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標題: 103中正高中 [打印本頁]

作者: natureling 時間: 2014-5-11 00:37 標題: 103中正高中

＊想請教4,7,11..感恩，另外7我的想法如下,但錯了@@
7.  我想說d(D,底面)=1/2 AO=1/2*3根號3
1/2 HG= 根號(9-9/4)=3根號3 /2
我想成D(0,3根號3 /2 )  ,G( 3根號3 /2 ,0)
令抛物線方程式為 x^2 = 4c(y-3根號3 /2 )...然後代入G點
|4c| =3根號3 /2  但答案是根號3...
所以想不出自己哪兒出錯了?請幫忙看一下..感恩

附件: 103中正高中LibreOffice檔.zip (2014-5-11 07:54, 92.08 KB) / 該附件被下載次數 20380
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2236&k=d2e8a61a99777faac46a4253ec18ef17&t=1713622429

附件: 103中正高中(官方版).pdf (2014-5-15 05:48, 311.31 KB) / 該附件被下載次數 21166
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2254&k=85164f4ce98fb27295af3540161210a3&t=1713622429

作者: GGQ 時間: 2014-5-11 01:52 標題: 回復 1# natureling 的帖子

好像還少一題,印象中是填充最後一題

化簡 (1+sin6度-cos12度) / (cos6度+sin12度) =?

在此提供我算出的答案參考 ( tan6度) (不保證對喔,僅個人演練之)

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 10:34

計算第 5 題
還蠻好玩的 ...

1/99^2 = (1/99)/99
= (0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ...)/99
= 0.01/99 + 0.0001/99 + 0.000001/99 + ...

寫成直式如下
  0.0001010101...
  0.0000010101...
  0.0000000101...
  0.0000000001...
+ ...............
-------------------------
  0.0001020304......

1/99^2 = 0.0001020304......9697990001020304......
循環節中，因進位的關係，97 之後是 99，沒有 98

  .....97
  .....0098
  .....000099
  .....00000100
  .....0000000101
+ ...................
-------------------------
  .....979900010.......

故 n = 2 * 99 = 198

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 10:52

計算第 2 題
[x^2 + x] = 6x + 20 為整數
故 x 為有理數

x^2 + x - 1 ＜ 6x + 20 ≦ x^2 + x
x^2 + x - 21 ＜ 6x ≦ x^2 + x - 20

令 6x = a 為整數
x = a/6

(a/6)^2 + (a/6) - 21 ≦ a ≦ (a/6)^2 + (a/6) - 20
720 ≦ a(a - 30) ＜ 756
易知 a = 46 or -16
x = 23/3 or -8/3

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 10:53 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-11 10:59

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-11 01:52 AM 發表
好像還少一題,印象中是填充最後一題

化簡 (1+sin6度-cos12度) / (cos6度+sin12度) =?

在此提供我算出的答案參考 ( tan6度) (不保證對喔,僅個人演練之)

對啦! 要對自己有信心~
填5: 20√5/ 7
填6: 49π/3

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 11:17 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 11:19

填充第 1 題
易知
a、b、c 不可能均為奇數

(1) a = 2
(a + b) * b + 1 = (b + 1)^2 = c + 121
(b + 12)(b - 10) = c
b = 11，c = 23

(2) b = 2
(a + b) * b 為偶數
c + 120 為奇數
不合

(3) c = 2
(a + b) * b = 2 * 61
b = 2，a = 59
不合

所求 = 1270

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 11:21 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-11 12:07

計算4
答:5π/2 或9π/2

圖片附件: 餘弦的根.png (2014-5-11 12:07, 286.52 KB) / 該附件被下載次數 9520
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2238&k=c0ca51b7a78e09e0d951a6cacc66cb66&t=1713622429

作者: natureling 時間: 2014-5-11 12:36

另想請教填充3,9,10,11 (當然底下若有錯的..想順便請教一下好了,實在很糟=.=") 還有計算3
感恩以上老師的答案..真開心算已都有算出跟老師一樣的答案...此外想問一下這幾題答案對嗎?
填2. -1/8 填4. 14 填7. 3根號3/2 填8. -5/4 填12. 5 計1. 67

作者: tsusy 時間: 2014-5-11 20:15 標題: 回復 3# thepiano 的帖子

計算5. 這題之前被學生問過，是 2014amc12#23

最短循環節長度為 \( n \) 的話，應該寫作 \( 0.\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0} \)

不想做除法的話，計算 \( n \) 可以用擴分的方式 \( 99^2 \times A = 99\ldots 99 \)

而得 \( 99 \times A =10101 \ldots 01 \) 可推得右式為 99 個 1，再推 \( 99 \ldots 99 \) 就是 198 個 9，所以 \( n =198 \)

再看等號的個位數可得 \( A \) 的個位數 \( a_0 =9 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-11 08:27 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 21:01

第 9 題
任取 2 數，必為一大一小
其差可能為 1，2，3，...，49
差為 n 的情形有 (50 - n) 種，n = 1 ~ 49
所求 = (1 * 49 + 2 * 48 + 3 * 37 + ... + 49 * 1)/C(50，2) = 17

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 09:31 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 21:07

計算第 3 題
題意是國、民、親 3 黨"共"派出 7 人，排成一列時只論黨，而把同黨的人視為相同嗎？
這題可能要從親民黨派 7 人、派 6 人、派 5 人、...、派 0 人，再插入國民黨和民進黨的人去討論
有沒有老師有快速解法？

作者: GGQ 時間: 2014-5-11 21:08 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

填充第3題
共有7種可能
小------------大
9,10,10,12,29
8,10,10,14,28
7,10,10,16,27
6,10,10,18,26
5,10,10,20,25
4,10,10,22,24

10,10,10,10,30

[ 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-11 09:34 PM 編輯 ]

作者: GGQ 時間: 2014-5-11 21:28 標題: 回復 13# thepiano 的帖子

這樣第 2 大的數都是 10 ??
為何? 不懂??
譬如: 9,10,10,12,29 這一組
第2大的數不是 12 嗎?

作者: thepiano 時間: 2014-5-11 21:32

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-11 09:28 PM 發表
這樣第 2 大的數都是 10 ??
為何? 不懂??
譬如: 9,10,10,12,29 這一組
第2大的數不是 12 嗎?

抱歉，小弟把第 2 小當成第 2 大，哈哈

修正一下

第 3 題
(1) 第 2 大數是 10
10，10，10，10，30

(2) 第 2 大數大於 10
由於眾數是 10
由小而大 x，10，10，y，x + 20
2x + y = 70 - 10 * 2 - 20 = 30
(x，y) = (9，12)，(8，14)，(7，16)，(6，18)，(5，20)，(4，22)

故第 2 大數有 7 種可能

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 09:42 PM 編輯 ]

作者: GGQ 時間: 2014-5-11 21:42 標題: 回復 10# thepiano 的帖子

這題填充第9題
我把他想成1~50 號球
抽出2個球 S和T , S<T
設二顆球之中編號最大者為 T， T 之期望值為34
設二顆球之中編號最小者為 S， S 之期望值為17
所以 T-S = 17

這樣思考可以嗎?

作者: tsusy 時間: 2014-5-12 11:23 標題: 回復 15# GGQ 的帖子

填9. 這個方法當然是 OK，思考上很有趣

但是計算 T 或 S 的期望值，會是一件比較簡單的事嗎？

提供一個計算方法

\( E(S)=\sum\limits _{k=1}^{49}P(x\geq k)=\sum\limits _{k=1}^{49}\frac{C_{2}^{50-k+1}}{C_{2}^{50}}=\sum\limits _{k=2}^{50}\frac{C_{2}^{k}}{50\cdot49}=\frac{C_{3}^{51}}{C_{2}^{50}}=17 \)。

又 \( E(T+S)=\frac{1+50}{2}\cdot2=51 \Rightarrow E(T)=34 \)。

因此 \( E(T-S)=34-17=17 \)。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 11:55 AM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-12 13:59 標題: 回復 11# thepiano 的帖子

計算第3題
小弟先拋磚引玉，提供一個需要各位驗證的暴力解，
也請大家幫小弟仔細偵錯以免誤人，
，我前提是參考鋼琴老師所說，先將同黨籍的人視為同物
因為有點多，故小弟直接打在檔案上，不方便之處請多包涵

https://www.dropbox.com/s/9wwr9p ... AC%AC3%E9%A1%8C.pdf
(經寸絲兄指點已於5.13修正)

[ 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-13 06:59 PM 編輯 ]

作者: GGQ 時間: 2014-5-12 14:28 標題: 回復 16# tsusy 的帖子

計算T和S的計算方法,我是這樣算的

先把 T 和 S 取出 , 50球剩48球
___S____T____

再把48球平均放入 T和S的3個縫隙(一個縫隙放16球)
如此算出 S和T的期望值了
(這招也是從瑋岳大大那邊學來的)

[ 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-12 03:44 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-12 14:44

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-12 02:28 PM 發表
計算T和S的計算方法,我是這樣算的

先把 T 和 S 取出 , 50球剩48球
___S____T____

再把48球平均放入 T和S的3個縫隙(一個縫隙放16球)
如此算出 S和T的期望值了 ...

這一招站長大人用過 ...

作者: tsusy 時間: 2014-5-12 14:52 標題: 回復 17# hua0127 的帖子

計算 3. 以遞迴方式求解，令 \( a_{n} \) 表示派出 \( n \) 個人的坐法數，則 \( a_{1}=3 \), \( a_{2}=3^{2}-2=7 \)。

\( n+2 \) 人的坐法中，看依兩人分成以下5類

親XXXXX 有 \( a_{n+1} \) 種

國親XXXX 有 \( a_{n} \) 種

國國XXXX 見下下行
民民XXXX 見下行
民親XXXX，三類合併有 \( a_{n+1} \) 種

\( a_{n+2}=2a_{n+1}+a_{n} \), \( \left\langle a_{n}\right\rangle :\,3,7,17,41,99,239,577,\ldots \)。

故 7 人時， \( a_7 = 577 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 05:18 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-12 15:37 標題: 回復 20# tsusy 的帖子

寸絲兄你這方法殺到一個不行~小弟現在努力偵錯自己的算式中XD

作者: hua0127 時間: 2014-5-12 22:47 標題: 回復 21# hua0127 的帖子

感謝寸絲兄的提醒也幫小弟偵錯~小弟眼+手殘算錯了幾類XD
不過檔案在學校中，明天再去抓出來改~請大家先略過

說真的看版上各位高手的思考跟解題已經是一種享受了~在此感謝

作者: 荷荷葩 時間: 2014-5-13 08:28 標題: wolfram alpha

鋼琴兄真神人也,簡單計算即看出小數97後跳到99,沒有98
計算5. \(\frac{1}{99^2}\)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F99%29%5E2

[ 本帖最後由荷荷葩於 2014-5-13 08:39 AM 編輯 ]

圖片附件: 99.PNG (2014-5-13 08:29, 49.62 KB) / 該附件被下載次數 5387
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2251&k=567ef9715831e15ef302c0d63ad5d7fb&t=1713622429

作者: agan325 時間: 2014-5-15 13:58

校方公告的答案中填13 答案為3^(1/2)
我自己算的是tan6 看到前面的前輩也算tan6
能否請問!~~~~~~真相到底是什麼？？

作者: thepiano 時間: 2014-5-15 14:09

引用:

原帖由 agan325 於 2014-5-15 01:58 PM 發表
校方公告的答案中填13 答案為3^(1/2)
我自己算的是tan6 看到前面的前輩也算tan6
能否請問!~~~~~~真相到底是什麼？？

分子是 1 + sin6∘ + cos12∘，不是 1 + sin6∘ - cos12∘

作者: natureling 時間: 2014-5-15 22:01 標題: 回復 18# GGQ 的帖子

可以說一下是為什麼可以這樣思考嗎??謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-5-15 22:03 標題: 回復 1# natureling 的帖子

填充 7. 它不是拋物線，而是雙曲線的一支。

將以通過 \( \overleftrightarrow{AB} \) 的直線，繞 \( \overleftrightarrow{AO} \) 軸旋轉，會轉出上下兩個圓錐

平面和兩圓錐，上下各交出一段曲線，正是雙曲線的由來。

另外，似乎中正高中很喜歡圓錐截痕 100、101二招，也都考了圓錐截痕

100中正高中：右圖為一直圓錐，\( \triangle ABC \) 為正三角形，底圓的圓心為 \( O \)，且 \( \overline{AO}\perp\overline{BC} \)。今一過 \( O \) 點的平面與直圓錐之截痕為拋物線，此拋物線的頂點為 \( S \)，此拋物線的焦點為 \( R \)，試找出 \( R \) 點的位置，並證明之。
答. \( R \) 在 \( \overline{OS} \) 上，且 \( \overline{OR}:\overline{RS}={\color{red}3:1} \)。

101中正高中2招：如圖，直圓錐頂點為 \( A \), \( \overline{BC} \) 為底面的直徑，\( O \) 為圓心，\( \overline{AD}=\overline{CD},\,\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=4 \)，若 \( \overline{AC} \) 的垂直平分面過 \( D \) 點截圓錐得一截痕，則此截痕圖形正焦弦長為 ________。
答. \( \frac{4}{\sqrt{3}} \)。

99中正高中：在底面半徑為 6 的圓柱內，有兩個半徑也為 6 的球面，其球心距為 13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為 ________ 。
答. 25

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-15 10:14 PM 編輯 ]

圖片附件: Chungzheng100.png (2014-5-15 22:09, 22.25 KB) / 該附件被下載次數 6652
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2261&k=bba6514467df259761d773e8b3f58e66&t=1713622429

圖片附件: Chungcheng101-2-5.png (2014-5-15 22:09, 4.92 KB) / 該附件被下載次數 6652
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2262&k=13c32cd7f197cabc2ea41b5664eb42d8&t=1713622429

作者: natureling 時間: 2014-5-15 22:12

不是很懂X的意思....是三黨隨便人數排入且然後國民二黨不會相鄰嗎?...@@...不知能否再講解細一點...感恩=.="

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-12 02:52 PM 發表
計算 3. 以遞迴方式求解，令 \( a_{n} \) 表示派出 \( n \) 個人的坐法數，則 \( a_{1}=3 \), \( a_{2}=3^{2}-2=7 \)。

\( n+2 \) 人的坐法中，看依兩人分成以下5類

親XXXXX 有 \( a_{n+1} \) 種

國親XXXX 有 \( a_{n} ...

作者: hua0127 時間: 2014-5-15 23:38 標題: 回復 29# natureling 的帖子

容小弟越寸絲兄代庖一下XD
X的意思應該只是個符號，跟自然兄想的意思依樣，
a_n即表示三黨取n人然後國民二黨不會相鄰的方法數

考慮a_(n+2)：分成以下五個情況使用加法原理
(1) 親XXXXX (XXX只是表示後面有n+1位) 此時方法數 a_(n+1)
(2) 國親XXXX (後面有n位，第2位有親民黨隔開) 後面n個方法數即 a_n
(3) 國(國)XXX
(4) 民(民)XXX
(5) 民(親)XXX
(3)+(4)+(5) 剛好是a_(n+1) ,關鍵是括號的地方因為a_(n+1)的第一位一定是國或民或親
所以可以寫成遞迴式，然後根據首兩項開始一路寫至a_7

這個方法真的非常棒!!

作者: agan325 時間: 2014-5-16 01:10 標題: 回復 26# thepiano 的帖子

看到鋼琴大的回文，馬上回去看官方版題目。
自己眼殘!~~~~~~多謝提醒

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-16 10:23

填充7
請問我是仿造100中正高中
設O(0,0,0),A(0,0,3根號3),C(0,3,0),D(0,3/2,(3根號3)/2)
G((3根號3)/2,3/2,0),H(-(3根號3)/2,3/2,0)
雙曲線的頂點設為(0,3/2,(3根號3)/2+a)
可是,還是算不出來
請問老師,該如何算
謝謝

作者: idontnow90 時間: 2014-5-16 13:23 標題: 回復 32# kittyyaya 的帖子

建議以雙曲線的中心設原點,再把各點座標寫出來,並運用底下的那顆圓,即可

作者: kittyyaya 時間: 2014-5-16 21:48

引用:

原帖由 Ellipse 於 2014-5-11 12:07 PM 發表
計算4
答:5π/2 或9π/2

請問橢圓老師
由圖中,如何得知答案是5π/2 或9π/2
我代特殊值只得到9π/2
可否請老師解說
謝謝

作者: Ellipse 時間: 2014-5-17 10:21

引用:

原帖由 kittyyaya 於 2014-5-16 09:48 PM 發表

請問橢圓老師
由圖中,如何得知答案是5π/2 或9π/2
我代特殊值只得到9π/2
可否請老師解說
謝謝

另一種情況如附件
由圖形的對稱性知四根和為
(π/8 -k)+(π/8 +k)+(π+π/8 -k)+(π+π/8 +k)
=5π/2

圖片附件: 餘弦的根2.png (2014-5-17 10:21, 281.3 KB) / 該附件被下載次數 6125
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2263&k=6db0d841319d1efb1e766fc383755320&t=1713622429

作者: tsusy 時間: 2014-5-17 20:09 標題: 回復 1# natureling 的帖子

填充 11. 先提供個類題

100桃園聯招：在一可任意旋轉的正八面體的八個面塗上黃綠紅三色，請問二黃、二綠、四紅的情形共有幾種？

答. 22 種

當初我是用伯氏引理作用(Burnside's Lemma)，把它拿去 Google，出來 Wikipedia 唯一的應用例子剛好就是中正高中這題。

這個方法，在這裡寫出來，我想意義不大，看不懂的還是一樣霧裡看花，有興趣的自行去看吧。

至於有沒有其它好方法，我也不曉得...

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:58 PM 編輯 ]

作者: marina90 時間: 2014-5-17 22:30

引用:

原帖由 GGQ 於 2014-5-11 01:52 AM 發表
好像還少一題,印象中是填充最後一題

化簡 (1+sin6度-cos12度) / (cos6度+sin12度) =?

在此提供我算出的答案參考 ( tan6度) (不保證對喔,僅個人演練之)

想請教這題怎麼算的.謝謝

作者: wrty2451 時間: 2014-5-17 23:00 標題: 回復 37# marina90 的帖子

原式=(sin^2 6度+cos^2 6度+sin 6度-cos^2 6度+sin^2 6度) / (cos6度+2sin6度cos6度)
      =(2sin^2 6度+sin 6度) / ( cos6度(1+2sin6度) )
      =sin6度(1+2sin6度)  / cos6度(1+2sin6度)
      =tan6度

若是問中正第13題要利用和角關係把等式換掉(有點像是硬湊的....)
HINT：cos(30+6)度=cos30度cos6度-sin30度sin6度
cos36度= (1+√5)/4

謝謝Ellipse老師提醒，沒檢查到這邊有計算上的瑕疵。
已修改~

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2014-5-22 01:03 PM 編輯 ]

作者: frombemask 時間: 2014-5-17 23:48 標題: 請問計算一要如何做呢?

作者: thepiano 時間: 2014-5-18 07:41

測試輸入方程式

計算第 1 題
利用 \({{x}^{2}}-x+1=\frac{{{x}^{3}}+1}{x+1}\)

分別設
\(\begin{align}
& a=x+1,x=a-1 \\

& b={{x}^{3}}+1,x=\sqrt[3]{b-1} \\
\end{align}\)
代入原式

所求 = 常數項相除 = \(\frac{{ - 335}}{{ - 5}} = 67\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-18 09:07 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-18 09:32

引用:

原帖由 thepiano 於 2014-5-18 07:41 AM 發表
測試輸入方程式

計算第 1 題
利用 \({{x}^{2}}-x+1=\frac{{{x}^{3}}+1}{x+1}\)

分別設
\(\begin{align}
& a=x+1,x=a-1 \\

& b={{x}^{3}}+1,x=\sqrt[3]{b-1} \\
\end{align}\)
代入原式

所求 = 常數項相除 = ...

這題98師大附中有考過
而且數據一模一樣~
當初小弟用的方式還有點複雜
不過看到鋼琴兄現在寫得很精簡
是否再解釋清楚點? thks~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 09:42 AM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2014-5-18 10:29

\({{(a-1)}^{12}}+7{{(a-1)}^{11}}+1=0\)之十二個根的乘積=1-7+1=-5

\(\begin{align}
& {{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{12}}+7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}}+1=0 \\
& {{\left[ {{\left( b-1 \right)}^{4}}+1 \right]}^{3}}={{\left[ -7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}} \right]}^{3}} \\
& {{\left( b-1 \right)}^{12}}+3{{\left( b-1 \right)}^{8}}+3{{\left( b-1 \right)}^{4}}+1+343{{\left( b-1 \right)}^{11}}=0 \\
\end{align}\)
之十二個根的乘積=1+3+3+1-343=-335

作者: marina90 時間: 2014-5-18 12:47

計算3
請問一定要把(3)~(5)合併成a_(n+1)嗎?不能將(2)~(4)合併成a_(n+1)嗎?
這樣也符合第2位有三個黨阿?謝謝~
(1) 親XXXXX (XXX只是表示後面有n+1位) 此時方法數 a_(n+1)
(2) 國(親)XXXX
(3) 國(國)XXX
(4) 民(民)XXX
(5) 民親XXX ： (後面有n位，第2位有親民黨隔開) 後面n個方法數即 a_n

[ 本帖最後由 marina90 於 2014-5-18 01:01 PM 編輯 ]

作者: tsusy 時間: 2014-5-18 12:59 標題: 回復 43# marina90 的帖子

計算3 中，國、民對稱，可互換，所以 (2~4) 合併也可以

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-20 01:28 PM 編輯 ]

作者: hua0127 時間: 2014-5-18 13:29 標題: 回復 38# wrty2451 的帖子

這題是三角函數的化簡名題，我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)
的作法應該就是wrty2451兄的做法：

\(\cos \left( 36{}^\circ  \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left( 6{}^\circ  \right)-\frac{1}{2}\sin \left( 6{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\)
\(\cos \left( 72{}^\circ  \right)=\cos \left( 60{}^\circ +12{}^\circ  \right)=\frac{1}{2}\cos \left( 12{}^\circ  \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( 12{}^\circ  \right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
兩式相減得到
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\left( \cos \left( 6{}^\circ  \right)+\sin \left( 12{}^\circ  \right) \right)-\frac{1}{2}\left( \sin \left( 6{}^\circ  \right)+\cos \left( 12{}^\circ  \right) \right)=\frac{1}{2}\), 移項即為所求。

只是不知道有沒有更殺的方式?

作者: Ellipse 時間: 2014-5-18 21:50

計算1:另解
令f(x)=x^12+7x^11+1-----------(*1)
先將(x²-x+1)乘以(x+1)
令(x+1)(x²-x+1)=0 ,x^3= -1-------------(*2)
假設w=(1+√3i)/2 , -w²=(1-√3i)/2 為(*2)兩根
將x^3= -1代入(*1) , (x^3)^4 + 7*(x^3)^3*x²+1
化簡得2-7x²
所求=(2-7w²)[2-7(-w²)²]=(2-7w²)(2+7w)
=4+14(-w²+w)-49w^3 (w²-w+1=0 , -w²+w=1)
=4+14+49=67

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:09 PM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2014-5-18 22:08

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-18 01:29 PM 發表
這題是三角函數的化簡名題，我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)
的作法應該就是wrty2451兄的做法：

\(\cos \left( 36{}^\circ \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left( ...

若只考cos36-cos72=? 可用和差化積 (以下"度"省略)
cos36-cos72
=2sin18*sin54=2sin18*cos18*cos36/cos18
=2sin36*cos36/ (2cos18)= sin72 / (2sin72)
=1/2

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:31 PM 編輯 ]

作者: panda.xiong 時間: 2014-5-20 09:59

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-11 08:15 PM 發表
計算5. 這題之前被學生問過，是 2014amc12#23

最短循環節長度為 \( n \) 的話，應該寫作 \( 0.\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0} \)

不想做除法的話，計算 \( n \) 可以用擴分的方式 \( 99^2 \times A = 99\ldots ...

請問：為什麼會有99個1啊？

作者: tsusy 時間: 2014-5-20 12:48 標題: 回復 48# panda.xiong 的帖子

計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題

\( 111111111 \)：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1

\( 01010101...01 \)：同理，有 \( n \) 個 01，會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)

所以最少要 \( 99 \) 個 01

作者: Ellipse 時間: 2014-5-20 20:57

引用:

原帖由 wrty2451 於 2014-5-17 11:00 PM 發表
原式=(sin^2 6度+cos^2 6度+sin 6度-cos^2 6度+sin^2 6度) / (cos6度+2sin6度cos6度)
      =(2sin^2 6度+sin 6度) / ( cos6度(1+2sin6度) )
      =2sin6度/cos6度
      =2tan6度

wrty2451兄您好:
答案不是2tan6度
分子部分化簡有問題

作者: cfyvzuxiz 時間: 2014-5-21 16:52

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-20 12:48 PM 發表
計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題

\( 111111111 \)：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1

\( 01010101...01 \)：同理，有 \( n \) 個 01，會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)

所以最少要 \( 99 \) 個 01 ...

請問寸絲老師!
關於 99A=1010....101 ，代表最少會有 99個01，那也可能會是198，297...等等99的倍數個01，
那要如何確定一定會是99個01呢!有沒有可能99不合，符合的是198個01呢!?

作者: tsusy 時間: 2014-5-21 18:57 標題: 回復 51# cfyvzuxiz 的帖子

那個操作是擴分，不會有不合的問題在，例

\( \frac{1}{11} = \frac{9}{99} = \frac{909}{9999} \)

要用哪個分數，看成無窮等比之和，寫成循環小數，結果都是 \( 0.\overline{09} \)

而循環節的長度，就是最小的那一個

作者: cfyvzuxiz 時間: 2014-5-21 21:01 標題: 回復 52# tsusy 的帖子

恩恩!!
自己沒有把循環小數循環節的長度部分就是最小的那一個的觀念弄懂!
謝謝寸絲老師的解惑!謝謝您!!

作者: Ellipse 時間: 2014-5-21 22:07

填13:幾何+向量內積解
這題用幾何真的很有難度,小弟連問幾位高手中的高手都投降
後來想到還是要搭配代數來處理
圖形參考附件(下面度省略)
題目改成[cos12-(-1-sin6)] / [sin12-(-cos6)]
令A(sin12,cos12)=(cos78,sin78)
B(-cos6,-1-sin6)=(cos186,-1+sin186)
即證角ACO1=60度,可得所求AB斜率=√3

大概說一下,圖中EO1O2為正三角形
E(cos210,sin210)=(-√3/2,-1/2)
有一個關鍵地方要證明:AB垂直EO2
可利用向量內積來證
向量O2E=(-√3/2,1/2)
向量BA=(sin12+cos6,cos12+sin6+1)
兩向量內積為(-√3/2)sin12+(-√3/2)cos6+(1/2)cos12+(1/2)sin6+1/2
= -cos30*sin12+sin30*cos12-sin60*cos6+cos60*sin6+1/2
=sin18 -sin54+1/2 =0 (可仿前面證出sin54-sin18=1/2)
(這個等式證出其實答案也就得出
所以這題其實是用sin54-sin18=1/2 再改成和差化積的寫法)
若續看圖,易知EF弧=12
角ACO1=1/2(AQ弧+PF弧)=1/2(78+30+12)=60
可得所求AB斜率=√3 (不然算O2E的斜率也可以)

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-21 10:19 PM 編輯 ]

圖片附件: 特殊三角函數值.png (2014-5-21 22:07, 175.17 KB) / 該附件被下載次數 6216
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2269&k=323c4f07845d0157278ed0b03cf5eaf8&t=1713622429

作者: tsusy 時間: 2014-5-21 23:27 標題: 回復 45# hua0127 的帖子

wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師，兩種解法，我都想不到

敝人不才只好來一個無賴的猜答案

當 \( x \approx 0, \sin x = x, \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)

故 \( \sin 6^\circ \approx \frac{\pi}{30} \approx 0.104 \), \( \cos 12^\circ \approx 1 - 2 \times (0.104)^2 \), \( \sin 12^\circ \approx 0.208, \cos 6^\circ \approx 1 - \frac12 (0.104)^2 \)

而得 \( \displaystyle \frac{1+\sin6^{\circ}+\cos12^{\circ}}{\cos6^{\circ}+\sin12^{\circ}}\approx\frac{2.082}{1.203}\approx1.731 \)

故猜答案 \( \sqrt{3} \)

作者: Ellipse 時間: 2014-5-22 12:46

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-21 11:27 PM 發表
wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師，兩種解法，我都想不到

敝人不才只好來一個無賴的猜答案

當 \( x \approx 0, \sin x = x, \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)

故 \( \sin 6^\circ \approx \frac{\pi}{30} \ap ...

我真服了您可以這樣做~寸絲總是令人有異想不到的解法
昨天goole這題,發現幾年前老王也在yahoo知識家問過~(可見這題難度)
目前搜尋為止, 尚未有人用幾何方式求出,hua0127兄跟鋼琴兄的特殊解法
可謂最快速解.而小弟只想換一種(幾何)方式來詮釋而已~
純粹無聊,吃飽沒事做~~

作者: hua0127 時間: 2014-5-22 16:30 標題: 回復 56# Ellipse 的帖子

沒錯~看橢圓兄寸絲兄和各位先進表演總是一種享受XD

橢圓兄你的幾何詮釋也是令我嘆為觀止
小弟只是享受前人的做法而已XD

作者: 阿光 時間: 2014-5-24 22:36

想請教填充2和4 謝謝

作者: tsusy 時間: 2014-5-25 00:06 標題: 回復 58# 阿光的帖子

填4. 假設只解出 \( A,B,C \) 其一者分別有 \( a,b,c \) 人，恰解出 \( B, C \) 兩題者有 \( d \) 人，

則 \( \frac{b+d}{c+d}=2\Rightarrow b=2c+d, a=b+c=3c+d \)

總人數為 \( 25=a+(a-1)+b+c+d=9c+4d-1 \)

\( (c,d) \) 有唯一的正整數解 \( (2,2) \)，故所求 \( b=6 \)。

作者: 瓜農自足 時間: 2014-5-30 13:24 標題: 回復 58# 阿光的帖子

關於填充二
把條件平方後得sin兩倍角值後帶回原條件檢驗，得出sin(theta)=√6/3, cos(theta)=√3/3唯一確定
再令A=log_2(x) 將f(x)配方得出臨界點x後
帶入f(x)即得(-1/8)
給你參考

作者: martinofncku 時間: 2014-7-6 09:39 標題: 回復 20# tsusy 的帖子

想請問老師為什麼最後三類

國國XXXX
民民XXXX
民親XXXX，
三類合併有 an+1 種?

作者: tsusy 時間: 2014-7-6 22:30 標題: 回復 61# martinofncku 的帖子

# 30 處 hua0127 老師有說明，我也想不到其它更好的說法了

引用:

原帖由 hua0127 於 2014-5-15 11:38 PM 發表
...
(3)+(4)+(5) 剛好是a_(n+1) ,關鍵是括號的地方因為a_(n+1)的第一位一定是國或民或親

作者: XYZ 時間: 2014-8-30 16:29

想問一下填充8 thx

作者: thepiano 時間: 2014-8-30 19:53 標題: 回復 62# XYZ 的帖子

第 8 題
\(\begin{align}
& \sin 5x \\
& =\sin x\cos 4x+\cos x\sin 4x \\
& =\sin x\left[ 1-2{{\left( \sin 2x \right)}^{2}} \right]+2\cos x\sin 2x\cos 2x \\
& =\sin x\left[ 1-2{{\left( 2\sin x\cos x \right)}^{2}} \right]+4{{\cos }^{2}}x\sin x\left[ 1-2{{\left( \sin x \right)}^{2}} \right] \\
& =\sin x\left[ 1-8{{\sin }^{2}}x\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right) \right]+4\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)\sin x\left[ 1-2{{\left( \sin x \right)}^{2}} \right] \\
& =16{{\sin }^{5}}x-20{{\sin }^{3}}x+5\sin x \\
\end{align}\)
剩下的就簡單了…

作者: XYZ 時間: 2014-8-31 10:01 標題: 回復 63# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴老師~

作者: anyway13 時間: 2016-8-19 15:09 標題: 請教第七題

請問一下版上的老師第七題應該怎麼繼續解呢

訂完座標後方程式解不出說? 謝謝

圖片附件: IMAG2156 (1).jpg (2016-8-19 15:09, 403.33 KB) / 該附件被下載次數 5145
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3621&k=441ecbfd000b5fa21f8861d5a7d996d3&t=1713622429

作者: thepiano 時間: 2016-8-19 16:09 標題: 回復 65# anyway13 的帖子

設\(\overline{DM}\bot \overline{BC}\)於\(M\)
\(a=\overline{AO}-\overline{DM}=\frac{3}{2}\sqrt{3}\)

作者: anyway13 時間: 2016-8-19 22:59 標題: 回復 65# the piano 的帖子

原來是這樣! 謝謝鋼琴老師!

作者: BambooLotus 時間: 2017-2-22 23:36

想問一下填充第二題，我令t=log_4(x/sin(theta))，f(x)=(2t-1)(t-1)，t似乎沒有限制範圍耶

那是不是這題如果單純求函數極值其實不需要把三角函數解開來?

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-2-22 23:56 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2017-2-23 15:48 標題: 回復 68# BambooLotus 的帖子

是啊

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