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標題: 2014APMO初試試題分享 [打印本頁]
作者: nianzu    時間: 2013-12-9 09:48     標題: 2014APMO初試試題分享

大家一起想想!!

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2004&k=2670226884ffd4a283c025b849b00d6c&t=1714608407
作者: nianzu    時間: 2013-12-9 14:28

想請教第五題
作者: thepiano    時間: 2013-12-9 15:14

第 5 題
易知 a_10 - a_1 ≧ 45

(1) a_10 = 46
1 種

(2) a_10 = 47
H(10，1) 種

(3) a_10 = 48
H(10，2) 種

(4) a_10 = 49
H(10，3) 種

(5) a_10 = 50
H(10，4) 種

共 1001 種
作者: weiye    時間: 2013-12-9 17:06     標題: 回復 2# nianzu 的帖子

第五題另解，

把 \(a_1, a_2, \cdots, a_{10}\) 由左至右依序排列，

把 \(40\) 個相同球放入 \(a_1, a_2, \cdots, a_{10}\) 所區隔開來的 \(11\) 個區域之中，

且 \(a_i\) 與 \(a_{i+1}\) 之間至少要放入 \(i-1\) 個球，

因此先在 \(a_i\) 與 \(a_{i+1}\) 之間先放入 \(i-1\) 個球 （\(\forall i=2,3,\cdots, 9\)），

剩下 \(40-\left(1+2+\cdots+8\right)=4\) 個球放入 \(11\) 的區域的方法有 \(H_4^{11}=1001\) 種。



對於每一種將 40 個球與 \(a_1, a_2,\cdots,a_{10}\) 排成一直線的方法，

由左至右看 \(a_i\) 排在第幾個位置，就對應到 \(a_i\) 的值是多少。
作者: nianzu    時間: 2013-12-10 07:55

感謝老師講解
可以在問一下第6和第7題嗎!!
感激不盡~~
作者: weiye    時間: 2013-12-10 13:22     標題: 回復 5# nianzu 的帖子

第六題：

所有環排數＝\(\displaystyle\frac{32!}{32}=31!\)

在所有環排情況中，相鄰兩人是一男一女的牽手總數＝\(\left(C^{15}_1C^{17}_1\cdot2!\right)\cdot30!\)

所求期望值＝平均每一環排當中相鄰兩人是一男一女的牽手數＝\(\displaystyle\frac{\left(C^{15}_1C^{17}_1\cdot2!\right)\cdot30!}{31!}=\frac{510}{31}\)


ps.　另外還可以知道下列的訊息：

　　所有環排中，相鄰兩人是兩男的牽手總數＝\(\left(C^{15}_2\cdot2!\right)\cdot30!\)

　　所有環排中，相鄰兩人是兩女的牽手總數＝\(\left(C^{17}_2\cdot2!\right)\cdot30!\)

　　所有環排的牽手總數＝（所有環排中，相鄰兩人是一男一女的牽手總數）＋（所有環排中，相鄰兩人是兩男的牽手總數）＋（所有環排中，相鄰兩人是兩女的牽手總數）

　　即 \(31!\cdot32 = \left(C^{15}_1C^{17}_1\cdot2!\right)\cdot30!+\left(C^{15}_2\cdot2!\right)\cdot30!+\left(C^{17}_2\cdot2!\right)\cdot30!\)
作者: thepiano    時間: 2013-12-10 14:18

第 7 題
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc + (a + b + c)[(a + b + c)^2 - 3(ab + bc + ca)] = 3abc + 9(ab + bc + ca) - 27
(a + 3)(b + 3)(c + 3) = abc + 3(ab + bc + ca) + 9(a + b + c) + 27 = abc + 3(ab + bc + ca)

a^3 + b^3 + c^3 - 20(a + 3)(b + 3)(c + 3) = 2013
3abc + 9(ab + bc + ca) - 27 - 20[abc + 3(ab + bc + ca)] = 2013
-17abc - 51(ab + bc + ca) = 2040
abc + 3(ab + bc + ca) = -120

a、b、c 中，必最少有一個 3 的倍數

先令 b = 0
a + c = -3
ac = -40

a = -8，c = 5

a = -8，b = 0，c = 5

其他解可從以下式子考慮
(a + 3)(b + 3)(c + 3) = -120
a + b + c = -3
可找到　a = -9，b = -1，c = 7

此題的 (a，b，c) 僅有兩組解

[ 本帖最後由 thepiano 於 2013-12-10 02:55 PM 編輯 ]
作者: cplee8tcfsh    時間: 2013-12-10 22:59     標題: 回復 6# weiye 的帖子

第 6 題 等價敘述 的 另解

考慮 某男 的 左手 牽到 女生 的 期望值
乘2 ( 右手同理)
乘15 (其他男生同理)

故算式= 1*\( \frac{17}{31} *2*15 = \frac{510}{31} \)

[ 本帖最後由 cplee8tcfsh 於 2013-12-10 11:02 PM 編輯 ]
作者: nianzu    時間: 2013-12-11 07:56     標題: 回復 7# thepiano 的帖子

感謝老師們的解法
真是感謝

[ 本帖最後由 nianzu 於 2013-12-11 08:04 AM 編輯 ]
作者: vicki8210    時間: 2014-4-2 07:31     標題: 回復 1# nianzu 的帖子

想請教第四題，謝謝！
作者: thepiano    時間: 2014-4-2 09:22

從這裡著手
x^3 + 3x^2 + 6x + 20 = (x + 1)^3 + 3(x + 1) + 16
y^3 + 6y^2 + 15y - 2 = (y + 2)^3 + 3(y + 2) - 16



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