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標題: 106復興高中 [打印本頁]

作者: Sandy 時間: 2017-6-2 02:52 標題: 106復興高中

如題

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=4131&k=36b7bd46c510c0e68390df6dc2030bd4&t=1714049858

作者: laylay 時間: 2017-6-2 04:07 標題: 1.

x(ㄏ(x^2+1)+1)=(3-x)(ㄏ[(x-3)^2+1)]+1) , =>x(3-x)>=0 => 0<=x<=3
令A(0,1),B(3,1),C(3,0),P(x,0) , P在OC 線段上
則OP(PA+1)=PC(PB+1),由圖易知P為OC中點,即 x=1.5

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-5-28 19:27 編輯 ]

作者: litlesweetx 時間: 2017-6-2 08:05

請教3要用算幾還是科西還是其他...

作者: yinchou 時間: 2017-6-2 08:51 標題: 回復 3# litlesweetx 的帖子

只用到算幾，不知是否有誤。

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作者: weiye 時間: 2017-6-2 09:13

因為 \(a,b,c\in\mathbb{R^{+}},\)

\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^2\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^2b^3c^3,\)

\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^2\left(\frac{c^8}{8}\right)^3}=a^3b^2c^3,\)

\(\displaystyle \frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{a^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{b^8}{8}+\frac{c^8}{8}+\frac{c^8}{8}\geq 8 \sqrt[8]{\left(\frac{a^8}{8}\right)^3\left(\frac{b^8}{8}\right)^3\left(\frac{c^8}{8}\right)^2}=a^3b^3c^2,\)

以上三式相加，可得 \(\displaystyle a^8+b^8+c^8 \geq a^2 b^3 c^3 + a^3 b^2 c^3 + a^3 b^3 c^2\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3}\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

作者: laylay 時間: 2017-6-2 09:49 標題: 7.

tanQAB=1/3 => sinRAB=1/ㄏ10, cosRAB=3/ㄏ10
又APR與ABR的面積一樣(同底等高)
故所求=1/2*(AR)(BR)*2=(ABcosRAB)(ABsinRAB)=16*3/10=4.8
另外建立座標系也滿快的

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:06 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2017-6-2 15:32 標題: 9.

a0＝cos(5pi/12),
4^n(1-an)＝4^n(1-cos(5pi/12/2^n）)
＝2*(2^n*sin(5pi/24/2^n))^2
故所求＝2*（5pi/24）^2＝25pi^2/288

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-2 18:12 編輯 ]

作者: laylay 時間: 2017-6-2 15:53 標題: 10.

使用歸納法
n＝k+1時 a（k+2）^2-3a（k+2）a（k+1）+a（k+1）^2
＝（3a（k+1）-ak）^2-3（3a（k+1）-ak）a（k+1）+a（k+1）^2
＝a（k+1）^2-3a（k+1）ak+ak^2＝1
故得證

作者: laylay 時間: 2017-6-2 16:41 標題: 8.

B C D＝C B D＝30度，D B＝D C＝a/ㄏ3
由拖勒密知6a＝a/ㄏ3*（b+c）,b+c＝6ㄏ3,a＝9
a^2＝b^2+c^2-bc , 81＝36*3-3bc, bc＝9
所求＝1/2*9*sin60度＝9ㄏ3/4

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-3 05:17 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2017-6-2 19:40

3. 另解: 原題即證 a⁸ + b⁸ + c⁸ ≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c²

排序不等式

a⁸ + b⁸ + c⁸

≥ a⁵b³ + b⁵c³ + c⁵a³ (順序和 ≥ 亂序和)

≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c² (亂序和 ≥ 逆序和)

--------------------------------

另外兩個不知是否能用於教甄的解法:

1. 微微對偶不等式: 取 (a³, b³, c³)，(a³, b³, c³)，(a², b², c²)

2. Muirhead's 不等式: 取 (8, 0, 0) majorizes (3, 3, 2)

作者: litlesweetx 時間: 2017-6-2 23:11

謝謝各位老師的回答
想再請教第2題是利用反證法嗎?感覺有點不太對

作者: laylay 時間: 2017-6-3 04:42 標題: 回復 11# litlesweetx 的帖子

若\( a,b \)都比\( \sqrt{n} \)大,則\(ab>n\),矛盾,所以.........

學歷最高12分 : 大學校院畢業具本科系學士學位 8
      本科系研究所畢業以上學位 12
經歷最高8分 : 大專院校專任(含代理)講師每滿1學年                1
      公私立國、高中職專任(含代理)任教每滿1學年 1
原始分數*0.8+學歷+經歷>=65.8進複試(我剛好認識一位考生,他說的,可惜差了一點多分)

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-4 09:41 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2017-6-3 09:22 標題: 回復 12# laylay 的帖子

如果是剛拿到教師證的老師，要 73 分才會進複試
以這張考卷的難度而言，算是符合水準

作者: laylay 時間: 2017-6-3 10:26 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

您可以教我怎麼編輯數學式子嗎?
因為常使用ㄏ當根號實在不美觀

作者: thepiano 時間: 2017-6-3 11:31 標題: 回復 14# laylay 的帖子

請參考 https://math.pro/db/thread-1895-1-1.html

作者: eyeready 時間: 2017-6-3 16:12

第二若是這樣直接証是否有不恰當之處呢？
\(
\begin{array}{l}
不失一般性令 a \le b \\
可得a \times b \ge a \times a \\
n \ge a^2  \\
\sqrt n  \ge a \\
同理 \sqrt n  \ge b \\
\end{array}
\)

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-6-3 16:13 編輯 ]

作者: eyeready 時間: 2017-6-3 18:50 標題: 回復 17# laylay 的帖子

小弟 16# 的程式碼(等等刪)

圖片附件: 螢幕快照 2017-06-03 下午6.48.10.png (2017-6-3 18:50, 26.23 KB) / 該附件被下載次數 4243
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4136&k=22482506693a3c7e972627b929097758&t=1714049858

作者: czk0622 時間: 2017-6-3 19:38 標題: 回復 17# laylay 的帖子

請先學好latex

作者: zidanesquall 時間: 2017-6-3 23:16 標題: 回復 10# cefepime 的帖子

不好意思，想請教一下，亂序和\(\geq\)逆序和這邊，是怎麼產生的？

是指順序和\(\geq\)亂序和這邊可以在形成兩個新數列，再做排序嗎？

按照原本的應該是，\((a^5,b^5,c^5),(a^3,b^3,c^3)\)

不知道我有沒有理解錯誤？

作者: cefepime 時間: 2017-6-4 00:55

回復 19# zidanesquall 的帖子

a⁸ + b⁸ + c⁸

≥ a⁵b³ + b⁵c³ + c⁵a³ [ 取 (a⁵, b⁵, c⁵) 與 (a³, b³, c³) ⇒ 順序和 ≥ 亂序和 ]

≥ a²b³c³ + a³b²c³ + a³b³c² [ 取 (a², b², c²) 與 (a³b³, a³c³, b³c³) ⇒ 亂序和 ≥ 逆序和 ]

作者: 小姑姑 時間: 2017-6-8 22:18 標題: 請求是否有4、5、6的答案？

求答案校對，謝謝。

作者: thepiano 時間: 2017-6-8 22:43 標題: 回復 21# 小姑姑的帖子

僅供參考
\(\begin{align}
& \left( 4 \right)\ 18134 \\
& \left( 5 \right)\ \frac{23}{128} \\
& \left( 6 \right)\ \frac{43}{64} \\
\end{align}\)

作者: shamath 時間: 2017-6-17 20:35 標題: 7 另解

\(\Delta ABQ \sim \Delta PRQ\)
\(\Delta APQ \sim \Delta BRQ\)
又\(\overline{PQ} = \overline{BQ} = \sqrt{2} \)，\(\overline{AQ} = \sqrt{10} \)
所以\(\overline{PQ} : \overline{AQ} = \overline{BQ} : \overline{AQ} = 1: \sqrt{5} \)
\(PABR = \Delta APQ + \Delta BQR + \Delta ABQ + \Delta PQR = \Delta APQ + \frac{1}{5} \Delta APQ + \Delta ABQ + \frac{1}{5} \Delta ABQ = \frac{6}{5} \Delta ABP = \frac{24}{5}\)

作者: 阿光 時間: 2017-6-29 05:49

請教第5題,謝謝

作者: eyeready 時間: 2017-6-29 09:55

\( 設P_n表示取n次後，A箱中為一黑一白的機率 \)
\(
推得 \displaystyle P_n  = \frac{3}{4}P_{n - 1}  + (1 - P_{n - 1} ) \times \frac{1}{2}，整理可得
\)
\(
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle  P_1  = \frac{3}{4} \\
\displaystyle  P_n  = \frac{1}{4}P_{n - 1}  + \frac{1}{2},n \ge 2 \\
\end{array} \right.
\)
\(
\displaystyle 由遞迴式依序代入得 P_2  = \frac{{11}}{{16}},P_3  = \frac{{43}}{{64}}
\)

作者: BambooLotus 時間: 2017-6-29 11:25

第5題鋼琴老師已經給出處了

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=8591

作者: yi4012 時間: 2018-3-13 16:23 標題: 回復 2# laylay 的帖子

還是有點不了解，雖然腦袋清楚，但理論不會推

作者: BambooLotus 時間: 2018-3-13 19:57

\( \displaystyle x + x\sqrt {{x^2} + 1} = (3 - x) + (3 - x)\sqrt {{{(3 - x)}^2} + 1} \)

從上面這條式子其實就可以看出來，等式兩邊是同樣函數，只是把x換成3-x，換句話說，x=1.5就是對稱軸

我猜laylay老師是這個意思吧

作者: yi4012 時間: 2018-3-14 19:59 標題: 回復 28# BambooLotus 的帖子

我覺得詳細點講要說f(x)=x+x根號(x^2+1)是嚴格遞增，這樣左右相等唯有數字一樣
可得到x=3-x =>x=1.5

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