n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積:
n! = 1*2*3*4...*n
P = 4*...*n
我以這個 P 為起點 (此時 P < n!),將 P 的成員依序往右"滑動" 1 格 (則 P 依序變大),若滑到某處可滿足 P = n!,就找到了一個 n 的解。
我用這個思維,考慮:
A. n之最大值為?
B. 所有可能的 n 值為?
A.
P 的成員往右滑動 1 格後,成為 5*...*(n+1),與 n! 比較,知取 (n+1) = 4! 即可使 P = n!,即 n = 23,則 23! = 5*6*7*...*24 符合所求。
現證明 n = 23 為最大值,考慮 n > 23:
n! = 1*2*3*4...*n
P = 4*...*n (此時 P < n!)
P 的成員往右滑動 1 格後,成為 5*...*(n+1),因(n+1) > 4!,故 P > n!,再往右滑當然亦是 P > n!。
因此,n = 23為 n 之最大值。
B.
由以上思維可以發現,欲使 n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積,必要條件是在比 n 大的正整數中,找到連續 k 個,其乘積 = (3+k)! 。而若找到時,把這連續 k 個正整數乘積與(3+k)! 補上公共部分 (公共部分也可以是空集合,即"不補"),就得到符合所求的 n。因此,"在比 n 大的正整數中,找到連續 k 個,使其乘積 = (3+k)! ",就成了求 n 的充要條件。