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標題: 102景美女中 [打印本頁]
作者: weiye    時間: 2013-5-29 16:31     標題: 102景美女中

題目如附件。

附件: 102景美女中.pdf (2013-5-29 16:31, 33.88 KB) / 該附件被下載次數 10649
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1728&k=5fd47f42466746bc84f7b92f3b7fd511&t=1713988852
作者: simon112266    時間: 2013-5-29 17:13

想請問2.8.10

10.覺得四個都是對的...但是不會解釋
作者: acc10033    時間: 2013-5-29 17:34

想問２，４，８
作者: bugmens    時間: 2013-5-29 17:52

2.
試求出所有整數a,b,c使得\( \displaystyle \frac{36}{385}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11} \)，且\( |\; a |\;<5 \)，\( |\; b |\;<7 \)，\( |\; c |\;<11 \)。
(101桃園高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1373&page=2#pid5767)


6.
設兩數列\( a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{100} \)及\( b_1,b_2,b_3,\ldots,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \)，\( n=1,2,3,\ldots,99 \)
(1)試求\( 2 \times 2 \)階矩陣A，使得\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;=A \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \)，\( n=1,2,3,\ldots,99 \)。
(2)已知\( a_{99}=3^{50} \)，\( b_{100}=4 \cdot 3^{49} \)，試求\( a_1 \)及\( b_1 \)之值。


設\( n \in N \)，兩數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)滿足\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{a_{n+1}=5b_n+2b_{n+1} \cr b_{n+1}=5a_{n}-2a_{n+1}} \)
(1)試求二階方陣A，使得\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{a_{n+1} \cr b_{n+1}} \Bigg]\;=A \Bigg[\; \matrix{a_n \cr b_n} \Bigg]\; \)，\( n \in N \)。
(2)已知\( a_{100}=5^{50} \)，\( b_{100}=3 \cdot 5^{50} \)，試求\( a_1 \)及\( b_1 \)之值。
(101明倫高中，https://math.pro/db/thread-1410-1-1.html)
作者: weiye    時間: 2013-5-29 19:36     標題: 回復 2# simon112266 的帖子

第 2 題：

\(36 = a\cdot 7\cdot 11 + b\cdot 5\cdot 11+c\cdot5\cdot 7\)

可知

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{cc}36\equiv a\cdot 7\cdot 11\pmod{5}\\ 36\equiv b\cdot 5\cdot 11\pmod{7} \\ 36\equiv c\cdot5\cdot 7\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}1\equiv 2a\pmod{5}\\ 1\equiv 6b\pmod{7} \\ 3\equiv 2c\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}3\cdot1\equiv 3\cdot2a\pmod{5}\\ 6\cdot1\equiv 6\cdot6b\pmod{7} \\ 6\cdot3\equiv 6\cdot2c\pmod{11}\end{array}\right.\)

\(\displaystyle \Rightarrow\left\{\begin{array}{cc}3\equiv a\pmod{5}\\ 6\equiv b\pmod{7} \\ 7\equiv c\pmod{11}\end{array}\right.\)

且由 \(\left|a\right|<5, \left|b\right|<7, \left|c\right|<11\)

可知 \(a=3\) 或 \(a=-2\)，\(b=6\) 或 \(b=-1\)，\(c=7\) 或 \(c=-4\)，

剩下就是帶入 \(\displaystyle \frac{36}{385}=\frac{a}{5}+\frac{b}{7}+\frac{c}{11}\)

檢查可得正確的有序數組 \(\left(a,b,c\right)=(3,-1,-4), (-2,6,-4), (-2,-1,7)\)
作者: simon112266    時間: 2013-5-29 20:50

試著寫第4題

我是把規律找出來，還是有點麻煩...不知道這樣對不對
希望有高手有更簡單的方法

1089,1188,1287,1386,1485,1584,1683,1782,1881,1980

2079,2178,2277,2376,2475,2574,2673,2772,2871,2970

                                       ....
                                       ....
8.....

                       9開頭全都有0所以都不可以


1開頭平均A1=1485+1584/2=3069/2

2              A2=2475+2574/2=5049/2
...
8              A8=8415+8514/2=16929/2


A1~A8為等差

所求=(A1+A2+...+A8)*6/C(9,4)*4!=1111/14
作者: tsusy    時間: 2013-5-29 21:06     標題: 回復 6# simon112266 的帖子

第4題

見 100文華代理填充9 Joy091 和 wieye 老師之解法。

看完後應可以有比較簡捷之做法，或者利用 \( 100x+y \equiv x+y \) (mod  99)
作者: tsusy    時間: 2013-5-29 21:14     標題: 回復 3# acc10033 的帖子

第 8 題，如圖 \( 2\pi^2 \) 不解釋


圖片附件: pic.png (2013-5-29 21:14, 9.65 KB) / 該附件被下載次數 9251
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1730&k=9df85e6390c6859845968add33e41634&t=1713988852

作者: tsusy    時間: 2013-5-29 21:16     標題: 回復 2# simon112266 的帖子

第 10 題，有點小遺憾，只有 (1) 是正確的，好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼
作者: simon112266    時間: 2013-5-29 22:30

引用:
原帖由 tsusy 於 2013-5-29 09:16 PM 發表
第 10 題，有點小遺憾，只有 (1) 是正確的，好好想想 「整除」、「連續」、「可微」的定義是什麼
謝謝老師的題點

定義不熟阿...
作者: kpan    時間: 2013-5-30 00:00     標題: 回復 10# simon112266 的帖子

如果要舉反例的話
第二小題  取  f(x) = sin ( x*pi/2)
至於  第三小題 第四小題  我相信 課本應該會有反例  沒有的話  隨便一本微積分 也會有~

僅供您參考~~~
作者: panda.xiong    時間: 2013-6-4 11:46     標題: 回復 11# kpan 的帖子

請問第十題(1)要如何說明才恰當?
作者: panda.xiong    時間: 2013-6-4 11:57

請問第9題，我的想法是否正確？
PK是不是因為平移而得的，所以面積不變？
Qk是不是旋轉45度再伸縮(根號2倍)所得？
作者: tacokao    時間: 2013-6-4 15:40     標題: 回復 13# panda.xiong 的帖子

我也是這樣想的喔!!!!
作者: ilikemath    時間: 2013-6-4 19:00

想請教第11題和第12(1)題
感謝
作者: tsusy    時間: 2013-6-4 19:32     標題: 回復 15# ilikemath 的帖子

11 題. \( (x\pm\frac{1}{2})^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 在 \( x\leq0 \) 的部分就是 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 且 \( x\leq-\frac{1}{2} \) 之區域的平移。

而在 \( x\geq0 \) 的部分，則為 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq1 \) 且 \( x\geq\frac{1}{2} \) 的平移。

故所求 \( =2\int_{\frac{1}{2}}^{1}\pi(1-x^{2})dx=\frac{5\pi}{12} \)。

12. 題. 令 \( t=1-\frac{1}{x} \), 則 \( dt=\frac{1}{x^{2}}dx \)
作者: hinetsndb    時間: 2013-6-5 14:32

想請教填充第五題，我是設點座標然後帶重心，但計算很複雜...不知有否其它做法
謝謝大家。
作者: simon112266    時間: 2013-6-5 16:18

引用:
原帖由 hinetsndb 於 2013-6-5 02:32 PM 發表
想請教填充第五題，我是設點座標然後帶重心，但計算很複雜...不知有否其它做法
謝謝大家。
四面體體積 = 所求*(底面積)*(1/3)
作者: hinetsndb    時間: 2013-6-5 17:12     標題: 回復 18# simon112266 的帖子

原來如此~~~謝謝老師~~~
作者: tuhunger    時間: 2013-6-5 21:22     標題: 第4題 另解

引用:
原帖由 simon112266 於 2013-5-29 08:50 PM 發表
試著寫第4題

我是把規律找出來，還是有點麻煩...不知道這樣對不對
希望有高手有更簡單的方法

1089,1188,1287,1386,1485,1584,1683,1782,1881,1980

2079,2178,2277,2376,2475,2574,2673,2772,2871,2970

            ...
[我的方法]: 看看會不會比較快~~~  參考看看

圖片附件: 未命名.png (2013-6-5 21:22, 6.57 KB) / 該附件被下載次數 5252
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1753&k=520e03c9fae5ad10950198b7e29ac857&t=1713988852

作者: tuhunger    時間: 2013-6-5 23:11     標題: 第13題

有高手可以直接證明嗎?(我繞圈了)

13.
感覺我的方法繞圈了，歡迎高手不吝指教
\(n(1+x)^{n-1}=C_1^n+2C_2^nx+3C_3^nx^2+\ldots+nC_n^nx^{n-1}\)(取\(x=1\)可得已知的式子)
乘\(x \Rightarrow n(1+x)^{n-1}x=C_1^nx+2C_2^nx^2+3C_3^nx^3+\ldots+nC_n^nx^n\)
微分\(\Rightarrow n(n-1)(1+x)^{n-2}x+n(1+x)^{n-1}=C_1^n+2^2C_2^nx^1+3^2C_2^nx^2+\ldots+n^2C_n^nx^{n-1}\)
取\(x=1\)得證
作者: weiye    時間: 2013-6-5 23:35     標題: 回復 21# tuhunger 的帖子

https://math.pro/db/thread-62-1-4.html
作者: tsusy    時間: 2013-6-7 13:58     標題: 回復 21# tuhunger 的帖子

13 題. 我也來個無視題目的另證

令 \( X\sim\text{Bin}(n,\frac{1}{2}) \)，則所求 \( =2^{n} \cdot EX^{2} =2^{n}\cdot(\mbox{Var}\, X+(EX)^{2})=2^{n}\cdot(\frac{n}{4}+(\frac{n}{2})^{2}) = n(n+1)2^{n-2} \)。

順帶補幾個類似題：

(100中壢高中) 試求 \( \sum\limits _{k=3}^{18}k^{2}C_{3}^{k} \)。
weiye 解題

(100文華高中代理) 試求 \( C_{0}^{21}+\frac{1}{2}C_{1}^{21}+\frac{1}{3}C_{2}^{21}+\frac{1}{4}C_{3}^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21} \)。
weiye 解題

(99高雄市聯招) 試證 \( C_{2}^{2}C_{1}^{n}+C_{2}^{3}C_{2}^{n}+C_{2}^{4}C_{3}^{n}+\ldots+C_{2}^{n+1}C_{n}^{n}=n(n+3)2^{n-3} \)。
還是 weiye 解題

(99東山高中) 求 \( \sum\limits _{k=0}^{100}\left(x+\frac{k}{100}\right)^{2}C_{k}^{100}x^{k}(1-x)^{100-k} \) 之值。
依舊是 weiye 老師解題

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-7 02:05 PM 編輯 ]
作者: martinofncku    時間: 2013-7-9 00:16

請問 3 的答案是\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \)嗎?
作者: thepiano    時間: 2013-7-9 06:39

引用:
原帖由 martinofncku 於 2013-7-9 12:16 AM 發表
請問 3 的答案是 （根號3）/3 嗎?
是！
作者: peter0210    時間: 2013-11-20 22:10

不好意思！！想跪求各位老師有無參考正確答案，小弟太弱了，沒有看到答案，心慌慌阿！！
作者: tsusy    時間: 2013-11-23 22:28     標題: 回復 26# peter0210 的帖子

部分答案，如有錯還請修正：
1. (1) 54  (2) \( \frac{22}{45} \) (感謝 thepiano 提醒筆誤)

2. (-2,-1,7) , (-2,6,-4) , (3,-1,-4)

3. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

4. \( \frac{1111}{14} \)

5. \( 2\sqrt{6} \)

6. (1) \( \begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & -1
\end{bmatrix} \) (2) \( a_1 =3, b_1=-1 \)

7. (1) 3 (2) \( \frac{1\pm\sqrt{5}}{2} , \pm\sqrt{3} \)

8-14 還是自己寫寫或找找吧，這邊只是討論區

如果每個人都怕自己的答案會算錯，不願意分享討論，那這邊就永遠不會有參考答案

論壇裡的每位老師也都會算錯，但不怕錯，因為錯在這，PO出來，有其他老師會幫忙修正

只要拋磚引玉地PO出自己的答案，相信其它人很願意和您互相參考、修正

真有不會的題目，直接PO發問文

然後該對自己有信心一點，數學裡對錯分明，當一名老師更要對自己所傳授的知識有信心，加油 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-11-24 09:07 AM 編輯 ]
作者: thepiano    時間: 2013-11-24 06:51

寸絲兄 1(2) 有點小筆誤，應是 22/45
作者: tsusy    時間: 2013-11-24 09:06     標題: 回復 28# thepiano 的帖子

對~我傻了，果然常常寫錯，馬上修正
作者: johncai    時間: 2014-3-11 22:52

來獻醜跟各位對個答案
9.(1)3*3^0.5/2
    (2)3*3^0.5
11.  5π/12
12.(1)2^0.5/6
      (2)  (8-4*2^0.5)/3
14.(1)y^2=4x
      (2)  4

有錯誤請告知
感謝！
作者: Christina    時間: 2018-6-16 22:06

請教老師們第8題答案是2*（pi平方）嗎^_^謝謝

問完才發現剛剛前面有><無法刪文，打擾大家抱歉

[ 本帖最後由 Christina 於 2018-6-16 22:08 編輯 ]



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