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標題: 100北港高中 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-7-18 19:14 標題: 100北港高中

題目和答案請見附件

附件: 100北港高中.rar (2011-7-18 19:14, 698.86 KB) / 該附件被下載次數 11390
https://math.pro/db/attachment.php?aid=773&k=32af0abb14e7e256b79fbea6a7b6cd59&t=1714853934

作者: milkie1013 時間: 2011-7-19 19:42 標題: 想請教15.18.20

各位老師好~
想請教15.18.20這三題該如何下手?
謝謝大家

作者: 老王 時間: 2011-7-19 20:13 標題: 回復 2# milkie1013 的帖子

18
參考一下

圖片附件: 100北港18.jpg (2011-7-19 20:14, 22.82 KB) / 該附件被下載次數 7747
https://math.pro/db/attachment.php?aid=775&k=c403ce9a911f4f1f8d11b9c4789ba7b0&t=1714853934

作者: Herstein 時間: 2011-7-20 18:04

我想請教第4題謝謝

作者: weiye 時間: 2011-7-20 20:23 標題: 回復 4# Herstein 的帖子

第 4 題：

\(f(x)=(x-m)^2 -m^2+2m+3\)

case i: 若 \(0\leq m\leq 4,\)

　　　　　則 \(f(m)>0 \Rightarrow -m^2+2m+3>0 \Rightarrow -1<m<3\)

　　　　　且因為 \(0\leq m\leq 4\)，所以 \(0\leq m<3\)

case ii: 若 \(m<0,\)

　　　　　則 \(\displaystyle f(0)>0 \Rightarrow 2m+3>0 \Rightarrow m>-\frac{3}{2}\)

　　　　　且因為 \(m<0\)，所以 \(\displaystyle -\frac{3}{2}<m<0\)

case iii: 若 \(m>4,\)

　　　　　則 \(\displaystyle f(4)>0 \Rightarrow -6m+19>0\Rightarrow m<\frac{19}{6}\)

　　　　　且因為 \(m<4\)，所以矛盾

由 case i,ii, 或 iii，

可得 \(\displaystyle -\frac{3}{2}<m<3\)

作者: weiye 時間: 2011-7-20 20:57

第 15 題：

\(\displaystyle x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)

因此，

　　\(\displaystyle x-y= \frac{1}{z} - \frac{1}{y} = \frac{y-z}{yz}\)

　　且 \(\displaystyle y-z= \frac{1}{x} - \frac{1}{z} = \frac{z-x}{zx}\)

　　且 \(\displaystyle z-x= \frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x-y}{xy}\)

所以，

\(\displaystyle x-y = \frac{x-y}{x^2y^2z^2}\Rightarrow \left(x-y\right)\left(1-\frac{1}{x^2y^2z^2}\right)=0\)

因為 \(x,y\) 相異，所以 \(x^2y^2z^2=1\)

因為 \(x,y,z\) 皆為正數，所以 \(xyz=1\)

故， \(\log x + \log y + \log z = \log(xyz)=0\)

作者: JOE 時間: 2011-7-23 00:03 標題: 回復 2# milkie1013 的帖子

20.假設半衰期為t年

(1/2)^(10/t)=1/5<~~~衰變了80%

兩邊取log就結束了

作者: money 時間: 2011-7-23 17:47

想請教第14題
感謝

作者: JOE 時間: 2011-7-23 18:43 標題: 回復 8# money 的帖子

這題考到翻過來了應該有速解的算法但我都還是這樣算

若(2+根號3)^n=Xn+Yn*根號3
顯然(2-根號3)^n=Xn-Yn*根號3.....二項展開一下就可看出

就可以分別求Xn,Yn 求極限

作者: money 時間: 2011-7-25 08:24

引用:

原帖由 JOE 於 2011-7-23 06:43 PM 發表
這題考到翻過來了應該有速解的算法但我都還是這樣算

若(2+根號3)^n=Xn+Yn*根號3
顯然(2-根號3)^n=Xn-Yn*根號3.....二項展開一下就可看出

就可以分別求Xn,Yn 求極限 ...

感謝jJOE大
我也是把兩式相加減
因為漏了根號3
極限怎麼算都是1(糗)

作者: money 時間: 2011-7-25 11:17

請教第16題
感謝

作者: JOE 時間: 2011-7-25 18:43 標題: 回復 11# money 的帖子

[nC(n-1,0)*C(n,n-1)]+[nC(n-1,1)*C(n,n-2)]+[nC(n-1,2)*C(n,n-3)]+...+[nC(n-1,n-1)*C(n,0)]
=n[C(n-1,0)*C(n,n-1)+C(n-1,1)*C(n,n-2)+C(n-1,2)*C(n,n-3)+...+C(n-1,n-1)*C(n,0)]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
=n[C(2n-1,n-1)]<~~~~~(2n-1)物取(n-1)個
=n(2n-1)!/(n-1)!(n)!
=(2n-1)!/[(n-1)!]^2

只會這樣輸入，多擔待

關鍵就是把係數往C裡面放，把C裡面的n拉出來

作者: money 時間: 2011-7-25 22:34 標題: 回復 12# JOE 的帖子

唉
這個題目如果在考場上遇到
我一定是當場傻住
感謝JOE大賜教
小弟又上了一課

作者: peter579 時間: 2011-7-27 11:28

引用:

原帖由老王於 2011-7-19 08:13 PM 發表
18
參考一下

18題，看完樓上的解，可否詳細說明一下，為何FH=FA，這一題，主要是這裏看不大出來。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-27 11:29 AM 編輯 ]

作者: peter579 時間: 2011-7-27 11:30

6 :再查一下書，好像不能將COSx=[1-(tan x/2)^2] / [1+(tan x/2)^2] sinx=[2(tan x/2)] / [1+(tan x/2)^2] 代入，由判別式>=0來找範圍，因為有類似解法，但這樣好像不能解。

可否請教一下大家。

7、a_n-2=[(1+2+3+...n)^2-(1^2+2^2+3^2+....+n^2)]/2 且 a_n-1=1+2+....+n 可以解出來。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-27 04:39 PM 編輯 ]

作者: maymay 時間: 2011-7-27 11:58 標題: 回復 14# peter579 的帖子

A為F對切線的對稱點,所以FH=HA

作者: maymay 時間: 2011-7-27 12:13 標題: 關於第7 ,請教13

第7題
a_n=1    a_n-1=-(所有根之和)=-(1+2+....+n)

所以最後算出來是 -(5/4)  ?

6.令f(x)=k,整理一下移項得到 (k-1)cosx-(k+1)sinx=2-2k
                                                利用疊合絕對值2-2k 小於根號(k-1)^2+(k+1)^2
                                                兩邊平方解k範圍可得最大值.

請教13,謝謝

作者: peter579 時間: 2011-7-27 15:25

第7題、

a_n-2(第n-2項)=[(1+2+3+...n)^2-(1^2+2^2+3^2+....+n^2)]/2 =[    ((1+n)n/2)^2    -          (n(n-1)(2n-1)/6       ] /2

a_n-1(第n-1項)= 1+2+....+n = (1+n)n/2    代入後，(1+n)n 可以約掉，應可以算出來了。

原式=    5/2[n(n+1)/4-(2n+1)/6]
         ---------------------------------- =5/4
                        n*n/2

不知若考第n-3項，會不會更複雜。

[ 本帖最後由 peter579 於 2011-7-27 03:59 PM 編輯 ]

作者: peter579 時間: 2011-7-27 15:48

13  題
\(a>b>0\)，橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的切線\(L\)交座標軸於\(A\)、\(B\)兩點，求線段\(\overline{AB}\)的最小值　　　。
[解答]
由 y=mx+根號(a^2m^2+b^2)

               x=0
               y=0          分別代入… 計算  AB^2= a^2m^2+b^2 +(a^2m^2+b^2)/m^ 2
                                                                     =  a^2m^2+b^2/m^ 2 +    a^2+b^2    >= 2ab+ a^2+b^2 =(a+b)^2
                                                   AB最小值 a+b

112.7.11感謝thepiano補充
求橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)上任一切線在第一象限被\(x\)軸、\(y\)軸截出之線段長的最小值為　　　。
(112羅東高工，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3772&page=1#pid25292)

作者: peter579 時間: 2011-7-27 16:40

第5題有問題，請教一下

作者: JOE 時間: 2011-7-27 23:12 標題: 回復 20# peter579 的帖子

兩根之和=1+K=-a,兩根之積=1*K=b
顯然K=b>1,a=-1-b.......(*)

接著依題意判斷，拋物線頂點必在第四象限
[積分0~1](x^2+ax+b)dx =[ 積分1~b] -(x^2+ax+b)dx
整理得b^3/3+ab^2/2+b^2=0,並約掉b^2=/=0
再把 a=-1-b代入,就結束了

作者: addcinabo 時間: 2011-8-16 13:31

想請問各位大大填充第9題
感恩^^

作者: money 時間: 2011-8-16 16:44 標題: 第5.9題

請參考
第5題
已知拋物線\(y=x^2+ax+b\)與\(x\)軸之交點的\(x\)坐標一個為1，一個比1大，若拋物線與兩軸所圍區域之面積，恰等於拋物線與\(x\)軸所圍區域之面積，則數對\((a,b)=\)　　　。
[解答]
\( \int_0^1 f(x) dx=\int_k^1 f(x) dx \)
所以\( k=3,0 \)(不合)
\( f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3 \)
\( (a,b)=(-4,3) \)

第9題
設\(f(x)\)表一實係數多項式，若\(f(x)=5x^4-3x^2 [\int_0^1 f(x)dx]+6x-5\)，求\(f(x)=\)　　　。
[解答]
設\( \int_0^1 f(x)dx=a \)，所以\( f(x)=5x^4-3ax^2+6x-5 \)
\( \int_0^1 f(x)dx=1-a+3-5=a \)，\( \displaystyle a=-\frac{1}{2} \)
\( f(x)=5x^4+\frac{3}{2}x^2+6x-5 \)

作者: arend 時間: 2011-8-18 23:55

引用:

原帖由 money 於 2011-8-16 04:44 PM 發表
請參考

請教
第5題中,k=3,0怎麼算出來的
謝謝

作者: arend 時間: 2011-8-19 01:13

請教第8題
謝謝

作者: money 時間: 2011-8-19 09:06 標題: 回復 24# arend 的帖子

因拋物線與\(x\)軸交於\((1,0)\)與\((k,0)\)兩點
所以假設\(f(x)=(x-1)(x-k)\) \(k>1\)
\(=x^2-(k+1)x+k\)
再積分解\(k\)值
(抱歉,我只會用方程式編輯器,但在此處貼不上來)

作者: money 時間: 2011-8-19 09:10

將數分成50~99 ,100~999 ,1000~1500三類
[log50]~[log99]皆為1
[log100]~[log999]皆為2
[log1000]~[log1500]皆為3
所求為1*50+2*900+3*501=3353

作者: arend 時間: 2011-8-19 13:56

引用:

原帖由 money 於 2011-8-19 09:10 AM 發表
將數分成50~99 ,100~999 ,1000~1500三類
[log50]~[log99]皆為1
[log100]~[log999]皆為2
[log1000]~[log1500]皆為3
所求為1*50+2*900+3*501=3353

謝謝
我想得太複雜了

作者: arend 時間: 2011-8-19 14:14

請教第一題

還有17題
我的想法是:甲>乙跟乙>甲的機率一樣
所以所求為
(1-(甲=乙的機率))/2=81/180
不知錯哪裡
希望版上高手能不吝告知
謝謝

第十題
我算出球心在平面的投影點O(-1,2,3)
A(-6,6,1)在平面的投影點H(-2,4,5)
圓半徑為1, B=O+OH單位向量*1=(-4/3, 8/3, 11/3)
公布答案是B=O-OH單位向量*1=(-2/3, 4/3, 7/3)
想不出來

以上三題
謝謝版上大大

作者: money 時間: 2011-8-19 14:34 標題: 回復 29# arend 的帖子

第一題
擲某銅板出現正面的機率為\(p\)，\(0<p<1\)。連續擲此銅板4次，若第\(k\)次出現正面則得\(\displaystyle \frac{1}{2^k}\)，否則得0，\(k=\)1、2、3、4。若總所得超過\(\displaystyle \frac{1}{3}\)的機率為\(ap+bp^2+cp^3\)求\(a+b+c=\)　　　。

各次擲得正面之所得為1/2,1/4,1/8,1/16
所以總所得超過1/3有以下幾種情形
(1)第一次就出正面 (其機率為P)
(2)第一次出現反面,第二次出現正面,第三次出現正面其機率為(1-P)*P*P
(1)+(2)即可求解

作者: money 時間: 2011-8-19 14:43 標題: 回復 29# arend 的帖子

17題
您想的沒錯
不過甲=乙的機率為1/90
正解為[1-(1/90)]/2=89/180

作者: money 時間: 2011-8-19 14:59 標題: 回復 29# arend 的帖子

第10題
可求得圓半徑為1 OH=3
所以BO:OH=1:3
再用分點公式可求得B點坐標

作者: arend 時間: 2011-8-20 17:31

謝謝money老師
原來第10題看錯,想成最小值
第一題可能我題意看不懂
連續擲4次,所以我會想到++++,-+++等的情況
謝謝money老師的不吝告知

作者: zero 時間: 2011-8-23 17:19 標題: 回復 5# weiye 的帖子

第四題是否要加入判別式這條件

這瑋岳大大這題這樣做答案沒錯，但其他的類似題
就有點不對了

作者: zero 時間: 2011-8-23 17:24

引用:

原帖由老王於 2011-7-19 08:13 PM 發表
18
參考一下

這題用電腦繪圖很明顯A-P-F'共線，但在自己動手畫時，好像看不出ㄟ

作者: arend 時間: 2011-8-28 16:47

請教第11題
有更快方法嗎?
若照書中算,這
考試時間有限,
題要算很久

謝謝

作者: tsusy 時間: 2011-11-13 11:51 標題: 回復 9# JOE 的帖子

前幾天寫 97 家齊女中的，也寫到這題
看到 JOE 大的方法，還會有速解法

在下很是漸愧。因為在下的方法更慢了一些

\( \left[\begin{array}{c}
x_{n+1}\\
y_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
2 & 3\\
1 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_{n}\\
y_{n}\end{array}\right] \)，特徵值 \( 2\pm\sqrt{3} \)。

令 \( x_{n}=a(2+\sqrt{3})^{n}+b(2-\sqrt{3})^{n},\, y_{n}=c(2+\sqrt{3})^{n}+d(2-\sqrt{3})^{n} \)。

利用 \( (x_{0},y_{0})=(1,0),\,(x_{1},y_{1})=(2,1) \)，可解得 \( a=\frac{1}{2},\, c=\frac{1}{2\sqrt{3}} \)。

\( \lim\limits _{n\to\infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}=\frac{a}{c}=\sqrt{3} \)。

看到 JOE大說，有速解法，有如一語驚醒夢中人，於是有了以下：

設所求極限為 \( a \)，則

\( \frac{2a+3}{a+2}=a\Rightarrow a=\pm\sqrt{3} \) (取正)

作者: nanpolend 時間: 2012-6-22 03:05 標題: 回復 6# weiye 的帖子

請教一下第十二題
對角化不能做還有甚麼方法可嘗試

圖片附件: 未命名.png (2012-6-22 03:05, 3.49 KB) / 該附件被下載次數 5161
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1291&k=2232c09d8e27d79ee192c7aa4c97e629&t=1714853934

作者: nanpolend 時間: 2012-6-22 09:49 標題: 回復 38# nanpolend 的帖子

請教19題有速解法嗎
還是得積分算體積

圖片附件: 未命名.png (2012-6-22 09:49, 14.54 KB) / 該附件被下載次數 5030
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1292&k=729fd557f07c477411174e5082686773&t=1714853934

作者: wind2xp 時間: 2012-6-22 10:27 標題: 回復 38# nanpolend 的帖子

有的矩陣對角化所找到的特徵值很醜,比如101的明倫高中,豐原高中都有出一題算出特徵值為根號2

這時所得出的P矩陣也很醜

請問有沒有其他對角化的算法?

[ 本帖最後由 wind2xp 於 2012-6-22 10:36 AM 編輯 ]

作者: nanpolend 時間: 2012-7-21 15:06 標題: 回復 39# nanpolend 的帖子

令球半徑r=1
球面積=4/3pi
浮出體積積分=5/24pi
相除得=5/24/4/3=5/32

作者: afu0406 時間: 2012-9-7 17:16

想請教第二題

設\(a,b,c,d,e,f\)為實數，且\(a^2+b^2+c^2=9\)，\(d^2+e^2+f^2=14\)，則\( \)的最大值為　　　。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2016-1-4 02:52 PM 編輯 ]

作者: poemghost 時間: 2012-9-7 17:36 標題: 回復 42# afu0406 的帖子

設w向量=(1,2,3)，u向量=(a.b.c)，v向量=(d,e,f)
則所求表示w,u,v向量所張的平行六面體的最大體積
答案就是當w,u,v向量兩兩垂直，也就是當此平行六面體為長方體時
因此最大體積=|w|×|u|×|v|=......略

作者: afu0406 時間: 2012-9-15 18:51

感謝回答

請問為什麼 18題的FA一定會通過切點??

作者: tsusy 時間: 2012-9-15 20:11 標題: 回復 44# afu0406 的帖子

光學性質

作者: nanpolend 時間: 2012-10-7 11:40 標題: 回復 45# tsusy 的帖子

請教一下第12題
Q-1=  |-3/7  1/7|
      |1/7 2/7|
Q=  | -2 1|
   |  1 3|
D=  |-2 0|
   |0    5|

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2012-10-7 12:04 PM 編輯 ]

作者: mathca 時間: 2015-12-23 08:59 標題: 回復 12# JOE 的帖子

請教第16題，中間省略的部分，感謝。

作者: thepiano 時間: 2015-12-23 10:58 標題: 回復 47# mathca 的帖子

利用\(kC_{k}^{n}=nC_{k-1}^{n-1}\)
\(\begin{align}
& {{\left( C_{1}^{n} \right)}^{2}}+2{{\left( C_{2}^{n} \right)}^{2}}+3{{\left( C_{3}^{n} \right)}^{2}}+\cdots +n{{\left( C_{n}^{n} \right)}^{2}} \\
& =C_{1}^{n}C_{n-1}^{n}+2C_{2}^{n}C_{n-2}^{n}+3C_{3}^{n}C_{n-3}^{n}+\cdots +nC_{n}^{n}C_{0}^{n} \\
& =nC_{0}^{n-1}C_{n-1}^{n}+nC_{1}^{n-1}C_{n-2}^{n}+nC_{2}^{n-1}C_{n-3}^{n}+\cdots +nC_{n-1}^{n-1}C_{0}^{n} \\
& =...... \\
\end{align}\)

作者: mathca 時間: 2015-12-23 11:38 標題: 回復 48# thepiano 的帖子

感謝。剛剛就是卡在這裡，後來發現有C(m+n,k)=sig{i+j=k} C(m,i)*C(n,j) 可以換。

作者: mathca 時間: 2016-1-2 13:29 標題: 回復 37# tsusy 的帖子

請問#37速解法觀點為何？
2a+3 / a+2 = a ，看不懂這式子從何出現
感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-3 08:03 標題: 回復 50# mathca 的帖子

應該是這樣
\(\begin{align}
& {{x}_{n+1}}+{{y}_{n+1}}\sqrt{3}={{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{n+1}}=\left( {{x}_{n}}+{{y}_{n}}\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)=\left[ \left( 2{{x}_{n}}+3{{y}_{n}} \right)+\left( {{x}_{n}}+2{{y}_{n}} \right)\sqrt{3} \right] \\
& \frac{{{x}_{n+1}}}{{{y}_{n+1}}}=\frac{2{{x}_{n}}+3{{y}_{n}}}{{{x}_{n}}+2{{y}_{n}}}=\frac{2\left( \frac{{{x}_{n}}}{{{y}_{n}}} \right)+3}{\left( \frac{{{x}_{n}}}{{{y}_{n}}} \right)+2} \\
\end{align}\)

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