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標題: 請教一題函數 [打印本頁]

作者: sherlock 時間: 2014-3-12 13:58 標題: 請教一題函數

設\( f(x)=x^2+x \)。若\( f_1(x)=f(x) \)且對所有的正整數\(n\)均滿足\( f_{n+1}(x)=f(f_n(x)) \)。試問\( f_{2010}(x)=0 \)有多少個相異實數解？

作者: weiye 時間: 2014-3-12 14:48 標題: 回復 1# sherlock 的帖子

對任意正整數 \(n\) ，

恆有 \(x\left(x+1\right)\Bigg| f_n \left(x\right)\)，所以 \(f_n(x)=0\) 至少有兩實根 \(x=0,-1\)，

且

case i: 對任意實數 \(t>0\)，恆有 \(t\left(t+1\right)>0\)

　　　　所以 \(f_n\left(x\right)>0\) 恆成立，即 \(f(x)=0\) 無正根。

case ii: 對任意實數 \(t<-1\)，恆有 \(t\left(t+1\right)>0\)

　　　　承 case i，恆有 \(f_n\left(x\right)>0\) ，即 \(f(x)=0\) 無小於負一的根。

case iii: 對任意實數 \(-1<t<0\)，恆有 \(-1<t\left(t+1\right)<0\)

　　　　所以 \(f_n\left(x\right)<0\) 恆成立，即 \(f(x)=0\) 在開區間 \(\left(-1,0\right)\) 無實根。

故， \(f_n\left(x\right)=0\) 僅有兩相異實根 \(x=0,-1\)。

另解，

或是見下圖，分別是以 \(\displaystyle x>1,\quad -\frac{1}{2}\leq x<0,\quad -1<x<-\frac{1}{2},\quad x<-1\)

帶入 \(f(x)=x\left(x+1\right)\) 進行 \(n\) 次疊代，可知經「有限次」疊代 (iteration) 後的結果都不會是 \(0\)。

　　

　　（上圖，當 \(x>1\) 時，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=\infty\)）

　　

　　（上圖，當 \(\displaystyle -\frac{1}{2}\leq x<0\) 時，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=0\)）

　　

　　（上圖，當 \(\displaystyle -1<x<-\frac{1}{2}\) 時，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=0\)）

　　

　　（上圖，當 \(x<-1\) 時，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} f_n\left(x\right)=\infty\)）

而 \(x=0\) 顯然是疊代時候的固定點（即 \(f(0)=0\) ），且 \(f(-1)=0\)。

　　

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作者: thepiano 時間: 2014-3-12 15:37

這題好玩的地方在於：除了 x = 0 和 -1 之外，f_(n+1)(x) > f_n(x)

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