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標題: 100桃園縣新進教師高中聯招 [打印本頁]

作者: bugmens 時間: 2011-6-18 13:51 標題: 100桃園縣新進教師高中聯招

題目和答案請見附件

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作者: dtc5527 時間: 2011-6-18 17:03 標題: 請教選擇3,4及填充1,2,4如何解

作者: 老王 時間: 2011-6-18 20:12 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

選擇3
\(\displaystyle f(x)=\frac{4x^2+4x-24}{x^4-2x^3-9x^2+18x}=\frac{4(x+3)(x-2)}{x(x-2)(x+3)(x-3)} \)
那麼當x趨近2或-3的時候，極限值是存在的，
所以垂直漸近線只有x=0和x=3

選擇4
x^2的係數就是從{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}中任選兩數相乘的總和
這會等於
\(\displaystyle \frac{1}{2} \times [(2+4+\cdots+20)^2-(2^2+4^2+\cdots+20^2)] \)
答案是5280

作者: 老王 時間: 2011-6-18 21:52 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

填充1
考慮函數\( f(A,B,C)=(A+B+C)^n \)
展開式每一項就是一種安排方式
現在要求A房間有奇數個人
意即A的次數為奇數的所有係數和
\(\displaystyle \frac{1}{2} \times (f(1,1,1)-f(-1,1,1))=\frac{3^n-1}{2} \)

填充4
寫出前面幾項，猜測是費氏數列
補，令
\(\displaystyle a_n=\Sigma_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n-k} \)

\(\displaystyle =C_{0}^{n}+\Sigma_{k=1}^{\infty} (C_{k}^{n-k-1}+C_{k-1}^{n-k-1}) \)

\(\displaystyle =C_{0}^{n-1}+\Sigma_{k=1}^{\infty} C_{k}^{n-k-1}+\Sigma_{k=1}^{\infty} C_{k-1}^{n-k-1} \)

\(\displaystyle =\Sigma_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n-1-k}+\Sigma_{k=0}^{\infty} C_{k}^{n-2-k} \)

\(\displaystyle =a_{n-1}+a_{n-2} \)

[ 本帖最後由老王於 2011-6-20 10:35 PM 編輯 ]

作者: wrty2451 時間: 2011-6-19 11:01

請教一下計算第三題，覺得自己的答案算得有點怪，算出來答案為125/8

作者: 老王 時間: 2011-6-19 11:08 標題: 回復 2# dtc5527 的帖子

填充2
考慮A(1,-1,1)在坐標軸和坐標平面的投影點會構成正立方體，
令O(0,0,0),B(1,0,0),C(0,-1,0),D(0,0,1)
BCD構成正三角形，且平面BCD和OA垂直
故旋轉時B-->D,D-->C,C-->B
於是
(a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
=a(1,0,0)-b(0,-1,0)+c(0,0,1)
-->a(0,0,1)-b(1,0,0)+c(0,-1,0)=(-b,-c,a)
所以答案是(-b,-c,a)

作者: 老王 時間: 2011-6-19 11:49 標題: 回復 5# wrty2451 的帖子

我是這樣算，不知對不對
假設期望值為E
拿到白球就必須重新計算，所以分成
第一次拿到白球，已經取一次，還需E次；
第一次拿到紅求，但第二次拿到白球，已經取兩次，還需E次；
前兩次紅球，第三次拿到白球，已經取三次，還需E次；
前三次都拿到紅球，結束。
所以列式
\(\displaystyle E=\frac{3}{5}(E+1)+\frac{2}{5} \times \frac{3}{5}(E+2)+(\frac{2}{5})^2 \times \frac{3}{5}(E+3)+(\frac{2}{5})^3 \times 3 \)
解得
\(\displaystyle E=\frac{195}{8} \)

[ 本帖最後由老王於 2011-6-19 09:18 PM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2011-6-19 12:18

順便把計算題寫完
2
令\( \angle{BAD}=\alpha , \angle{ABC}=\beta \)
那麼\( \angle{AFB}=\alpha+\beta \)
將條件同除以AB得到
\(\displaystyle 2(\cos{\alpha}+\cos{\beta})=\sin{\alpha}+\sin{\beta} \)
\(\displaystyle 4\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}} \)
\(\displaystyle \tan{\frac{\alpha+\beta}{2}}=2 \)
\(\displaystyle \cos({\alpha+\beta})=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5} \)

[ 本帖最後由老王於 2011-6-19 12:20 PM 編輯 ]

作者: 紫月 時間: 2011-6-19 12:40

引用:

原帖由老王於 2011-6-19 11:49 AM 發表
我是這樣算，不知對不對
假設期望值為E
\(\displaystyle E=\frac{3}{5}(E+1)+\frac{2}{5} \times \frac{3}{5}(E+2)+(\frac{2}{5})^2 \times \frac{3}{5}(E+3)+(\frac{2}{5})^3 \times 3 \)
解得 ...

看不懂，請問為何可以這樣列式?

作者: 老王 時間: 2011-6-19 20:56

計算1
假設2*n的放法有\( a_n \)種
再假設2*n少了一個角落的方格，放法有\( b_n \)種

計算\( a_n \)的時候，可以先考慮最左邊1*2的方格，
如果都不放，剩下2*(n-1)方格，有\( a_{n-1} \)種；
如果放了一格，另一格不能放，連帶旁邊一格也不能放，剩下2*(n-1)少一個角落，有\( b_{n-1} \)種，
故有\( a_n=a_{n-1}+2b_{n-1} \)

計算\( b_n \)的時候，先考慮單獨的那一格，
如果不放，剩下2*(n-1)方格，有\( a_{n-1} \)種；
如果放，旁邊一格不能放，剩下2*(n-1)少一個角落，有\( b_{n-1} \)種，
故有\( b_n=a_{n-1}+b_{n-1} \)

由上面兩式，可以用矩陣表示，然後用對角化的作法；或是得到
\( a_n=2a_{n-1}+a_{n-2},a_1=3,a_2=7 \)解此遞迴方程
特徵方程式\( x^2=2x+1 \)
得到特徵值為\( 1+\sqrt2,1-\sqrt2 \)
假設\(\displaystyle a_n=c_1(1+\sqrt2)^n+c_2(1-\sqrt2)^n \)
將初值條件代入解得
\(\displaystyle c_1=\frac{1+\sqrt2}{2},c_2=\frac{1-\sqrt2}{2} \)
所以

\(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}[(1+\sqrt2)^{n+1}+(1-\sqrt2)^{n+1}] \)

作者: rudin 時間: 2011-6-22 08:38 標題: 請問單選第六題。

作者: rudin 時間: 2011-6-22 09:44 標題: 填充一為什麼不用管各間住的人

作者: someone 時間: 2011-6-22 09:57 標題: 回復 11# rudin 的帖子

cosx+3sinx+2=0,
1+3tanx+2secx=0,
2secx=-1-3tanx
4sec^2x=1+6tanx+9tan^x
5tan^2x+6tanx-3=0
tanatanb=-3/5
tana+tanb=-6/5
所求=-3/4

作者: weiye 時間: 2011-6-22 11:32 標題: 回復 11# rudin 的帖子

單選第 6 題

解一：

令 \(\displaystyle \tan\frac{x}{2}=t\)，

則 \(\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}+3\cdot\frac{2t}{1+t^2}+2=0\)

　 \(\Rightarrow t^2+6t+3=0\)

所以，\(\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}=-6, \tan\frac{\alpha}{2}\cdot\tan\frac{\beta}{2}=3\)

\(\displaystyle \tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{-6}{1-3}=3\)

\(\displaystyle \tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{2\cdot 3}{1-3^2}=-\frac{3}{4}.\)

解二：

畫出 \(x^2+y^2=1\) 與 \(x+3y+2=0\) 的圖形，

可得 \(\displaystyle \tan\frac{\alpha+\beta}{2}=\mbox{紅色線段的斜率}=3\)

\(\displaystyle \Rightarrow\tan\left(\alpha+\beta\right)=\frac{2\cdot 3}{1-3^2}=-\frac{3}{4}.\)

作者: rudin 時間: 2011-6-22 11:39 標題: 單選1如何下手？

單選1如何下手？

作者: chiang 時間: 2011-6-22 14:02 標題: 問題請教

可否請問一下單選第一題~~我怎算都最多也才是21耶
單選題9
多重選擇兩題~~都不會XD
謝謝拉

喔
A部分
答案是否為2 * 3^(n-1) + 1

謝啦

作者: gamaisme 時間: 2011-6-30 16:08

單選9
直接令X=a+bi代入，求聯立解
不曉得有沒有其他解法

作者: weiye 時間: 2011-6-30 16:23 標題: 回復 17# gamaisme 的帖子

單選第 9 題：

令此一元二次方程式的兩根為 \(\alpha,\beta\)

由根與係數關係式，可得 \(\alpha+\beta=6i.\)

作者: weiye 時間: 2011-6-30 16:32 標題: 回復 16# chiang 的帖子

第 13 題：

(A) 反例：\(f(x)=x^3\) 滿足 \(f'(0)=0\)，但在 \(x=0\) 時並不是極值。

(B) 反例：\(f(x)=x^4\) 滿足 \(f''(0)=0\)，但在 \((0,f(0))\)並不是反曲點。

(C) 對，若 \(f(x)\) 為 15 次多項式，則 \(f''(x)=0\) 至多只有 13 個相異根。

(D) 對，若 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 點可微，則對任意異於 \(a\) 的 \(x\)，

　　　　恆有 \(\displaystyle f(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)+f(a)\)

　　　　所以，\(\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)+f(a)\right)\)

　　　　　　　　　　\(=f'(a)\cdot 0 +f(a)=f(a)\)

(E) 反例：\(f(x)=x\)

作者: JOE 時間: 2011-7-7 18:53

想請問單選十一

以及多選十二的(D)選項，收斂級數拆開後，可能會發散能否舉一個例子

感謝老師指導

[ 本帖最後由 JOE 於 2011-7-8 05:42 AM 編輯 ]

作者: 老王 時間: 2011-7-7 20:58 標題: 回復 12# rudin 的帖子

我們的算法都有考慮人是不同的。

作者: 阿光 時間: 2011-7-29 21:53

想請教多選12題完整詳解 thank you very much

作者: money 時間: 2011-8-3 09:03

想請教單選1(是否只能一一列舉呢)及單選11
感謝

作者: weiye 時間: 2011-8-4 21:27 標題: 回復 23# money 的帖子

單選第 11 題：

將 \(\displaystyle f(\frac{x^2-1}{x^2+1})=x\) 左右兩邊同時對 \(x\) 微分，

可得 \(\displaystyle f'(\frac{x^2-1}{x^2+1})\cdot \frac{4x}{x^4+2x^2+1}=1\)

　　 \(\displaystyle \Rightarrow f'(\frac{x^2-1}{x^2+1})=\frac{x^4+2x^2+1}{4x}\)　‧‧‧（＊）

先解 \(\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2+1}=0\)，可得 \(x=\pm 1\)，

所以將 \(x=\pm1\) 帶入（＊），

可得 \(f'(0)=\pm1\)，

故，\(f'(0)\) 的所有可能值之和為 \(1+(-1)=0.\)

作者: money 時間: 2011-8-16 07:28 標題: 回復 24# weiye 的帖子

感謝weiye大解惑

作者: tsusy 時間: 2011-10-29 16:36 標題: 回復 20# JOE 的帖子

多選 12 題，其它選項順便，如下：

(A) By ratio test \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{n}}\cdot\frac{19}{7}\to\frac{19}{7e}\approx0.998<1 \)

(B) By Dirichlet test or Abel test.

(C) 反例令 \( a_n=\frac{(-1)^n}{n} \)

(D) 反例，令 \( a_{2n}=-a_{2n-1}=-\frac{1}{n}, \sum\limits _{i=1}^{\infty}a_{n}=0 \).

\( \sum\limits _{i=1}^{\infty}(a_{4i-3}+a_{4i-1}+a_{2i})=\sum\limits _{i=1}^{\infty}(\frac{1}{2i-1}+\frac{1}{2i}-\frac{1}{i})=\sum\limits _{i=1}^{\infty}(\frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i}) = \ln 2 \).

(E) 反例，令\( a_{i}=0, b_{i}=-1 \).

這種反例，我自己都很喜歡取和為 0 的

[ 本帖最後由 tsusy 於 2011-10-29 04:38 PM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2012-5-23 01:02

想請教一下..為何不用再考慮...第一次拿白球，第二次拿紅球的
和第一次白第二、三紅
和第二次白...第一、三是紅
感謝!!!

引用:

原帖由老王於 2011-6-19 11:49 AM 發表
我是這樣算，不知對不對
假設期望值為E
拿到白球就必須重新計算，所以分成
第一次拿到白球，已經取一次，還需E次；
第一次拿到紅求，但第二次拿到白球，已經取兩次，還需E次；
前兩次紅球，第三次拿到白球，已經取三次，還需E次；
前三次都拿到 ...

作者: tsusy 時間: 2012-5-23 07:50 標題: 回復 27# natureling 的帖子

您所說的情況，都已經包含在老王老師的三個分類裡面了

如 1白2紅，在 1白的情況裡已包含

此三分類，恰是樣本空間的一個分割，不會再遺漏任何情況了

作者: natureling 時間: 2012-5-23 21:59 標題: 回復 28# tsusy 的帖子

嗯!!謝謝!!

作者: weiye 時間: 2012-5-24 19:44

有朋友問，解完順便ＰＯ上來。

單選第 8 題：

令5次中有 a 次正面，b次反面，

則

case 1: a+b=5 且 30+a*10-b*10=60

解出 a=4,b=1

再看有幾種乙在第五局獲勝的方式

（＋＋－＋＋）
（＋－＋＋＋）
（－＋＋＋＋）

再算機率為 3*(1/2)^5

case 2: a+b=5 且 30+a*10-b*10=0

解出 a=1,b=4

再看有幾種甲在第五局獲勝的方式

（－－＋－－）
（－＋－－－）
（＋－－－－）

再算機率為 3*(1/2)^5

兩者機率和＝3/32+3/32=3/16 即為所求

作者: Jacob 時間: 2012-5-26 20:43 標題: 想請問...

引用:

原帖由老王於 2011-6-19 12:18 PM 發表
順便把計算題寫完
2
令\( \angle{BAD}=\alpha , \angle{ABC}=\beta \)
那麼\( \angle{AFB}=\alpha+\beta \)
將條件同除以AB得到
\(\displaystyle 2(\cos{\alpha}+\cos{\beta})=\sin{\alpha}+\sin{\beta} \)...

想請問為什麼令\( \angle{BAD}=\alpha , \angle{ABC}=\beta \)
那麼\( \angle{AFB}=\alpha+\beta \)
謝謝

作者: shingjay176 時間: 2012-5-31 23:47

引用:

原帖由 wooden 於 2012-5-31 11:17 PM 發表
請教填充第8
我設座標化，A(0,0),B(5,0),C(x,y)
=>(1)線段CA^2=x^2+y^2=89
(2)線段CB^2=(x-5)^2+y^2=80
由(1)(2)=>x=17/5, =>y^2=1936/25 =>y=+-(44/5)
=>面積=(底*高)/2=(5*(44/5)/2=22

結果與寸絲老師用cos->si ...

這份考卷有填充題第八題嗎??

作者: shingjay176 時間: 2012-5-31 23:58

引用:

原帖由 Jacob 於 2012-5-26 08:43 PM 發表

想請問為什麼令\( \angle{BAD}=\alpha , \angle{ABC}=\beta \)
那麼\( \angle{AFB}=\alpha+\beta \)
謝謝

解出來了，告訴你原因。你看底下的圖檔

沒有看懂再問吧～～這份考題，去年我也沒有考好。再準備一年了，看題目的感覺又不一樣

圖片附件: IMAG0087.jpg (2012-5-31 23:58, 61.02 KB) / 該附件被下載次數 5492
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1170&k=14bb4014594073be924685e32d951088&t=1714957074

作者: wooden 時間: 2012-6-1 16:13 標題: 回復 32# shingjay176 的帖子

sorry 我打錯，應是第3題
不過，我也驗證出是寸絲老師打錯了
謝謝

作者: weiye 時間: 2012-6-1 17:01 標題: 回復 34# wooden 的帖子

填充第 3 題：

構照如圖的正方形，由正方形扣去角落三個三角形面積，可得答案。

另外，如果不取巧的話，如下圖，

用兩個畢氏定理就可以得 \(x\)，

進而得高與面積。

圖片附件: qq1.png (2012-6-1 17:01, 41.06 KB) / 該附件被下載次數 7042
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1173&k=243aa81783bbb00cfbe720def89aab34&t=1714957074

圖片附件: qq2.png (2012-6-1 17:10, 7.68 KB) / 該附件被下載次數 7018
https://math.pro/db/attachment.php?aid=1174&k=2abb20bbcde1e7402c8f72879ff05b33&t=1714957074

作者: tsusy 時間: 2012-6-1 17:44 標題: 回復 34# wooden 的帖子

感謝指出錯誤.

想到是約分，約錯了 \( \frac{144}{8} =18 \) 竟然都會算錯，呵~~~

作者: wooden 時間: 2012-6-1 18:32 標題: 回復 35# weiye 的帖子

謝謝瑋岳兄的另解，
也謝謝寸絲兄的各篇詳解，超用心，超強的，
難怪我都考不上，哈!

作者: mathca 時間: 2016-1-7 21:49 標題: 回復 1# bugmens 的帖子

請教單選第2題，感謝。

作者: thepiano 時間: 2016-1-7 22:27 標題: 回復 38# mathca 的帖子

單選第2題
\(\begin{align}
& f\left( x+y \right)-f\left( x \right)=f\left( y \right)+{{x}^{2}}y+x{{y}^{2}} \\
& f'\left( x \right)=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+y \right)-f\left( x \right)}{y}=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( y \right)}{y}+{{x}^{2}}+xy \right]=1+{{x}^{2}} \\
\end{align}\)

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