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標題: 101中壢高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2012-5-28 15:45 標題: 101中壢高中

題目在附件

附件: 101中壢高中.rar (2012-5-28 15:45, 1.13 MB) / 該附件被下載次數 14800
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作者: dtc5527 時間: 2012-5-28 17:48 標題: 請教填充第7題

是否利用旋轉來解?
謝謝

作者: sanghuan 時間: 2012-5-28 20:27

回樓上
圖很簡陋  希望看得懂
觀察一下  P'DP"  會成一直線

最後是三個直角三角形  算面積第三個直角在角P'PP"
圖有點歪　　還請大家見諒...

[ 本帖最後由 sanghuan 於 2012-5-28 08:41 PM 編輯 ]

圖片附件: 101壢中7.jpg (2012-5-28 20:27, 49.33 KB) / 該附件被下載次數 10700
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作者: shiauy 時間: 2012-5-28 20:56 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

將三角形PBC以B為中心旋轉90度後，PABP'四點共圓，用托勒密就可以算出邊長

作者: rudin 時間: 2012-5-28 22:11 標題: 請問填充9、10題

作者: tsusy 時間: 2012-5-28 23:01 標題: 回復 5# rudin 的帖子

填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法

坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了

內積和除以 \( n \) 列式得 \( \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)

可以認填算以下求和公式，懶得算的話，就當作 \( k^2 \) 積分跑出 \( \frac13 \)

所以答案就是 \( \frac{c^2}{3} \)

作者: natureling 時間: 2012-5-28 23:48 標題: 想請教填充第5和第8和第10；計算第1，第3

(1)不知第5如何思考(2)還有第8...不知自己哪兒算錯了@@..請求幫助
sinA+sinC=2sin(A+C/2)cos(A-C/2)
=2sin[ (pi-B) /2  ]cos(pi/6)
=\sqrt{3} cos(B/2)
又sinA+sinC=2sinB
左右平方
4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos^2(B) )/2 ]
               =3/2+3/2*(1-sin^2(B))=3-3/2*sin^2(B)
則
         11/2*sin^2(B)=3
         11*sin^2(B)=6
            sin(B)=\sqrt{11/6}
(3)第10也不知如何思考
計算一：要如何下筆...總覺得是用畫圖的..但湊不出@@

[ 本帖最後由 natureling 於 2012-5-29 12:19 AM 編輯 ]

作者: Ellipse 時間: 2012-5-29 00:26

引用:

原帖由 natureling 於 2012-5-28 11:48 PM 發表

後面有一段錯了:4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos^2(B) )/2 ]
應改成 4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos(B) )/2 ]

作者: natureling 時間: 2012-5-29 00:29

對~感謝感謝....

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-29 12:26 AM 發表

後面有一段錯了:4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos^2(B) )/2 ]
應改成 4*sin^2 (B)=3*cos^2(B/2)=3*[ ( 1+cos(B) )/2 ]

作者: Ellipse 時間: 2012-5-29 00:49

引用:

原帖由 natureling 於 2012-5-28 11:48 PM 發表

計算1
大概講一下
假設向量PQ=向量a,向量PR=向量b,向量PS=向量c
依題意可知向量SQ=向量u,向量SR=向量v
在四邊形PQRS中,角QPR=120度,角QSR=60度
可知PQSR四點共圓
而當PS=|向量c|=此圓直徑時(即角PRS=PQS=90度)
|向量c|有最大值=1*2=2

註:紅色原有筆誤,感謝thepiano老師指正~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-30 12:51 AM 編輯 ]

作者: zeratulok 時間: 2012-5-29 07:52

引用:

原帖由 natureling 於 2012-5-28 11:48 PM 發表
(1)不知第5如何思考

第5可以用轉換的！
把[sin(2t-45),cos(2t-45)]轉換成[cos(135-2t),sin(135-2t)]
然後就可以算出他的範圍就在單位圓上的75～105度
接下來就看附圖應該就會了！
粗線就是p的移動軌跡（其實是沒有畫好....）

圖片附件: IMG_3247.JPG (2012-5-29 08:09, 337.55 KB) / 該附件被下載次數 7006
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作者: lianger 時間: 2012-5-29 08:51 標題: 回復 11# zeratulok 的帖子

其實所求面積會直接等於扇形OBC面積，因為三角形ABC面積等於三角形OBC面積。

作者: wdemhueebhee 時間: 2012-5-29 11:00 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

我不會打數學式也，我是令邊長為x，角CBP為角a，則角PBA為90-a，分別用餘弦，再用sin^2(a)+cos^2(a)=1, 解出x^2

作者: 阿光 時間: 2012-5-29 11:07

想請填充第2,10題,謝謝

作者: rudin 時間: 2012-5-29 12:31

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-29 12:49 AM 發表

計算1
大概講一下
假設向量PQ=向量a,向量PR=向量b,向量PS=向量c
依題意可知向量SQ=向量u,向量SR=向量v
在四邊形PQRS中,角QPR=120度,角QSR=60度
可知PQRS四點共圓
而當PS=|向量c|=此圓直徑時(即角PRS=PQS=90度)
|向 ...

上面的方法好像沒有舉完全部的情形…

作者: zeratulok 時間: 2012-5-29 13:21 標題: 填充第2

引用:

原帖由阿光於 2012-5-29 11:07 AM 發表
想請填充第2,10題,謝謝

如附圖

圖片附件: IMG_3249_調整大小.JPG (2012-5-29 14:44, 187.96 KB) / 該附件被下載次數 6748
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作者: tsusy 時間: 2012-5-29 16:09 標題: 回復 7# natureling 的帖子

填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...

各位看看，或許是小弟做錯了

聯立 \( y=kx^{2} \), \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2} \) 得 \( x(k^{2}x^{3}+(1-2kb)x-2a)=0 \)

實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為四實根，且其一為二重根

令該重根為 \( -\alpha \)，根與係數可得剩下一根為 \( 2 \alpha \)

乘開以此四根為根的多項式 \( k^{2}x(x+\alpha)^{2}(x-2\alpha)=k^{2}x(x^{3}-3\alpha^{2}x-2\alpha^{3}) \)

比較係數得 \( 1-2kb=-3\alpha^{2}k^2, a=\alpha^{3}k^2 \)

兩交點坐標 \( (-\alpha, k\alpha^2) \), \( (2\alpha, 4k\alpha^2) \)，其連線斜率亦為 \( k \)

因此 \( k=\frac{4k\alpha^{2}-k\alpha^{2}}{2\alpha-(-\alpha)}=k\alpha\Rightarrow\alpha=1 \) 代回比較係數之結果得 \(a=k^2\) 且 \(1-2kb=-3k^2\)。

故兩交點為 \( (-1,k),\,(2,4k) \)，又兩交點連線過 \( (0,b) \) 且斜率為 \( k \)，因此 \( \Rightarrow b=2k \Rightarrow 1-4k^{2}=-3k^2 \Rightarrow k=1, b=2, a=1\)

這根本是一場騙局麻...重頭到尾 \( b \) 只有一個值而已，一直被求最小值騙了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 04:25 PM 編輯 ]

作者: 阿光 時間: 2012-5-29 22:02

想再請教計算第2題,謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-5-29 22:50 標題: 回復 18# 阿光的帖子

計算 2.
\( \sqrt{2012}\approx44.8 \)，若 \( k\leq44 \), 由除法原理得 \( 2012=k\cdot m+r \), 則 \( 0<r<k\leq m \)

因此 \( \frac{2012}{m}=k+\frac{r}{m}\Rightarrow\left[\frac{2012}{m}\right]=k\Rightarrow k=1,2,3,\ldots,44 \) 皆有解。

以上注意只要 \( r < m \) ，則 \( \left[\frac{2012}{m}\right]=k \) (\( k \) 正整數皆可)

\( 2012\div45=44\ldots32, 2012\div46=43\ldots34 \)

\( 2012\div47=42\ldots38, 2012\div48=41\ldots44 \)。

\( \frac{2012}{41}=49+\frac{3}{44}, \frac{2012}{42}=47+\frac{38}{42} \)，又由單調性，得 \( k=48 \) 原方程無解。

又 \( k=1..47 \) 以上已驗有解，因此 \( k=48 \) 為最小正整數使之無解。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-29 10:53 PM 編輯 ]

作者: billiechick 時間: 2012-5-29 23:18 標題: 想請教填充一跟三

謝謝!!!!!!!

作者: tsusy 時間: 2012-5-29 23:52 標題: 回復 20# billiechick 的帖子

填充 1. 線性變換的重點在於線性

所以只要 \( (1,0),  (0,1) \)  對應後在  \( y= 2x \) 上

其實就全部的 \( R^2 \) 對過去都在 \( y = 2x \) 上了

而 \( (1,0), (0,1) \)  分別對應到 \( (a,c), (b,d) \) 在直線上

所以 \( c=2a,  d=2b \), 所求等於 \( 2 + \frac12 = \frac52 \)

從頭到尾，那個圓就是個幌子而已

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 00:16

引用:

原帖由 billiechick 於 2012-5-29 11:18 PM 發表
謝謝!!!!!!!

填充第三題:
好想利用板橋高中今年的考題XD
此正三角形的垂心亦在xy=1上，可計算出垂心座標H(1,1)
因為垂心即重心，所以由PH的長度可推算出三角形的邊長，面積即可求

或是參考 weiye 站長板橋高中 101 的那篇解法也非常的漂亮。

[ 本帖最後由 hua0127 於 2012-5-30 12:18 AM 編輯 ]

作者: brace 時間: 2012-5-30 00:36 標題: 請問一下計算題第3題如何解

請問一下計算題第3題如何解

作者: Ellipse 時間: 2012-5-30 00:52

引用:

原帖由 rudin 於 2012-5-29 12:31 PM 發表
上面的方法好像沒有舉完全部的情形…

剛剛與thepiano老師討論過了
這個方法應該沒有問題~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2012-5-30 12:54 AM 編輯 ]

作者: arend 時間: 2012-5-30 01:35

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-29 11:52 PM 發表
填充 1. 線性變換的重點在於線性

所以只要 \( (1,0), (0,1) \) 對應後在 \( y= 2x \) 上

其實就全部的 \( R^2 \) 對過去都在 \( y = 2x \) 上了

請教tsusy老師

你上面所述是否是
若i=(1,0) 與j=(0,1) 兩基底若經過M做線性變換
其餘任意點pi+qj經過M做線性變換也會是同一結果??

打擾一下

謝謝

作者: arend 時間: 2012-5-30 01:39

引用:

原帖由 shiauy 於 2012-5-28 08:56 PM 發表
將三角形PBC以B為中心旋轉90度後，PABP'四點共圓，用托勒密就可以算出邊長

請教shiauy老師

怎麼看出PABP'四點共圓

若用托勒密定理,怎算出AP'長度

謝謝

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 09:00 標題: 回復 25# arend 的帖子

是的，因為是線性的，或者說是符合分配律(及係數積) 再加上 \( y=2x \) 在 \( R^2 \) 構成一個子空間

所以如果基底映射過去在 \( y=2x \) 上，整個 \( R^2 \) 映射過去就都會在 \( y=2x \) 上

作者: matric0830 時間: 2012-5-30 11:13

請問填充第4題：我舉f(x)=2exp（x) 都合題意阿！
可是這樣算出來的答案是1，
請問我哪裡想錯了！

作者: hua0127 時間: 2012-5-30 11:31

引用:

原帖由 matric0830 於 2012-5-30 11:13 AM 發表
請問填充第4題：我舉f(x)=2exp（x) 都合題意阿！
可是這樣算出來的答案是1，
請問我哪裡想錯了！

這個函數的 f(x+y)=2exp(x+y) , 但2f(x)*f(y)=2(2exp(x))(2exp(y))=8exp(x+y)

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 14:45 標題: 回復 26# arend 的帖子

填充 7. 承 shiauy 所說，旋轉 90 度，所以 \( \angle P'BP = 90^\circ \)

計算得 \( \overline{P'P} = 5\sqrt{2} \), 再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)

因此四邊形 \( P'APB \) 對角互補，為圓內接四邊形

由托勒密定理得 \( \overline{AB}\cdot \overline{P'A} = \overline{PA}\cdot \overline{BP'} + \overline{AP'}\cdot \overline{PB} \)

代入數字可得邊長 \( = 4\sqrt{2} \) 得面積 \( 32 \)

作者: casanova 時間: 2012-5-30 15:28

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-29 12:49 AM 發表

計算1
大概講一下
假設向量PQ=向量a,向量PR=向量b,向量PS=向量c
依題意可知向量SQ=向量u,向量SR=向量v
在四邊形PQRS中,角QPR=120度,角QSR=60度
可知PQSR四點共圓
而當PS=|向量c|=此圓直徑時(即角PRS=PQS=90度)
|向 ...

請問PQRS這四個點一定會構成四邊形嗎？

作者: billiechick 時間: 2012-5-30 16:10 標題: 回復 22# hua0127 的帖子

謝謝你,我覺得這題應該是希望直接應用結果,不然怎會放填充題且直接是問正三角形的面積,考前實在應該看一下板中考了什麼,哀!

作者: sanghuan 時間: 2012-5-30 16:33

引用:

原帖由 casanova 於 2012-5-30 03:28 PM 發表

請問PQRS這四個點一定會構成四邊形嗎？

或許要再加上這個情況?

已知角QPR=120度角QSR=60度

若作一圓過QRS 則P必為圓心所以這種情況下 |c|=|PS|=1<2

[ 本帖最後由 sanghuan 於 2012-5-30 04:41 PM 編輯 ]

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作者: dtc5527 時間: 2012-5-30 16:46 標題: 回復 19# tsusy 的帖子

請問這題型是不是哪一家有出過,因為感覺有看過.但忘了

作者: tsusy 時間: 2012-5-30 17:26 標題: 回復 24# Ellipse 的帖子

和 # 33 重覆了，沒注意到，以下可以跳過了

計算 1. Rudin 大師是對的

如果把橢圓兄的 \( S \) 對 \( \overleftrightarrow{QR} \) 作對稱的話，角度仍然是 \( 60^\circ \)，此時四點不共圓

其實所以滿足 \( 60^\circ \) 的點夠成的圖是 \(QSR \) 優弧和 \( QS'R \) 優弧

不過 \( QS'R \) 弧的圓心恰好就是 \( P \) 因此如果 \( S' \) 所代表的 \( |\vec{c}| =1 \)

不影響最大值

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-30 10:59 PM 編輯 ]

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作者: arend 時間: 2012-5-30 17:40

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-30 02:45 PM 發表
填充 7. 承 shiauy 所說，旋轉 90 度，所以 \( \angle P'BP = 90^\circ \)

計算得 \( \overline{P'P} = 5\sqrt{2} \), 再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)

因此四邊形 \( P'APB \) 對角互補，為圓內接四邊形 ...

tsusy老師你好

在下資質遲鈍
你所述 ~~再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)
這邊我還是看不懂

所謂'畢氏逆定理"我沒有學過

我有用geogebra畫過圖,還是看不出來

不過還是謝謝你
我再想想

作者: Ellipse 時間: 2012-5-30 18:39

引用:

原帖由 sanghuan 於 2012-5-30 04:33 PM 發表

或許要再加上這個情況?

已知角QPR=120度角QSR=60度

若作一圓過QRS 則P必為圓心所以這種情況下 |c|=|PS|=1

感謝指正,一個人想,偶而還是會有沒注意到的地方
透過大家討論,可以將解題內容變得更完美
所以才會將自己的想法po在上面
我是不怕解錯答案,
只怕自己觀念不對
而自己還不知道~

作者: matric0830 時間: 2012-5-30 19:25 標題: 回復 29# hua0127 的帖子

謝謝，我知道了：）

作者: sanghuan 時間: 2012-5-30 19:34 標題: 回復 37# Ellipse 的帖子

大家一起討論感覺超好
總好過一個人在那空想

橢圓老師對計算1的切入點真的很棒
我還沒想到呢

作者: rudin 時間: 2012-5-30 20:09

引用:

原帖由 Ellipse 於 2012-5-30 06:39 PM 發表

感謝指正,一個人想,偶而還是會有沒注意到的地方
透過大家討論,可以將解題內容變得更完美
所以才會將自己的想法po在上面
我是不怕解錯答案,
只怕自己觀念不對
而自己還不知道~ ...

謝謝你的解題，你常常深夜都還在線上，有這個板讓全國教師了解更多數學問題，大家一起進步！

作者: hua0127 時間: 2012-5-31 08:53

引用:

原帖由 arend 於 2012-5-30 05:40 PM 發表

tsusy老師你好

在下資質遲鈍
你所述 ~~再由畢氏逆定理得 \( \angle P'AP = 90^\circ \)
這邊我還是看不懂

所謂'畢氏逆定理"我沒有學過

我有用geogebra畫過圖,還是看不出來

不過還是謝謝你
我再想想 ...

tsusy 兄所講的畢氏逆定理
就是滿足 a^2+b^2=c^2 的三角形三邊長 a,b,c 為直角三角形
(畢氏定理: 三邊長為a,b,c的直角三角形中, 其中 c為斜邊 , 則a^2+b^2+c^2, )

經過旋轉過後，可以得到 (P'A)^2+(PA)^2=(P'P)^2, 所以角 P'AP =90 度

作者: hua0127 時間: 2012-5-31 10:28

引用:

原帖由 brace 於 2012-5-30 12:36 AM 發表
請問一下計算題第3題如何解

thepiano 老師已經有解了，

大概就是算出一個高為4, 三邊長為6,8,10的三角柱

加上三個半徑為2, 高分別為6,8,10, 的半圓柱

再加上一個半徑為2的球

所求答案相加為 96+(176/3)pi

作者: hua0127 時間: 2012-5-31 17:29

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-29 04:09 PM 發表
填充 10 仔細一做，根本是騙人的題目...

各位看看，或許是小弟做錯了

聯立 \( y=kx^{2} \), \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}+b^{2} \) 得 \( x(k^{2}x^{3}+(1-2kb)x-2a)=0 \)

實係數四次方程式，已知有恰有三相異實根，必為 ...

這篇借小弟回鍋一下，今天算這一題繞了好久，都繞不出答案，一直想利用重根這件事情，卻沒有好好利用根與係數

看到 tsusy 兄的解法才恍然大悟，原來這時候的解是唯一的，真的是被騙了。

之後有重新利用根與係數關係，真的可以很輕易的把根得到，其實這個方法只是把 tsusy 兄的寫法稍微回鍋一下而已，

（之前繞來繞去的時候一直得到重複的式子囧，代數的一些觀念跟想法還有待加強）

圖片附件: 填充第10題.jpg (2012-5-31 17:29, 102.08 KB) / 該附件被下載次數 7527
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作者: 老王 時間: 2012-5-31 18:20 標題: 回復 43# hua0127 的帖子

題目並沒有說圓和拋物線要相切，
你們自己加了這個條件，得到唯一解應該是可預期的。

作者: tsusy 時間: 2012-5-31 18:43 標題: 回復 44# 老王的帖子

題目的確是沒有說相切， # 17 小弟回覆就曾說或許是小弟錯了

也許是小弟的中文不好會錯意，但也不排除題目的敘述不好

來看看原題敘述「...有異於原點的另外兩個交點，此二交點落在直線 \( y = kx+b \) 上」

前半段有另外兩個交點，當然沒有恰有另外兩個交點的意思，應該可以指二個以上
當然也有可能小弟的中文理解錯誤

但後半的此二兩字，是指定的用法。當交點數是有三個的情況，此二兩個字根本無法指定，是不通的用法

如果真的要把敘述說好不誤會，要麼加上「恰有」二字，或是改成其交點有兩點落點落在直上 \( y =kx+b \)

不過既然題目要求最小值，推測後者才是出題者的原意，也就是不應該加上相切的條件。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-5-31 08:00 PM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2012-5-31 22:14 標題: 回復 45# tsusy 的帖子

前天她問我的時候，一開始我也以為是要相切；但是又想一下，覺得不必。
後來實際去做的時候，就將直線\( y=kx+b \)代入拋物線和圓的時候，得到兩個方程式:
\(\displaystyle kx^2-kx-b=0 \)
\(\displaystyle (1+k^2)x^2-2ax-b^2=0 \)
題目的意思就只是有相同交點(異於原點)，所以上兩方程式一致，就有
\(\displaystyle b=\frac{1+k^2}{k},2a=kb \)
可以得到答案。
但是我再用相切下去，跟你一樣得到
\(\displaystyle b=\frac{1+3k^2}{2k} \)
這樣答案不一樣。
最後求助GGB，才了解多了相切這個條件的話，就只有在\( k=1 \)的時候。

至於題目的敘述，"有兩個"就是有兩個，如果只有兩個就是那兩個，如果有三個，就是其中兩個；
"此二"當然就是前一句所說的"兩個"，是指定好的。

作者: Crazystan 時間: 2012-5-31 22:28 標題: 回復 19# tsusy 的帖子

寸絲老師!!
想請問一下為什麼要從2012開根號考慮呢??
還有過程有點看不太懂...
能不能解釋一下
感謝你!!

作者: tsusy 時間: 2012-6-1 08:05 標題: 回復 47# Crazystan 的帖子

計算 2. 因為書寫順序和思考的順序不同...所以才讓您覺得從 \( \sqrt{2012} \) 寫起怪怪的吧

思考的時候，是從幾個例子開始，

如果 \( k =1 \), 取 \( n=2012 \)
如果 \( k =2 \), 取 \( n=1006 \)
如果 \( k =3 \), 取 \( n=670 \)
...
發現基本上就是去找 \( n = [\frac{2012}{k}] \)

剩下來的就是去實現這個發現，那什麼條件之下，可以保證商就是我們要的 \( n \)

其實就是餘要小於商，用 #19 中的記號就是 \( r<m \)，但我們的除法只保證 \( 0 \leq r < k \) (原先漏一個等號)

所以才借助 \( \sqrt{2012} \) 來使得 \( k\leq m \) ，如此來一來處理完 \( k=1 \) 到 44 都有解

剩下的只好一個一個慢慢驗，只是一樣借助 \( r<m \) 加快檢驗

[ 本帖最後由 tsusy 於 2012-6-1 08:54 AM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2012-6-1 08:48 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。

填充第 7 題，另解一：

如圖，將 \(\triangle PBC\) 以 \(B\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(90^\circ\)，

則 \(\triangle PQB\) 為等腰直角三角形，得 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}\)，

在 \(\triangle APQ\) 中，因為 \(\overline{PQ}^2=\overline{AP}^2+\overline{AQ}^2\)　　（　\((5\sqrt{2})^2=7^2+1^2\)　），

因此 \(\triangle QAP=90^\circ\)，\(\displaystyle\sin\angle AQP=\frac{7}{5\sqrt{2}}, \cos\angle AQP=\frac{1}{5\sqrt{2}}\)

得 \(\displaystyle\cos\angle AQB=\cos\left(\angle AQP+45^\circ\right)=\cos\angle AQP\cos 45^\circ-\sin\angle AQP\sin45^\circ=\frac{-3}{5}\)

在 \(\triangle AQB\) 中，由餘弦定理，可得 \(\overline{AB}^2=1^2+5^2-2\cdot1\cdot5\cdot\cos\angle AQB=32\)，此即為正方形 \(ABCD\) 之面積。

（註：或是學 shiauy 老師用托勒密定理也不錯，哈！）

另解二：

設正方形 \(ABCD\) 的邊長為 \(x\)，\(\angle PBC=\alpha,\angle PBA=\beta\)，

因為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) 互餘，所以 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=1\)

［說明：　\(\cos^2\alpha+\cos^2\beta=\cos^2\alpha+\cos^2\left(90^\circ-\alpha\right)=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\) 　］

在 \(\triangle PBA\) 中，由餘弦定理可得 \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\)

在 \(\triangle PBC\) 中，由餘弦定理可得 \(\displaystyle\cos\beta=\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\)

因此，

\(\displaystyle\left(\frac{5^2+x^2-7^2}{2\cdot5\cdot x}\right)+\left(\frac{5^2+x^2-1^2}{2\cdot5\cdot x}\right)=1\)

解「\(x^2\)」的一元二次方程式，即可得 \(x^2=32\)，此即為正方形 \(ABCD\) 之面積。

（註：「\(x^2\)」解出的另一根為 \(18\) ，但如此會使得 \(\cos\alpha<0\)，但顯然 \(\alpha\) 為銳角，故不合。）

註：解完才發現 wdemhueebhee 老師已經回過上面的作法了，囧rz.....

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作者: wdemhueebhee 時間: 2012-6-1 09:12

想請問填充4

作者: tsusy 時間: 2012-6-1 09:59 標題: 回復 50# wdemhueebhee 的帖子

填充 4. 兩邊同時對 \( y \) 偏微得

\( f'(x+y) = 2 f(x) f'(y) \), \( y=0 \) 代入得

\( f'(x) = 2f(x) f'(0) = 4f(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)

再來補充個類題，把原題取個 log 就很像下面的類題了

100 中壢高中1招填充 8. 設 \(f,\, g \) 為可微分函數, 且 \( f(x+2y)=f(x)+g(y) \), \( \forall x,\, y\in R \). 試問：若 \( f(0)=1 \), \( f'(0)=2 \), 求 \(g(5) \).

看到這個類題後，聯想到第一次看到這個題型時，條件其實給的比較少：微分的條件，只要求 \( f \) 在 0 處可微，但從這個條件可以推出其它地方也可以微

不過，對於填充題的作答是沒什麼影響，如果是計算題就要小心條件了

現在把條件弱化一下，改成「 \( f(x+y)=2f(x)f(y) \) 對任意實數 \(x, y\) 且 \( f(0)>0,\, f'(0)=2 \)」

也就是可微函數的條件和函數皆正被拿掉了，但我們還是可以小心地處理

令 \( x=y=0 \) 代入解得 \( f(0) = \frac12 \)

若 \( y \neq 0 \), 則 \( \frac{f(x+y)-f(x)}{y}=\frac{2f(x)f(y)-f(x)}{y}=2f(x)\cdot\frac{f(y)-\frac{1}{2}}{y} \)

取極限\( y \to 0\), 得 \( f'(x) \) 存在且 \( f'(x) = 2f(x)f'(0) \)

現在只差把 \( f(x) \) 除過去，就結束了，所以需要 \( f(x) \neq 0\)

若 \( 0 = f(x)=2(f(\frac{x}{2}))^{2} \)，也就是說 \( f(x) = 0 \Rightarrow f(\frac x2) =0 \Rightarrow f(\frac{x}{2^{n}}) = 0 \)

\( n \to \infty \) 又 0 點處連續(可微必連續) 得 \( f(0) = 0 \) 矛盾，所以 \( f(x) \neq 0 \)

所以即使把條件弱化到只有 0 處局部的訊息，還是一樣的結果 \( \frac{f'(x)}{f(x)} = 4 \)

更甚者，可以直接把 \(f\) 算出來 \( f(x) = \frac{1}{2} e^{f'(0)x} \), 其實就是解微分方程

作者: hua0127 時間: 2012-6-1 15:01

引用:

原帖由老王於 2012-5-31 10:14 PM 發表
前天她問我的時候，一開始我也以為是要相切；但是又想一下，覺得不必。
後來實際去做的時候，就將直線\( y=kx+b \)代入拋物線和圓的時候，得到兩個方程式:
\(\displaystyle kx^2-kx-b=0 \)
\(\displaystyle (1+k^2)x^2-2ax-b^2\) ...

多謝老王老師的指教，將題目的意思看清楚看來也是一個值得學習的關鍵，長知識了～

作者: dtc5527 時間: 2012-6-1 16:02 標題: 回復 49# weiye 的帖子

在現場中有考慮同時將三角形ABP及PBC逆時針旋轉90度來想ˇˇˇ並想利用餘弦定理來想

作者: arend 時間: 2012-6-1 19:29

引用:

原帖由 weiye 於 2012-6-1 08:48 AM 發表
填充第 7 題，換個方向旋轉也不錯。

填充第 7 題，另解一：

1171

如圖，將 \(\triangle PBC\) 以 \(B\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(90^\circ\)，

則 \(\triangle PQB\) 為等腰直角三角形，得 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}\)，...

謝謝瑋岳老師

這個圖我看懂了

我記得建中通訊解得有類似題

昨天有去找,可惜沒找到

謝謝你

作者: weiye 時間: 2012-6-1 20:09 標題: 回復 54# arend 的帖子

那再來一個另解好了，

填充第 7 題，

如上圖，連接 \(\overline{PD}\)，

因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)

（上面這行用一堆畢氏定理就可以證出來了～）

可得 \(\overline{PD}=5\)

因此，\(\triangle ABP\sim\triangle ADP\) 且 \(\triangle CBP\sim\triangle CDP\) 　（兩者皆用ＳＳＳ全等性質）

可得 \(A, P, C\) 三點共線，因此正方形 \(ABCD\) 的對角線 \(\overline{AC}=7+1=8\)

\(\Rightarrow\) 可得正方形 \(ABCD\) 的邊長與面積。

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作者: mandy 時間: 2012-6-1 22:20

引用:

原帖由 zeratulok 於 2012-5-29 07:52 AM 發表

第5可以用轉換的！
把[sin(2t-45),cos(2t-45)]轉換成[cos(135-2t),sin(135-2t)]
然後就可以算出他的範圍就在單位圓上的75～105度
接下來就看附圖應該就會了！
粗線就是p的移動軌跡（其實是沒有畫好....） ...

請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]　　
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)]

[ 本帖最後由 mandy 於 2012-6-1 10:24 PM 編輯 ]

作者: weiye 時間: 2012-6-1 23:07

引用:

原帖由 mandy 於 2012-6-1 10:20 PM 發表
請問為什麼不可直接算[sin(2t-45),cos(2t-45)]　　
當ｔ=１５度,可得[sin(-１５度),cos(-１５度)]
當ｔ=３０度,可得[sin(１５度),cos(１５度)]

可以呀，畫出來還會是跟 #11 zeratulok 的圖一樣呀，

點 \((\cos\theta,\sin\theta)\) 是位在單位圓上，從正向 \(x\) 軸開始逆時針旋轉 \(\theta\) 角，如下～

而點 \((\sin\theta,\cos\theta)\) 是位在單位圓上，從正向 \(y\) 軸開始順時針旋轉 \(\theta\) 角而已，如下～

所以，[sin(-１５度),cos(-１５度)]～角度增加到～[sin(１５度),cos(１５度)]的點移動軌跡如下，

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圖片附件: qq2.png (2012-6-1 23:18, 15.27 KB) / 該附件被下載次數 10554
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1179&k=7c4f26a0aaf965e84526dc11555a7470&t=1732550080

圖片附件: qq3.png (2012-6-1 23:25, 13.21 KB) / 該附件被下載次數 10140
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1180&k=bcccb3e13ad3f1647aa4c4369dbfc2c2&t=1732550080

作者: mandy 時間: 2012-6-2 14:35

引用:

原帖由 tsusy 於 2012-5-28 11:01 PM 發表
填充 9. 小弟來個暴力解，應該有其它比較優的方法

坐標化 \( C(0,0),\, A(0,a),\, B(0,b) \), 向量全寫下了

內積和除以 \( n \) 列式得 \( \frac1n \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{k(k-1)}{n^{2}}(a^{2}+b^{2}) \)

可 ...

ＡＢＣ是直角三角形,Ｂ座標是不是(ｂ,０),若用(ｂ,０)做,　內積和的列式裡係數就會有ｎ　?

作者: anyway13 時間: 2017-1-27 23:57 標題: 請教第六題

請問版上的老師第六題該怎麼做啊?

祝各位老師新年快樂!

作者: weiye 時間: 2017-1-28 00:56 標題: 回復 59# anyway13 的帖子

填充題第 6 題：

法一：用排容原理，

\(8!-\left(C^3_2\times7!\times2-6!\times3!\right)-7!\times2-7!\times2\)

　\(+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+\left(C^3_2\times6!\times2\times2-5!\times3!\times2\right)+6!\times2\times2\)

　\(-\left(C^3_2\times5!\times2\times2\times2-4!\times3!\times2\times2\right)\)

　\(=9216\)

任排－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）－丁戊相鄰－己庚相鄰

　＋甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰＋甲乙丙至少有兩人相臨（三人同時相鄰有多扣要回補）且己庚相鄰

　＋丁戊相鄰且己庚相鄰

　－甲乙丙至少有兩人相鄰（三人同時相鄰有多扣要回補）且丁戊相鄰且己庚相鄰

法二：先分類之後列出 "丁戊己庚辛" 的排列方法，

　　　分類方式是按照丁戊、幾庚這兩組分成

　　　"1. 兩組都相鄰（\(3!\times2\times2=24\)） 2. 兩組恰一組相鄰（\(C^2_1\times\left(4!\times2-24\right)=48\)） 3. 兩組都沒有相鄰（\(5!-24-48=48\)）"，

　　　然後再讓甲乙丙插空隙。

　　　\(24\times\left(3\times2\right)\times4+48\times3\times\left(5\times4\right)+48\times\left(6\times5\times4\right)=9216\)

類題：https://math.pro/db/thread-1610-1-1.html

作者: anyway13 時間: 2017-1-28 11:03 標題: 回復 60# weiye 的帖子

謝謝 weiye老師解惑!

作者: anyway13 時間: 2017-1-28 12:02 標題: 回復 60# weiye 的帖子

weiye 老師好!

想再追問一下,第六題您給的第二個解法上

24x(3x2)x4+48x3x(5x4)+48x(6x5x4)=9216

可以解釋一下這是讓分類方式依照甲乙丙任二不相鄰,丁戊不相鄰,己庚不相鄰的正面做法嗎?

看不太明白說!可以在講解一下嗎?

這實在太厲害了!

我只把排容原理的方法弄懂! 謝謝

作者: weiye 時間: 2017-1-28 15:29

先不考慮甲乙丙，

先排剩下的五的人，丁戊己庚辛，分成下列三類：

第一類：丁戊相鄰且己庚相鄰，例如： (丁戊)辛(己庚)，

　　　　如此則在安排甲乙丙時，要安排一個放在 (丁戊) 的中間，也要安排一個放在 (己庚) 的中間，

　　　　剩下的一個可以有四個空隙選一個來放。

第二類：丁戊或己庚恰只有一組是相鄰的，例如：己(丁戊)辛庚，

　　　　如此則在安排甲乙丙時，要安排一個放在這組相鄰的 (丁戊) 的中間，

　　　　剩下的兩個有五個空隙中的兩個位置可以放。

第三類：丁戊或己庚這兩組都沒有相鄰的，例如：丁己辛庚戊，

　　　　如此則在安排甲乙丙時，任意放入六個空隙中的三個位置就可以了。

作者: anyway13 時間: 2017-1-28 22:21 標題: 回復 63# weiye 的帖子

講解的好清楚,這次總算聽懂了!

這種正面的做法比排容原理快多了. 謝謝weiye老師!

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