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標題: 證明請教 [打印本頁]

作者: mathbabu 時間: 2015-5-26 11:05 標題: 證明請教

設RT三角形ABC中，D為斜邊AB上的任意一點，求證: (CD*AB)^2 = (AD*BC)^2+(BD*AC)^2
並指出勾股定理是其特殊情形

作者: cefepime 時間: 2015-5-28 01:44

曾有老師提示過，中學常見的「幾何證題方法」有：(1) 綜合法 (2) 坐標法 (3) 向量法 (4) 三角法
這題用 "綜合法(利用相似形)" 或 "坐標法" 並不太複雜，不過用 "向量法" 可以精簡些。

由分點公式:

向量CD = (AD/AB)*向量CB + (BD/AB)*向量CA

等號兩邊分別與自己內積:

CD² = (AD/AB)²BC² + (BD/AB)²AC²

兩邊再同乘 AB²，即得:
(CD*AB)² = (AD*BC)² + (BD*AC)²
當 D 為 AB 中點時，因 CD = AD = BD，故

AB² = BC² + AC² (勾股定理)

由證明過程，知 D 可為 AB "直線"上任一點。

圖片附件: 直角三角形.png (2015-6-14 06:43, 1.81 KB) / 該附件被下載次數 4906
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2938&k=41c8b42053bcba7590f3bed7071c21ef&t=1713481422

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