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標題: 102北一女中 [打印本頁]

作者: weiye 時間: 2013-4-12 20:03 標題: 102北一女中

北一女102學年度第1次教師甄選數學科筆試測驗題試題暨答案

只有公布填充題部份的 6 題

----------以下部分計算題內容由 kpan 網友提供------------

3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？

4. 令A(x,0)和B(0,y)分別為x軸和y軸上移動,且AB=1,以AB的長度做一正方形ABCD,令P為CD上的中點,求P的軌跡方程式以及圖形為何？

5. 有5個相同的黑棋和 5個相同的白棋,排成一列 ,若連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為？

附件: 102北一女.pdf (2013-4-12 20:03, 125.61 KB) / 該附件被下載次數 11752
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1580&k=735a04013c30e42c1cceeadaf282f7fb&t=1714294550

作者: brace 時間: 2013-4-13 10:28 標題: 請教填充第六題

可以請教填充第六題嗎？謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-4-13 12:22 標題: 回復 2# brace 的帖子

令 \( P(x) = (x-\alpha)(x-\beta) \)，由 \( P(x^2+4x-7) = 0 \) 有一根為 1 可得 \( \alpha = -2 \) 或 \( \beta =-2 \)

不失一般性，令 \( \alpha = -2 \)

又 \( P(x^{2}+4x-7)=(x^{2}+4x-7+2)(x^{2}+4x-7-\beta)=(x+5)(x-1)(x^{2}+4x-7-\beta) \) 有重根

因此此重根為 1 或 -5，或者 \( x^{2}+4x-7-\beta=0 \) 有重根

因此得 \( \beta =-2 \) 或 \( -11 \)

故 \( P(5)=(5+2)^{2}=49 \) 或 \( (5+2)(5+11)=112 \)

作者: Joy091 時間: 2013-4-13 12:22

我的解法有用到微分

令 \(\displaystyle f(x)=P(x^2+4x-7)=(x^2+4x-7)^2+b(x^2+4x-7)+c\)
則有 \(\displaystyle f(1)=0\)，即 \(\displaystyle 4-2b+c=0\)

另外因為至少有一重根，所以在 \(\displaystyle f'(x)=0\) 的實數解之中，至少有一個滿足 \(\displaystyle f(x)=0\)
於是由 \(\displaystyle f'(x)=2(x^2+4x-7)(2x+4)+b(2x+4)=(2x+4)(2x^2+8x-14+b)\) 知道
\(\displaystyle f(-2)\), \(\displaystyle f(x_1)\), \(\displaystyle f(x_2)\) 至少一個為零，
其中 \(\displaystyle x_1,x_2\) 為 \(\displaystyle 2x^2+8x-14+b=0\) 的兩根。

\(\displaystyle f(-2)=0\) 時，得到 \(\displaystyle 11^2-11b+c=0,b=13,c=22,P(5)=112\)
\(\displaystyle f(x_1)=0\) 時，因為 \(\displaystyle 2x^2_1+8x_1-14=-b\)，得到 \(\displaystyle (-\frac{b}{2})^2+b\frac{-b}{2}+c=0\),
\(\displaystyle c=\frac{b^2}{4}, b=4, c=4, P(5)=49\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-13 12:28 PM 編輯 ]

作者: brace 時間: 2013-4-13 15:55 標題: 回復 3# tsusy 的帖子

謝謝，我懂了，感謝^_^

作者: brace 時間: 2013-4-13 15:56 標題: 回復 4# Joy091 的帖子

兩種方法都很好，受教了，感謝^_^

作者: addcinabo 時間: 2013-4-13 17:49

想請教第3题，我個人是用慢慢推的方式
可是我覺得很慢，很難找
我覺得應該有個比較有系統的方式
請大家給小弟一點方向，感謝先^.^

作者: tsusy 時間: 2013-4-13 18:12 標題: 回復 7# addcinabo 的帖子

第3題

以下的記號是 \( a = a_1 \), \( n = k \)

\( \frac{a+a+(n-1)}{2}\cdot n=2000\Rightarrow(2a+n-1)\cdot n=4000\)

\( \Rightarrow n\mid4000 \) 又 \( 2a=\frac{4000-(n^{2}-n)}{n}>0\Rightarrow n\leq63 \) 。

而 \( 4000=2^{5}\cdot5^{3} \) ，由 \( n\mid4000 \) 及 \( 2\leq n\leq63 \)，得 \( n \) 之可能有 \( 2,4,8,16,32,5,10,20,40,25,50 \) 。

但 \( 2a \) 為偶數可得 \( 2 , 4 , 8 , 16, 10 , 20 , 40, 50 \) 不合。 (這些 \( n \) 使得 \( \frac{4000}{n}-n+1= \) 偶- 偶+1= 奇)

故 \( (n,a)=(32,47) , (5,398) , (25,68) \) 。

作者: cally0119 時間: 2013-4-13 20:30

請問一下第4題我的想法是p(1,5,7)到平面E的最短距離,E事由向量b及向量c所展的平面.但我的答案算出來是 1/根號3 ?是我的想法錯了嗎?

作者: tsusy 時間: 2013-4-13 21:38 標題: 回復 9# cally0119 的帖子

第4題，方法是對的，應該只是計算錯誤而已

\( \vec{b} \times \vec{c} = (-1,2,-1) \)，故平面 E 之方程式為 \( x-2y+z=0 \)

點 \( P(1,5,7) \) 到平面之距離為 \( \frac{|1-10+7|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)

作者: weiye 時間: 2013-4-13 21:51 標題: 回復 9# cally0119 的帖子

第 4 題
設\(\vec{a}=(1,5,7),\vec{b}=(3,4,5),\vec{c}=(1,1,1)\)，且\(x,y\)為實數，則\(|\;\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}|\;\)之最小值為　　　。
[解答]
（對比上法～這是另解～：Ｐ）：

\(\left|\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}\right|^2=\left|\vec{a}\right|^2+x^2\left|\vec{b}\right|^2+y^2\left|\vec{c}\right|^2-2x\vec{a}\cdot\vec{b}-2y\vec{a}\cdot\vec{c}+2xy\vec{b}\cdot\vec{c}\)

　　　　　　　　\(=75+50x^2+3y^2-116x-26y+24xy\)

　　　　　　　　\(=50x^2-4\left(29-6y\right)x+\left(3y^2-26y+75\right)\)

　　　　　　　　\(=50\left(x-\frac{29-6y}{25}\right)^2+\left(\frac{3}{25}y^2+\frac{46}{25}y+\frac{193}{25}\right)\)

　　　　　　　　\(=50\left(x-\frac{29-6y}{25}\right)^2+\frac{3}{25}\left(y+\frac{23}{3}\right)^2+\frac{2}{3}\)

　　　　　　　　\(\geq \frac{2}{3}\)

當 \((x,y)=(3,\frac{-23}{3})\) 時，\(\left|\vec{a}-x\vec{b}-y\vec{c}\right|\) 有最小值為 \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)

註：也可以令 \(f(x,y)=75+50x^2+3y^2-116x-26y+24xy\) 由 \(\frac{\partial }{\partial x} f(x,y)=0, \frac{\partial }{\partial y} f(x,y)=0\) 解得最小值發生時的 \((x,y)\) 之值。

113.1.30補充
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid7957

作者: cally0119 時間: 2013-4-13 23:39

謝謝!我知道哪裡錯了,我竟然在最後一步將答案寫成根號2/根號3 ! 竟然檢驗半天看不出來!謝謝你的答覆!

作者: cally0119 時間: 2013-4-13 23:42

也謝謝瑋岳老師的解法!其實最先開始我是用這個方法,但是我是用配方法解覺得很麻煩!原來是我沒想到用微分,受益良多,謝謝!

作者: airfish37 時間: 2013-4-15 15:22

[填充3]  參考看看~
(1)奇數項：設 n-j,....,n-2, n-1, n, n+1, n+2,...,n+j  (2j+1項)
                  2000 = (2j+1)n = 5*400 = 25*80 = 5*16
                  a_1 =  n-j = 398 或 68
(2)偶數項：設 n-j,...,n-2, n-1, n, n+1, n+2,....,n+j-1  (2j項)
                  2000 = j(2n-1) = 400*5 = 80*25 = 16*5
                  a_1= n-j =47

感謝瑋岳老師、hau0127老師、tuhunger老師提供第1題、第5題的作法，讓小弟獲益匪淺^^

[ 本帖最後由 airfish37 於 2013-6-22 02:08 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2013-4-15 17:26 標題: 回復 14# airfish37 的帖子

填充第 5 題：

圖片附件: 2013-04-15 17.19.57.jpg (2013-4-15 17:26, 113.1 KB) / 該附件被下載次數 7057
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1592&k=ff2a785312f27815aeff4098dacec93e&t=1714294550

作者: hua0127 時間: 2013-4-15 17:36 標題: 回復 14# airfish37 的帖子

補充一個填充5，但做法類似瑋岳大。

圖片附件: 5.jpg (2013-4-15 17:36, 177.41 KB) / 該附件被下載次數 4336
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1593&k=f8dde199b323e23d65ecfaca363636a6&t=1714294550

作者: weiye 時間: 2013-4-15 17:38 標題: 回復 14# airfish37 的帖子

填充第 1 題：

註：感謝 Joy091 老師提醒我最後一行漏寫了絕對值。現已修正。
　　（我真是漏東漏西，擔心以後會有痴呆症。哈！）

圖片附件: 2013-04-15 17.35.31.jpg (2013-4-16 09:42, 186.28 KB) / 該附件被下載次數 6896
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1594&k=82de73e105dd1a114bc1dc9f2690d81b&t=1714294550

作者: tuhunger 時間: 2013-4-15 17:47

引用:

原帖由 tuhunger 於 2013-4-15 05:43 PM 發表

第四題另解

[ 本帖最後由 tuhunger 於 2013-4-15 11:29 PM 編輯 ]

圖片附件: 未命名.png (2013-4-15 17:47, 21.94 KB) / 該附件被下載次數 4382
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1596&k=d1b4292f3153b7e361f596d3054c9828&t=1714294550

作者: tuhunger 時間: 2013-4-15 18:51 標題: 第4題另解

我的方法應該跟cally0119老師有異曲同工之妙(我的稍微偏向代數)

圖片附件: 未命名.png (2013-4-15 18:51, 14.82 KB) / 該附件被下載次數 4280
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1597&k=14e23a0715dc80cbcb3f96612672b061&t=1714294550

作者: kpan 時間: 2013-4-16 15:00

由小弟來提供一下計算題部份（沒有全部）因為第一和第二是偵錯題來不及抄題

3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？

4. 令A(x,0)和B(0,y)分別為x軸和y軸上移動,且AB=1,以AB的長度做一正方形ABCD,令P為CD上的中點,求P的軌跡方程式以及圖形為何？

5. 有5個相同的黑棋和 5個相同的白棋,排成一列 ,若連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為？

小弟卡在第五題～～～若有需要晚點在po 3 和4 小弟的解法........

[ 本帖最後由 kpan 於 2013-4-16 03:03 PM 編輯 ]

作者: thepiano 時間: 2013-4-16 16:02

5.有5個相同的黑棋和5個相同的白棋,排成一列,若連續出現三顆依序為"黑白黑"的機率為？

先提供一下答案 13/18

作者: 老王 時間: 2013-4-16 16:38 標題: 回復 23# thepiano 的帖子

我也是算這答案，但我覺得我的方法太複雜了，用雙變數遞迴。
不知鋼琴老師的做法為何??

作者: thepiano 時間: 2013-4-16 17:13

計算第 5 題
出現"黑白黑"好像很容易，所以小弟從反面思考，先計算不會出現"黑白黑"的情形

1●2●3●4●5●6
5 個白丟入 6 個空隙

(1) 5 個不分組(連在一起)：6 種方法

(2) 分成 (4，1)：2 * 5 = 10 種方法
單獨的那 1 個只能丟第 1 或第 6 個空隙

(3) 分成 (3，2)：C(6，2) * 2 = 30 種方法

(4) 分成 (1，1，3)：4 種方法
那 2 個 1 只能丟第 1 和第 6 個空隙

(5) 分成 (1，2，2)：2 * C(5，2) = 20 種方法
單獨的那 1 個只能丟第 1 或第 6 個空隙

以上合計 70 種

所求 = 1 - 70/C(10，5) = 13/18

作者: 老王 時間: 2013-4-16 17:24 標題: 回復 25# thepiano 的帖子

讚，這樣比較快。

作者: GGQ 時間: 2013-4-17 21:05 標題: 回復 22# kpan 的帖子

請教
3. 銳角三角形ABC,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5, AB=3 , 求三角形面積？
這題的作法? 謝謝

作者: kpan 時間: 2013-4-17 21:24

不好意思  比較忙碌點最近在用樂學計畫新生報到的相關事宜

先在BC上取一點D  s.t. 角 BAD  =  角B 因此  AD=BD 就令它們為 x 吧

由正弦thm 可以得到  CD= x / 3

因為  sInA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
      sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

又因為  sin(A+B)= 3/5 => cos(A+B)= -4/5 (因為C是銳角  所以 A+B為鈍角)
         sin(A-B)=1/5 => cos(A-B)=  2*sqrt(6)/5

然後利用  半角公式  分別求出  sin((A+B)/2) 和  cos((A-B)/2)  和  cos((A+B)/2)  和  sin((A-B)/2) 這四個

就可以解出  sinA  和  sinB  了

再利用一次正弦thm  就可以得到 BC長

最後利用兩邊一夾角的面積公式  即可    我算的是 (6+3*sqrt(6))/2

我承認我的方法比較繁瑣點
不知道各位先進是否有較快的方法

[ 本帖最後由 kpan 於 2013-4-17 09:26 PM 編輯 ]

作者: mathpigpig 時間: 2013-4-17 21:53

分享一下我的想法跟作法

圖片附件: 北一女計算3.png (2013-4-17 21:53, 17.33 KB) / 該附件被下載次數 4328
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1606&k=441a22d903e65a99853e73cc87d76728&t=1714294550

作者: GGQ 時間: 2013-4-17 22:00 標題: 回復 28# kpan 的帖子

感謝回答 , 其實我也是算出  (6+3*sqrt(6))/2
只是我的方法也是很繁瑣

我是先推出 sinC = sin [ pi-(A+B) ] = sin(A+B) = 3/5
再利用正弦定理( c/sinC=2R)    推出外接圓半徑 R = 5/2
進而推出  BC = 5sinA  及 AC = 5sinB    ( a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R )
最後我就利用三角形面積= 1/2(BC)(AC)sinC = 1/2 (5sinA)(5sinB)sinC
所以上式只要能解決 sinA*sinB  即可  (因為已得 sinC = 3/5)

而 sinA*sinB  =  1/2 [ cos(A-B) - cos(A+B) ]
又  因為  sin(A+B)= 3/5 => cos(A+B)= -4/5
               sin(A-B)=1/5 => cos(A-B)=  2*sqrt(6)/5

故 sinA*sinB 也就解決了
所以,我發現這一題真的好煩瑣喔,想看看各位大大是否也有較快方法

作者: 老王 時間: 2013-4-17 23:07 標題: 回復 30# GGQ 的帖子

參考看看吧，不解釋，看圖

圖片附件: 102北一女計算.jpg (2013-4-17 23:07, 7.41 KB) / 該附件被下載次數 4371
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1608&k=2a72561cd49ab3b9b107b99af05f5165&t=1714294550

作者: mathpigpig 時間: 2013-4-18 18:08

計算第五題，當時方程式算出來有猜是雙曲線，後來用gsp畫一畫覺得有點像
請問大家算的也是嗎？還是我誤會了呢？
謝謝

作者: tsusy 時間: 2013-4-18 18:40 標題: 回復 32# mathpigpig 的帖子

這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，

個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分

倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能

計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：

令 \( A(a,0) , B(0,b) \)，其中 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，則有 \( P \) 之坐標可為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \) 或 \( (a-\frac{b}{2},\frac{b}{2}-a) \)。

1. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}+b,\frac{b}{2}+a) \)，可得 \( b=\frac{4x-2y}{3} \), \( a=\frac{4y-2x}{3} \)。

\( (\frac{4x-2y}{3})^{2}+(\frac{4y-2x}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}-32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。

注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的1-1 onto 映射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。

2. 若 \( P \) 之坐標為 \( (x,y)=(\frac{a}{2}-b,\frac{b}{2}-a) \)，可得 \( b=-\frac{4x+2y}{3} \), \( a=-\frac{2x+4y}{3} \)。

\( (-\frac{2x+4y}{3})^{2}+(-\frac{4x+2y}{3})^{2}=1 \Rightarrow20x^{2}+32xy+20y^{2}=9 \)，由判別式 \( 16^{2}-20^{2}<0 \)，知為一橢圓。

注意 \( (a,b)\mapsto(x,y) \) 為 \( \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \) 的對射。故以橢圓上的任一點 \( (x,y) \)，皆可逆推找到 \( A(a,0) \), \( B(0,b) \) 滿足 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，使得 \( P \) 之坐標為 \( (x,y) \)。

綜合以上，軌跡為 \( \{(x,y)\mid 20x^{2}\pm32xy+20y^{2}=9\} \)，其圖形為兩橢圓。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-18 07:22 PM 編輯 ]

作者: arend 時間: 2013-4-20 18:27

引用:

原帖由 tsusy 於 2013-4-18 06:40 PM 發表
這裡，不難估計出 P 是有界，離原點不會太遠，

個人的看法是：有界的圖形不會是雙曲線那樣的圖形，除非它剛好是一部分

倒是如橢圓和圓，這類封閉有界的二次曲線，才有可能

計算如下，如有錯誤或疏漏，還請指正：

令 \( A(a,0) , \)...

請教一下
P點座標是怎麼來的?
想好久, 不好意思,打擾一下

作者: Joy091 時間: 2013-4-20 20:11 標題: 回復 34# arend 的帖子

P在第一象限的case:

若ABCD的外接正方形為OMNW，O為原點，
且B在OM上，C在MN上，D在NW上，A在WO上,

則三角形AOB, BMC, CND, DWA 皆為兩股a 與 b, 斜邊1的直角三角形

因而 M(0,a+b), N(a+b,a+b), W(a+b,0),
C(b,a+b), D(a+b,a)

而 P 為CD中點 ((a+2b)/2,(2a+b)/2)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-4-20 09:14 PM 編輯 ]

附件: 軌跡圖 (兩橢圓).pdf (2013-4-20 21:03, 138.61 KB) / 該附件被下載次數 7044
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1611&k=ba1276a8f77dc2d7cf45743c71a7bfe8&t=1714294550

作者: arend 時間: 2013-4-21 00:18

引用:

原帖由 Joy091 於 2013-4-20 08:11 PM 發表
P在第一象限的case:

若ABCD的外接正方形為OMNW，O為原點，
且B在OM上，C在MN上，D在NW上，A在WO上,

則三角形AOB, BMC, CND, DWA 皆為兩股a 與 b, 斜邊1的直角三角形

因而 M(0,a+b), N(a+b,a+b), W(a+b,0),
C(b,a+b), ...

謝謝joy091老師

作者: cefepime 時間: 2016-9-22 23:58

填充題 6. 設 P(x) 為領導係數為1 的二次多項式, 若 P(x²+4x–7) = 0 有一根為 1, 且至少有一重根, 則 P(5) 的所有可能值為?

<Sol>: 解 P(x²+4x–7) = 0 的方法: 1. 先解出 x²+4x–7 = t ;  2. 再解出 x

故 P(x²+4x–7) = 0 有重根 ⇔ P(x) 有重根或  x²+4x–7 = t 有重根

(i) P(x) 有重根，又 P(-2) = 0  ⇒ P(x) = (x+2)² ⇒ P(5) = 49

(ii) x²+4x–7 = t 有重根 ⇒ t = -11 ⇒ P(-11) = 0，又 P(-2) = 0  ⇒ P(x) = (x+11)(x+2) ⇒ P(5) = 112

作者: cefepime 時間: 2016-9-23 23:58

計算5. 有 5 個黑棋和 5 個白棋，排成一列，則有連續出現三顆依序為 "黑白黑" 的機率為？

解:

分母: C(10,5) = 252

分子: 利用取捨原理 = C(4,1)*H(5,4) - C(4,2)*H(4,3) + C(4,3)*H(3,2) - C(4,4)*H(2,1) = 182

所求 = 182 / 252 = 13/18

[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-24 02:43 AM 編輯 ]

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