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標題: 104高雄中學 [打印本頁]

作者: 瓜農自足 時間: 2015-5-3 14:24 標題: 104高雄中學

題目是拼湊出來的
應該會有點失準希望有考的網友可以指正
印象中有共16題(含證明題一題，其餘計算題全部都要詳細過程) 有些忘了..

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作者: tsusy 時間: 2015-5-3 14:50 標題: 回復 1# 瓜農自足的帖子

\( f(x) = x^2 +bx +c \)，\( f(f(x)) ? =0 ? \) 恰有三實根

看來有點怪，如果 b,c 皆實數，\( f(f(x)) \) 是實係數四次多項式，虛根共軛成雙，不可能恰三實根

作者: 瓜農自足 時間: 2015-5-3 14:52 標題: 回復 2# tsusy 的帖子

抱歉字太醜那是6 XDD 阿是\(f(f(x))=0\)恰三個相異實根
再補正一下某題限制應該是\(xz+yz=10\)才對

作者: mathguy 時間: 2015-5-4 07:45 標題: 回復 2# tsusy 的帖子

其中兩實根重根

作者: farmer 時間: 2015-5-4 11:50 標題: 回復 1# 瓜農自足的帖子

辛苦了，還記得這麼多題目。

其中橢圓過焦點那一題(要求AB線段)，
假設AB直線與長軸銳夾角為t，線段長AF1=L，線段長BF1=M，
則可設 X(A)=7+L*cos(t)，Y(A)=L*sin(t)
X(B)=7-M*cos(t)，Y(B)=-M*sin(t)
再由焦半徑AF1=a-(c/a)*X(A)、BF1=a-(c/a)*X(B)，
將L與M用cos(t)表示，
最後再由三角形面積得到的算式:Y(A)-Y(B)=32/7
解得 sin(t)=2/7，
因此線段AB長度為 L+M=16

不知有沒有其他較快的算法，
這題如果有人考試中有算出來，
那麼我會非常佩服他。

作者: CyberCat 時間: 2015-5-4 15:26 標題: 回復 1# 瓜農自足的帖子

共15題一題6% 最後一題10% 補上缺的幾題大家一起來討論

◎ 圓O 完全落在 y≧x^4 區域中求此圓的半徑最大值

◎ 已知∆ABC內有一點P ∠ABC為直角、 AB=1、BC=根號三若 PA單位向量+PB單位向量+PC單位向量 = 0 求PA : PB : PC

◎ L1與L2 為歪斜在L1上找三個點A、B、C，其中AB:BC=2:1，且A、B、C 各對L1求距離分別是
根號33 、3 、2根號6 ，求d(L1,L2)=?

◎ 還有一題是有一個被旋轉後的雙曲線問中心點還是貫軸之類的? 我有點不確定了希望有印象的大家幫忙補上

另外正方形面積那題卡了好久沒能解出來腦海裡記的座標是 (0,12) (8,0) (5,10) (-4,7) 但也不確定對不對有錯請指正也很想知道這題的解法

關於f(f(x))那題確實是寫恰三個相異實根當下也懷疑了一下題目才想到是重根的情況但還是覺得敘述上說不上的一種不自在是我多慮了? 還是題目真的沒問題?
想多心的問一下以四次實係數為前題在出題的語句敘述上若只有寫三個相異實根就可以是暗示說四實根中恰有一組重根嗎? (這問題是我多想的可能有點離題但因為很好奇所以提問一下)

作者: tsusy 時間: 2015-5-4 20:54 標題: 回復 5# farmer 的帖子

橢圓這題可以走海龍公式。

令 \( d = \overline{AF_1}, e = \overline{BF_1}, f = \overline{AB} = d + e \)

首先由 \( \angle AF_1F_2 + \angle BF_1F_2 = 180^\circ \) 及餘弦定理可得 \( \frac{d+e}{de} = \frac{9}{16} \Rightarrow de = \frac{16}{9}f\)

由海龍公式有 \( 32 = \triangle ABF_2 = \sqrt{18\cdot(18-d-e)de} = \sqrt{32(18-f)f} \)

平方可解得 \( f = 16 \) 或 2 (不合)

作者: tsusy 時間: 2015-5-4 23:28 標題: 回復 6# CyberCat 的帖子

正方形面積，見下圖

JH 為正方形對角線，故 \( \angle AJE = 45^\circ = \angle BHF \)

故 E, F 分別為半圓 AED, BFC 之中點(也在 AD, BC 中垂線上)

計算可得 \( E(\frac{1}{2},\frac{15}{2}) \), \( F(\frac{9}{2},\frac{11}{2}) \) (使用 1樓數據)

故對角線的方程式為 \( x+2y=\frac{31}{2} \)

與兩圓方程式分別解聯立可得正方形對角線上的一組頂點 \( J(-\frac{51}{10},\frac{103}{10}), H(\frac{25}{2},\frac{3}{2}) \)

正方形面積 \( \frac12 \overline{JH}^2 = \frac{968}{5} \)

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作者: farmer 時間: 2015-5-5 00:02

引用:

原帖由 tsusy 於 2015-5-4 08:54 PM 發表
橢圓這題可以走海龍公式。

令 \( d = \overline{AF_1}, e = \overline{BF_1}, f = \overline{AB} = d + e \)

首先由 \( \angle AF_1F_2 + \angle BF_1F_2 = 180^\circ \) 及餘弦定理可得 ...

好解法。
不過在考場中是需要取捨的，要是我會至少捨棄這一題。
(事實上可以捨棄的題數是很多的，有限的時間內答自己有把握的題目就好了)

正方形那一題我會想要假設兩條平行線的斜率為m，
另兩條平行線的斜率為 -1/m ，
利用平行線間的距離，讓他們相等來解m。

作者: leo790124 時間: 2015-5-5 15:06 標題: 回復 6# CyberCat 的帖子

f(f(x))=0那一題
應該是這樣

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作者: thepiano 時間: 2015-5-5 16:05 標題: 回復 10# leo790124 的帖子

很漂亮的解法，最後應是 c < 6，用這個來判斷 (11 + √13)/2 不合

作者: leo790124 時間: 2015-5-5 21:26 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師指正!!!!!

作者: 瓜農自足 時間: 2015-5-7 19:41 標題: 回復 6# CyberCat 的帖子

想問歪斜這題怎麼處理？

作者: tsusy 時間: 2015-5-7 20:53 標題: 回復 13# 瓜農自足的帖子

歪線那題忘了在哪份考古題做過類似題了，

為了方便，先做一個轉換，空間中任意點沿著 \( L_2 \) 的方向移動時，點和直線 \( L_2 \) 的距離保持不變。

將 \( A, C \) 沿著 \( L_2 \) 的方向移動至 \( A', C' \) 使得 \( \vec{BA'}, \vec{BC'} \) 和 \( L_2 \) 的方向向量垂直。

移動後 \( A', B, C' \) 的點仍共線，且 \( \overline{A'B}:\overline{BC'} = 2:1 \)，保持原比例。

同樣的，可以移動 \( L_1 \) 上的每個點，使得移動後所得 \( L' \) 過 B，其方向與 \( L_2 \) 方向垂直，且各點至 \( L_2 \) 的距離仍不變。

坐標化，以 \( B \) 為原點，\( \vec{BC} \) 方向為正 x 軸，\( L_2 \) 方向為 z 軸。

令 \( A'(-2x,0,0), B(0,0,0), C(x,0,0) \), \( L_2 :\begin{cases}
x= & a\\
y= & d
\end{cases} \)，其中 \( x>0 \)

計算距離得 \( \begin{cases}
(a+2x)^{2}+d^{2} & =33\\
a^{2}+d^{2} & =9\\
(a-x)^{2}+d^{2} & =24
\end{cases} \)

\( \Rightarrow\begin{cases}
4ax+4x^{2} & =24\\
-2ax+x^{2} & =15
\end{cases}\Rightarrow6x^{2}=54\Rightarrow x=\pm3 \)

\( x =3 \Rightarrow a=-1 \Rightarrow d^2 =8 \)

所求歪斜距離 \( d(L_1,L_2) = d(L',L_2) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

作者: fortheone 時間: 2015-5-11 22:25 標題: 回復 1# 瓜農自足的帖子

由網友提供的資訊
簡單打成檔案

112.5.8補充
10.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)\)的值。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

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作者: farmer 時間: 2015-5-12 09:01 標題: 回復 15# fortheone 的帖子

那個14題顯然有錯，
y=x^4會不會是 y= - x^4+k之類的?

作者: fortheone 時間: 2015-5-15 22:41 標題: 回復 16# farmer 的帖子

嗯
第14題需要記得題目的人來完整一下!

作者: 瓜農自足 時間: 2015-5-20 23:00 標題: 回復 17# fortheone 的帖子

圓心固定在正\(y\)軸上且完全落在\(y>=x^4\) 之最大圓半徑
這樣有辦法做嗎?(小弟還是不會@@")
如果又有限制與圓相切的話呢?

作者: cathy80609 時間: 2015-5-24 16:47

請問一下各位大大，有20個格子，黑色不相鄰這題跟費氏數列有關嗎?

小弟從一個格子兩個格子開始推，推到第四個就猜是費氏數列，但沒有推完，

不知道有沒有更快的處理方法，請各位大大給予指正!感謝

作者: thepiano 時間: 2015-5-24 17:28 標題: 回復 19# cathy80609 的帖子

是費氏數列沒錯，才20個，又不是200個，就推吧

作者: cathy80609 時間: 2015-5-24 22:46 標題: 回復 20# thepiano 的帖子

鋼琴老師您說的是

推一下很快就出來囉！

剛剛看了美夢成真討論區 =)

原來鋼琴老師早就把做法貼在上面啦~~

小弟這麼晚才發現，真是不好意思！

作者: peter0210 時間: 2015-6-24 14:33

請教一下13題
我的想法為是A的元素由小到大依序為1，2，4，7，10，13，16，19……
故從第三項之後為等差，公差為3，所以M等於6040

這樣對嗎？再麻煩各位！

作者: thepiano 時間: 2015-6-24 15:21 標題: 回復 22# peter0210 的帖子

取奇數的話，M不是更小？

作者: tsusy 時間: 2015-6-24 20:47 標題: 回復 22# peter0210 的帖子

第13題. 上次好像在書上看過，做一下，應該是這樣吧

(1) 若 \( A = \{ 2014,2015,\ldots, 4028 \} \) 為 2014~4028 的 2015 個連續正整數所組成集合。其中任兩個元素的和 \( \geq 4029 \)，故此 \( A \) 滿足題意。故 \( M \) 的最小值 \( \leq 4028 \)

(2) 若有另一個 \( A \) 為滿足題意且 \( M = \max{A} \leq 4028 \)。

考慮 \( B_k = \{ k,M-k \} \), \( k = 1,2,3,\ldots, [\frac M2] \)。

因 \( k + (M- k) = M \)，故每一個 \( B_k \) 中至多一個數屬於 \( A \)，故 \( n(A) \leq 1 + [\frac M2] \leq 1 + \frac{4028}{2} =2015 \)

又 \( n(A) = 2015 \)，因此上式的不等式其實為等式，又 \( M \leq 4028 \)，故 \( M =4028 \)。

綜合 (1)(2) 得 \( M \) 的最小值為 4028

[ 本帖最後由 tsusy 於 2015-6-28 08:51 PM 編輯 ]

作者: cefepime 時間: 2015-6-25 17:34

第13題這個題目真有意思，怎麼構造出一個答案是關鍵 (極端原理)。

題目可推廣為 " 集合中任何一個元素都不是其他若干個元素之和 "，這樣好像更難了，但答案一樣。

作者: peter0210 時間: 2015-6-30 12:24

不好意思，請問寸絲老師，第13題考慮Bk的目的是？還是看不大懂，再麻煩了。

作者: tsusy 時間: 2015-7-2 22:00 標題: 回復 26# peter0210 的帖子

那看看奧數教程裡的寫法好了

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