標題: 三角形內的極值問題 [打印本頁]

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作者: bch0722b    時間: 2014-10-9 19:01     標題: 三角形內的極值問題

三角形ABC中，AB+AC=2，AD+BC=根號5(AD垂直BC於D)，求所有可能三角形?
我知道只有一種..但請說明一下。

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作者: cefepime    時間: 2014-10-14 04:03

依題意，0 < BC < 2。若固定B，C兩點，則A落在以B，C為焦點，長軸長 = 2 的橢圓上。


現以 a，b，c 分別表示上述橢圓之半長軸長，半短軸長，與半焦距，則
b² + c² =1 (=a²)，且 b + 2c ≥ √5 (b ≥ AD，2c =BC) ...(1)


另一方面，由柯西不等式，有:
(b² + c²)(1² + 2²) ≥ (b + 2c)²
即 √5 ≥ b + 2c ...(2)


由(1)，(2)，b + 2c = √5
等號成立之條件: b/c = 1/2 (由(2))，且A位於短軸端點 (由(1))。


以上條件恰決定一三角形:
AB = AC =1，BC = 4/√5 (AD = 1/√5)

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