素，故令此元素為 r ，

可得 r 是 a - nd 的最小正元素，令此時的 n 為 q ，則可得 a = qd +r

接下來，要證: 0 ≤ r < |d|

0 ≤ r 的部分，根據 r 當初選許的特性(正整數集合的非空子集的最小元素)，恆成立。

若 r ≧ |d| ，則分開討論若 d >0 or d<0 ，都可以選取新的商數 q' ，使得 r 並非

裡面的最小正元素。

故，對任意的整數 a, 非零整數 d ，皆存在 q 與 r ，使得 a = qd +r ，且 0 ≤ r < |d|

接下來，後半段證明: q 與 r 的唯一性。

假設 a 被 d 除，有兩組 q,r, Q, R 皆滿足 a = qd +r ，且 0 ≤ r < |d| ，a = Qd +R ，且 0 ≤ R < |d|

不失一般性，可以假設 q ≤ Q ，因為 a = qd +r = Qd +R ，移項，得 d(Q-q) = (r-R) ，

若 d 為正數，因為 d 與 Q-q 皆非負，所以 r-R 非負，故 r≧R ，

但因為 0 ≤ r < |d| = d 且 0 ≤ R < |d| = d ，所以 0 ≤ r-R < d (前半塊的 0 ≤ 是由於上面那行 r-R 非負)

同理，若 d <0 討論可得 0 ≤ |r-R| < |d| ，但因為 d(Q-q) = (r-R) ，表示 r-R 是 d 的倍數，

故 |r-R|=0 ，也就是 r-R =0 ，也就是 r=R ，帶入 d(Q-q) = (r-R) = 0 ，因為 d 非零，所以 Q-q =0

也就是 Q=q ，唯一性由此得證。

或是參見 WILLIAM CHEN 教授在網站上提供的講義，
http://www.maths.mq.edu.au/%7Ewchen/lnentfolder/ent01-df.pdf

第一頁的第一個定理(及證明)就是了

作者: wushing 時間: 2007-9-29 22:19

感謝您的回應…辛苦
＾＾”

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