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標題: 101屏東女中 [打印本頁]

作者: Ellipse 時間: 2012-6-3 16:59 標題: 101屏東女中

有朋友問~

已知a為銳角,若sin(a-Pi/6)=4/5,求sina=?
(請用六種不同高中數學方法解此題)

法1:
sin(a)=sin(a-Pi/6+Pi/6)=sin(a-Pi/6)*cos(Pi/6)+cos(a-Pi/6)*sin(Pi/6)
=(4/5)*(3^0.5/2)+(3/5)*(1/2) =(4*3^0.5+3)/10

法2:
利用反三角函數來做

其它四種方法請大家集思廣義一下,感謝~

101.6.4版主補充
學校已經公布試題

101.6.18版主補充
一、本校101學年度第1學期教師甄選簡章暨100學年度教師評審委員會第7次會議決議辦理。
二、最低入選標準：
〈一〉各科筆試成績入選參加複試最低分數：國文科50分；數學科47分；化學科76分；公民與社會科51分；音樂科61分；代理生物科60分。
〈二〉各科總成績錄取最低分數：國文科正取79分、備取73.35分；數學科正取78.63分、備取74.95分；化學科83.80分、備取81.30分；公民與社會科正取75.23分備取74.28分；音樂科正取83.33分、備取75.68分；代理生物科正取84.52分備取74.20分。
三、各科錄取人員名單，請點閱附檔資料。
四、錄取人員應於101年6月22日（星期五）以前確認應聘。如係政府機關或公私立機關學校現職人員，於報到時應同時檢附原服務機關學校離職證明書或同意書，否則視同放棄，不予聘任。

初試最低錄取分數47分

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1197&k=a5c970e85adb91cffac14409dadc9565&t=1714323685

作者: tsusy 時間: 2012-6-3 17:31 標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

打個插... \( a \) 是銳角的話，本題應是無解

\(\displaystyle 0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} < a-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{6}\) , 因此 \(\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin (a-\frac{\pi}{3}) < \frac12\)

作者: Ellipse 時間: 2012-6-3 22:23

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-6-3 05:31 PM 發表
打個插... \( a \) 是銳角的話，本題應是無解

\( 0 < a < \frac{\pi}{2} \Rightarrow -\frac{\pi}{3} < a-\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{6}\) , 因此 \( -\frac{\sqrt{3}}{2} < \sin (a-\frac{\pi}{3}) < \frac12\) ...

可能記錯數據了
我改一下數據

作者: weiye 時間: 2012-6-3 23:09 標題: 回復 1# Ellipse 的帖子

法3. 畫圖，兩個直角三角形疊起來，然後利用相似形找最上面的點到最下面的邊的垂直距離。

　　

法4. 用旋轉矩陣來旋轉（由 \((1,0)\) 先旋轉 \(a-\frac{\pi}{6}\)，再旋轉 \(\frac{\pi}{6}\) ），然後找 \(y\) 坐標。

法5. 用複數乘法將 \(1+0i\) 來做兩次不同角度的旋轉，然後找虛部。

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作者: 阿光 時間: 2012-6-5 09:51

想請教填充第2和第13題,謝謝

2.
設兩圓以\( O \)點及\( A \)點為圓心，且\( A \)點在另一圓之圓周上，兩圓相交於\( B、C \)兩點；設\( F \)點在以\( O \)為圓心之圓上，\( \overline{AF} \)與\( \overline{BC} \)相交於\( E \)點。已知\( \overline{AE}=1 \)，\( \overline{EF}=3 \)，求\( \overline{AB} \)。

13.
已知函數\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}ax^2+bx \)在區間\( [-1,) \)，\( (1,3] \)內各有一點極值，求\( a^2-4b \)的最大值。

作者: 八神庵 時間: 2012-6-5 10:31

應考人數不到100
雖然機會很渺茫
還是看看有沒有人知道計算題的內容

作者: weiye 時間: 2012-6-5 19:38 標題: 回復 5# 阿光的帖子

thepaino 老師解了： http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=7716

作者: zeratulok 時間: 2012-6-11 23:12 標題: 不好意思請問一下

請教有哪位老師可以幫解答第14題嗎?
感謝...

14.
設函數\( f(x) \)滿足：\( \displaystyle af(x)+bf(\frac{1}{x})=\frac{c}{x} \)(其中\( a,b,c \)均為常數，且\( |a| \ne |b| \))，則\( f'(x)= \)？

作者: weiye 時間: 2012-6-11 23:25 標題: 回復 8# zeratulok 的帖子

第 14 題略述：將 \(x\) 以 \(1/x\) 帶入原方程式，搭配題目給的方程式，解聯立方程式，

解出 \(\displaystyle f(x)=\frac{bcx^2-ac}{(b^2-a^2)x}\)，可得 \(\displaystyle f\,'(x)=\frac{bcx^2+ac}{(b^2-a^2)x^2}\)

作者: zeratulok 時間: 2012-6-12 09:40 標題: 回復 9# weiye 的帖子

感謝瑋岳老師，作法跟您的一樣，不過我卡在最後的計算…
自己都覺得很無言…

作者: WAYNE10000 時間: 2012-6-12 19:15 標題: 想請教第10題

有3個變數沒有頭緒
敬請賜教謝謝

10.
若\( P、A、B \)分別為橢圓\( \Gamma \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)、圓\( C_1 \)：\( (x-3)^2+y^2=1 \)、圓\( C_2 \)：\( (x+3)^2+y^2=2 \)上的任一點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為何？

作者: tsusy 時間: 2012-6-12 19:25 標題: 回復 11# WAYNE10000 的帖子

填充 10. 提示：在於兩個圓心剛好是橢圓的焦點

所以要巧妙的利用橢圓的定義及三角不等式即可

作者: matric0830 時間: 2012-6-13 09:43 標題: 請問第12題

我看了之後有個問題請問：\( a=-cos x+\sqrt{1-cos x} \)可推出\( 1\le a \le 1+\sqrt{2} \) 這是如何算出來的？？？
我用我的方式算～算出\( \displaystyle -\frac{5}{4} \le a \le 1-sqrt{2} \) ，可以請各位幫我看看！我哪裡出了問題嗎？

\( sin^2 x-(2a+1)cosx-a^2=0 \)
\( 1-cos^2 x-(2a+1)cosx-a^2=0 \)
\( cos^2 x+(2a+1)cos x+(a^2-1)=0 \)

令\( t=cos x \)，\( t^2+(2a+1)t+(a^2-1)=0 \)，\( t \in R \)，\( -1\le t \le 1 \)
1.
\( D\ge 0 \)，\( \displaystyle (2a+1)^2-4(a^2-1)\ge 0 \Rightarrow a\ge -\frac{5}{4} \)
2.
令\( f(t)=t^2+(2a+1)t+(a^2-1) \)

(1)\( f(1)\ge 0 \Rightarrow a^2+2a+1 \ge 0 \Rightarrow a \in R \)
(2)\( f(-1)\ge 0 \Rightarrow a^2-2a-1 \ge 0 \Rightarrow a\ge 1+\sqrt{2} \)或\( a \le 1-\sqrt{2} \)
(3)\( \displaystyle -1<\frac{-2a-1}{2}<1 \Rightarrow -\frac{3}{2}\le a \le \frac{1}{2} \)

故\( \displaystyle -\frac{5}{4}<a \le 1-\sqrt{2} \)

圖片附件: 101屏東女中第12題圖1.gif (2014-12-14 06:20, 3.12 KB) / 該附件被下載次數 5715
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https://math.pro/db/attachment.php?aid=2630&k=4400e19cd1bcf9eb81614c34e963216c&t=1714323685

作者: march2001kimo 時間: 2012-6-15 16:33 標題: 請教第8題

煩請高手解惑

8.
設\( a>0 \)，\( O(0,0) \)為原點。在拋物線\( ay=a^2-x^2 \)上取一點\( P(s,t) \)，\( s>0 \)。過\( P \)點作拋物線之切線交\( x \)軸，\( y \)軸於\( Q、R \)兩點。當\( P \)點變動時，求\( \Delta OQR \)面積的最小值。

作者: shiauy 時間: 2012-6-15 16:51

引用:

原帖由 march2001kimo 於 2012-6-15 04:33 PM 發表
煩請高手解惑

\({x^2} =  - a(y - a)\)
令\(P(at,a - a{t^2})\)
\( \displaystyle y' =  - \frac{2}{a}x\)，故過P點之切線斜率為\( - 2t\)
此切線方程式為\( \displaystyle \frac{x}{{\displaystyle \frac{{a + a{t^2}}}{{2t}}}} + \frac{y}{{a + a{t^2}}} = 1\)
\( \displaystyle \Delta  = \frac{1}{2}\frac{{a + a{t^2}}}{{2t}}(a + a{t^2}) = \frac{1}{4}\frac{{{{(a + a{t^2})}^2}}}{t}\)
\( \displaystyle \Delta ' = \frac{1}{4}\frac{{2(a + a{t^2}) \cdot 2at \cdot t - (a + a{t^2})2}}{{{t^2}}} = 0\)
解得\( \displaystyle t = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)代入
\( \displaystyle \Delta  = \frac{1}{4}\sqrt 3  \cdot {a^2}{(1 + \frac{1}{3})^2} = \frac{{4\sqrt 3 }}{9}{a^2}\)

作者: poemghost 時間: 2013-2-24 14:36

引用:

原帖由 matric0830 於 2012-6-13 09:43 AM 發表
我看了之後有個問題請問：a=-cosx+squr(1-cosx)可推出1

情形有很多，題目只說有解，不代表一定有兩個解，也有可能只有一解

作者: 阿吉 時間: 2013-5-12 02:31

#2
⊿ACF≈⊿AEC [AB=AC=小圓半徑 => AB弧=AC弧 =>∠AFC=∠BCA]

=> AC/AF = AE/AC

=> AB/ 4 = 1/AB

=> AB=2

新手第一次使用
請多指教, 謝謝!!

作者: frombemask 時間: 2014-4-25 20:02

請問第12題為何知道要檢查 f(1)和f(-1)這兩個位置呢?

作者: thepiano 時間: 2014-4-25 21:10

第 12 題
原方程整理成 a^2 + (2cosx)a + [(cosx)^2 + cosx - 1] = 0
a = -cosx ± √(1 - cosx)
令 t = sin(x/2)
a = 2t^2 - 1 ± (√2)t = 2(t ± √2/4)^2 - 5/4
-5/4 ≦ a ≦ 1 + √2

作者: satsuki931000 時間: 2022-1-2 14:55

12.補充一個拙見
\(\displaystyle f(x)=-x \pm \sqrt{1-x}\)

case 1. if \(\displaystyle f(x)=-x + \sqrt{1-x} , -1\leq x\leq 1\)
微分畫圖可知圖形嚴格遞減最大值在\(\displaystyle (-1,1+\sqrt{2})\)，最小值在\(\displaystyle (1,-1)\)

case 2. if \(\displaystyle f(x)=-x + \sqrt{1-x} , -1\leq x\leq 1\)
畫圖可以知道
端點為\(\displaystyle (1,-1),(-1,1-\sqrt{2})\)，最小值為\(\displaystyle (\frac{3}{4},-\frac{5}{4})\)

兩者取聯集，可得\(\displaystyle -\frac{5}{4}\leq a \leq 1+\sqrt{2}\)

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