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標題: 104永春高中二招 [打印本頁]

作者: agan325 時間: 2015-5-29 23:22 標題: 104永春高中二招

這次還是印象中，所以請大家幫忙補充題意和題目

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作者: agan325 時間: 2015-5-30 09:18 標題: 回復 1# agan325 的帖子

昨晚睡夢中想起，第三題的各項係數可為【正整數】或【0】

作者: EZWrookie 時間: 2015-5-30 10:59 標題: 回復 2# agan325 的帖子

第三題，最低次方的\( f(x)=86x^2-81x+2 \)。
顯然一次方的多項式不滿足\( f(1)=7 \),\( f(0)=0 \)。
所以從2次方下手
考慮\( 7^2-7=42 \)且\(\displaystyle \frac{3649-2}{42}\)約等於86.8，所以從二次方係數為86開始「湊」

作者: thepiano 時間: 2015-5-30 16:04 標題: 回復 1# agan325 的帖子

計算第1題
\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}{{b}^{2}}=4{{a}^{5}}+{{b}^{3}} \\
& {{a}^{2}}\left( {{b}^{2}}-4{{a}^{3}} \right)={{b}^{3}} \\
\end{align}\)
令\(a=md,b=nd,\left( a,b \right)=d\)
\(\begin{align}
  & {{m}^{2}}{{d}^{2}}\left( {{n}^{2}}{{d}^{2}}-4{{m}^{3}}{{d}^{3}} \right)={{n}^{3}}{{d}^{3}} \\
& {{m}^{2}}\left( {{n}^{2}}d-4{{m}^{3}}{{d}^{2}} \right)={{n}^{3}} \\
& m=1,a=d \\
& {{n}^{2}}a-4{{a}^{2}}={{n}^{3}} \\
& 4{{a}^{2}}-{{n}^{2}}a+{{n}^{3}}=0 \\
& a=\frac{{{n}^{2}}\pm n\sqrt{{{n}^{2}}-16n}}{8} \\
\end{align}\)

令\({{n}^{2}}-16n={{k}^{2}}\quad ,k\in N\)
\(\begin{align}
  & {{\left( n-8 \right)}^{2}}-{{k}^{2}}=64 \\
& \left( n-8+k \right)\left( n-8-k \right)=64 \\
& \left( n-8+k,n-8-k \right)=\left( 32,2 \right),\left( 16,4 \right),\left( 8,8 \right),\left( -2,-32 \right),\left( -4,-16 \right),\left( -8,-8 \right) \\
& \left( n,k \right)=\left( 25,15 \right),\left( 18,6 \right),\left( 16,0 \right),\left( -9,15 \right),\left( -2,6 \right) \\
&  \\
& a=\frac{{{n}^{2}}\pm nk}{8}=\frac{n\left( n\pm k \right)}{8} \\
& \left( n,k \right)=\left( 25,15 \right),\left( a,b \right)=\left( 125,3125 \right) \\
& \left( n,k \right)=\left( 18,6 \right),\left( a,b \right)=\left( 54,972 \right),\left( 27,486 \right) \\
& \left( n,k \right)=\left( 16,0 \right),\left( a,b \right)=\left( 32,512 \right) \\
& \left( n,k \right)=\left( -9,15 \right),\left( a,b \right)=\left( 27,-243 \right) \\
& \left( n,k \right)=\left( -2,6 \right),\left( a,b \right)=\left( -1,2 \right),\left( 2,-4 \right) \\
\end{align}\)
共7組解

作者: 艾瑞卡 時間: 2015-5-30 17:54

請教填充第2,5題謝謝

作者: thepiano 時間: 2015-5-30 22:02 標題: 回復 5# 艾瑞卡的帖子

填充第2題
\(\begin{align}
& {{\left( 3x-2 \right)}^{2}}<a{{x}^{2}} \\
& \left( 9-a \right){{x}^{2}}-12x+4<0 \\
\end{align}\)
恰有2個整數解，易知\(a\ne 9\)

令二次函數\(f\left( x \right)=\left( 9-a \right){{x}^{2}}-12x+4\)
若\(a>9,f\left( x \right)\)圖形開口朝下，\(f\left( x \right)<0\)會有無限多個整數解
故\(a<9,f\left( x \right)\)圖形開口朝上，判別式\({{\left( -12 \right)}^{2}}-4\left( 9-a \right)\times 4>0\quad \to \quad a>0\)
\(0<a<9\)

若\(f\left( 1 \right)=1-a>0\quad \to \quad a<1\)，頂點橫坐標\(=-\frac{-12}{2\left( 9-a \right)}=\frac{6}{9-a}<\frac{3}{4}\)，此時\(f\left( x \right)<0\)無整數解
故\(f\left( 1 \right)<0\)且\(f\left( x \right)<0\)的二個整數解為1和2
\(\begin{align}
& f\left( 2 \right)=-4a+16<0\quad \to \quad a>4 \\
& f\left( 3 \right)=-9a+49\ge 0\quad \to \quad a\le \frac{49}{9} \\
& 4<a\le \frac{49}{9} \\
\end{align}\)

作者: thepiano 時間: 2015-5-31 10:21 標題: 回復 5# 艾瑞卡的帖子

填充第 5 題
這種題目考填充，會不會有人畫一畫再用量角器量啊？還是連量角器都不能帶進去？

用三角函數可以湊出答案是 10 度

不過還是等高手來個漂亮的純幾何解吧！

作者: pretext 時間: 2015-5-31 13:03 標題: 回復 7# thepiano 的帖子

中間過程省略一些

大致上是這樣解～

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作者: agan325 時間: 2015-5-31 17:24 標題: 回復 3# EZWrookie 的帖子

多謝EZWrookie老師的解答

因為印象中各項係數為正整數或0，這樣的話該從何下手

我用推的也推好久多謝老師

作者: liusolong 時間: 2015-5-31 20:14 標題: 新增兩題

新增兩題

以下按照考題題號：
4.
\( a_{n+3}=a_{n+2}+a_{n+1}+a_{n} \)，\( \forall n \in N \)，又\( a_1=a_2=a_3=1 \)，已知\( a_{28}=6090307 \),\( a_{29}=11201821 \),\(a_{30}=20603361\)，求\( \displaystyle \sum_{k=1}^{28}a_k \)除以100的餘數

這題我算34，不知是否正確？

7.
\( \displaystyle a=\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i \)，\(z_n=1024a^n\)，求\( |\; z_9-z_{11} |\;= \)？

這題我算\( \displaystyle \frac{\sqrt{21}}{2} \)，不知是否正確？

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作者: thepiano 時間: 2015-5-31 20:44 標題: 回復 10# liusolong 的帖子

應該都正確，第 4 題是 2006 AIME 的題目

作者: agan325 時間: 2015-5-31 22:16 標題: 回復 10# liusolong 的帖子

多謝 liusolong 的補充
還想問你這兩題是怎麼算的
當初就沒有想到，所以才記不起來題目
多謝老師

作者: liusolong 時間: 2015-5-31 23:15

考場是如此寫的，方法可能不好

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作者: liusolong 時間: 2015-5-31 23:48 標題: 原來是檔案太大

原來是檔案太大

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作者: EZWrookie 時間: 2015-6-1 13:33 標題: 回復 9# agan325 的帖子

我是以係數為正整數或0開始推的。
說仔細一點好了
若f(x)=ax+b，由f(1)=7,f(0)=2 的條件可知 a=5,b=2。顯然不符合f(7)=3649
若f(x)=ax^2+bx+c，由f(1)=7,f(0)=2,f(7)=3649 的條件
可知 c=2，a+b=5(即a跟b必須差5) 且a*7^2+7b=3649-2。
考慮72−7=42且\(\frac{3649-2}{42}\)約等於86.8，
所以從二次方的係數a約為86附近，而第一次就湊對了。

或許有更嚴謹的方式，準確的找出來。但我目前的功力只能用湊的XD

作者: thepiano 時間: 2015-6-1 13:56 標題: 回復 15# EZWrookie 的帖子

這樣的話，一次項係數是負的，應該不是題目要的

作者: thepiano 時間: 2015-6-1 17:36 標題: 回復 2# agan325 的帖子

剛算了一下，如果各項係數要正整數或 0，答案是無解

作者: peter0210 時間: 2016-2-10 10:21

請教第一題答案是\( \displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \)嗎？

作者: thepiano 時間: 2016-2-10 12:13 標題: 回復 18# peter0210 的帖子

對!

作者: peter0210 時間: 2016-2-10 20:13

請問thepiano老師，計算第一題
第6個式子\(m=1\)，\(a=d \)
小弟一直看不懂，請教老師這是為什麼呢？感謝

作者: thepiano 時間: 2016-2-11 09:12 標題: 回復 20# peter0210 的帖子

m 和 n 互質

作者: litlesweetx 時間: 2016-12-14 10:37

請問各位老師，計算2要用什麼方法證明呢？謝謝~

作者: tsusy 時間: 2016-12-14 14:50

這題是 103學年學科能力競賽數學科決賽筆試二第三題

解答見
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/fil ... _writtenexam_2s.pdf

作者: thepiano 時間: 2016-12-14 15:51 標題: 回復 22# litlesweetx 的帖子

計算第二題
另解

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