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標題: 100桃園高中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2011-6-16 16:59 標題: 100桃園高中

如附件
請大家盡情享用吧!

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作者: bugmens 時間: 2011-6-16 17:45

1.
\( \displaystyle \frac{4^{\frac{1}{1001}}}{4^{\frac{1}{1001}}+2}+\frac{4^{\frac{2}{1001}}}{4^{\frac{2}{1001}}+2}+...+\frac{4^{\frac{1000}{1001}}}{4^{\frac{1000}{1001}}+2} \)

\( \displaystyle \frac{\pi^{\frac{1}{99}}}{\pi^{\frac{1}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{2}{99}}}{\pi^{\frac{2}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{3}{99}}}{\pi^{\frac{3}{99}}+\sqrt{\pi}}+...+\frac{\pi^{\frac{98}{99}}}{\pi^{\frac{98}{99}}+\sqrt{\pi}} \)
(95台中高農)

\( \displaystyle \frac{9^{\frac{1}{1001}}}{9^{\frac{1}{1001}}+3}+\frac{9^{\frac{2}{1001}}}{9^{\frac{2}{1001}}+3}+...+\frac{9^{\frac{1000}{1001}}}{9^{\frac{1000}{1001}}+3}+ \)
(99高雄市高中聯招，https://math.pro/db/thread-975-1-1.html)

計算與證明
5.
設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。

設\( a_1,a_2,...,a_n \)皆為正數，求證：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \le \frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1} \)
(94高中數學能力競賽　台南區筆試一試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Tainan_01.pdf　連結已失效)

110.8.15補充
\(\displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_1}\ge x_1+x_2+x_3\)，\((x_1,x_2,x_3>0)\)
(97楊梅高中)

101.6.19補充
設\( x_1 \)，\( x_2 \)，…，\( x_n \)都是正數且\( n \ge 2 \)，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方法證明：
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_4}+……+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+…+x_n \)
(101中正高中，https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html)

作者: hua77825 時間: 2011-6-17 17:33

不好意思

能否問一下老師們填充第6跟第7題

與計算證明題第4題感謝

作者: rudin 時間: 2011-6-18 10:29 標題: 計算第一題

已知ㄧ個直角三角形\( ABC \)，\( \overline{BC} \)為斜邊，斜邊長為\( a \)，斜邊上的高為\( h \)，\(O\)為斜邊上的中點，今將斜邊\(n\)(\(n>1\)，\(n\)為奇數)等分，若\(P\)、\(Q\)為其中兩個等分點，且\( \displaystyle \overline{PQ}=\frac{a}{n} \)，\(O\)點介於\(P\)、\(Q\)之間，設\(∠PAQ=\alpha\)，請問\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}n tan \alpha=\)？

http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2556
“計算第一題我的答案為\( \displaystyle \frac{4h}{a} \)，不知如何改為\( \displaystyle \frac{4 \sqrt{a^2-1}}{a^2} \)
我也是算這個答案。

圖片附件: 100桃園高中計算第1題圖.gif (2015-8-13 09:35, 6.77 KB) / 該附件被下載次數 6905
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3045&k=9c8a1477bc5d1dd0ea23d549fa6ed9d5&t=1713526735

作者: liengpi 時間: 2011-6-18 18:35

想請教填充8
感謝
怎麼積答案都不對

作者: JOE 時間: 2011-6-19 08:14

填充第8題
求拋物線\( y=-x^2+2x \)與直線\( y=-x \)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為　　　。
[解答]
我是分段積(分別旋轉直線及拋物線,觀察所圍體積的狀況,接著求交點分段積)
[0,1]:積拋物線
[1,3]:積直線扣除 [2,3]:積拋物線
更正如上

想請問填充6,9 計算3
感謝指導

作者: Ellipse 時間: 2011-6-19 08:26

引用:

原帖由 JOE 於 2011-6-19 08:14 AM 發表
我是分段積(分別旋轉直線及拋物線,觀察所圍體積的狀況,接著求交點分段積)
[0,1]:積拋物線
[1,2]:積直線
[2,3]:積拋物線

想請問填充6,9 計算3
感謝指導 ...

修改答案(20/3)π
[0,1]:積拋物線
[1,2]:積直線
[2,3]:積拋物線-直線

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2011-6-30 10:21 PM 編輯 ]

作者: 八神庵 時間: 2011-6-20 22:36

引用:

原帖由 hua77825 於 2011-6-17 05:33 PM 發表
不好意思

能否問一下老師們填充第6跟第7題

與計算證明題第4題感謝

填6
在空間中兩直線\( L_1 \)：\( \displaystyle \frac{x+5}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{3} \)，\( L_2 \)：\( \displaystyle \frac{x+5}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2} \)，動點\(P\)到兩直線等距離，則\(P\)的軌跡方程式為　　　。
[解答]
這兩線有交點\( (-5,-1,2) \)
此兩方向向量長度相等,相加減之向量為角平分向量,適為平面之法向量

填7與計4
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2556

作者: dennisal2000 時間: 2011-6-22 22:19

可以請問一下填充4嗎? 我怎麼算都是\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{7}}{2} \)
請高手指點迷津>"<

填充4
設\(R\)代表坐標平面上由不等式\(1-\sqrt{4-y^2}\le x \le 0 \)所定義的區域，求函數\( 3x-y \)在區域\(R\)上的最小值為　　　。

作者: weiye 時間: 2011-6-22 22:41 標題: 回復 9# dennisal2000 的帖子

填充第 4 題：

線性規劃，畫出可行解區域，如下

\(\displaystyle \frac{|3\cdot1-0-k|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=2\Rightarrow k=3\pm2\sqrt{10}\)

其中，如圖中的左上角的切線是當 \(k=3-2\sqrt{10}\) 時（\(3x-y=k\) 的 \(y\) 截距有最大值）。

作者: dennisal2000 時間: 2011-6-23 17:04 標題: 回復 10# weiye 的帖子

感謝 weiye老師~

      不過我還是有些疑惑的地方, 那個區域R是怎麼取出來的

      題目是\( 1-\sqrt{4-y^2}\le x \le 0 \), 我會取後兩部份得到老師你畫的R中再與\(y \le x\)取交集~

      得到一個像扇型的小塊,因此x算出來都是\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{7}}{2} \)

      看來我還不懂這個不等式表達的區域>"<

      煩請老師說明>"<

作者: weiye 時間: 2011-6-23 17:27 標題: 回復 11# dennisal2000 的帖子

先來畫

\(1-\sqrt{4-y^2}=x\) （也就是畫 \(x-1=-\sqrt{4-y^2}\)）

是左半圓如下

然後 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x\) 的圖形如下

最後 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x\leq 0\) 的圖形是

我猜你的問題是在第二張圖吧～～

觀察第一張圖上的任意一點 \((x_0,y_0)\) 與該點水平向右移動任意一點 \((x_1,y_0)\)

恆有 \(1-\sqrt{4-y_0^2}=x_0\leq x_1\)

亦即 \((x_1,y_0)\) 必滿足 \(1-\sqrt{4-y_0^2}\leq x_1\)

所以「左半圓弧的右邊」任意點 \((x,y)\) 都會滿足 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x.\)

作者: dennisal2000 時間: 2011-6-25 01:49 標題: 回復 12# weiye 的帖子

完全命中阿!!! >"<

太感謝weiye老師了 (T0T)

作者: 阿光 時間: 2011-11-26 21:19

想請教填充第3題謝謝
設\(z\)為複數，若\( \displaystyle \frac{z-3}{z}=2(cos80^{\circ}+i sin80^{\circ}) \)，則複數\( \displaystyle \frac{z-1}{z} \)之主幅角為　　　。

作者: weiye 時間: 2011-11-26 21:39 標題: 回復 14# 阿光的帖子

填充題第 3 題

\(\displaystyle 1-\frac{3}{z} = 2\left(\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow 3-\frac{3}{z}=2\left(1+\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow 1-\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\left(1+\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)

　　　　　\(\displaystyle =\frac{2}{3}\left(2\cos^2 40^\circ + 2\sin40\cos40^\circ\right)\)

　　　　　\(\displaystyle =\frac{4\cos40^\circ}{3}\left(\cos40^\circ+i\sin40^\circ\right)\)

\(\displaystyle 1-\frac{1}{z}\) 的主幅角為 \(40^\circ\) 且向徑為 \(\displaystyle \frac{4\cos40^\circ}{3}\)

另解，圖解，看附件。：）

圖片附件: qqq.png (2011-11-27 21:04, 11.25 KB) / 該附件被下載次數 5075
https://math.pro/db/attachment.php?aid=862&k=9924ee66eae54faa73b24d05f44498bd&t=1713526735

作者: 老王 時間: 2011-12-7 21:32

填充七
若兩直線在\( y=ax^2 \)的頂點\(O\)互相垂直，且分別與拋物線交於\(A\)、\(B\)兩點，若\( \Delta OAB \)的最小面積為4，則\( a= \)　　　。
[解答]
假設坐標\(\displaystyle A(t,at^2)、B(s,as^2) \)
要滿足\(\displaystyle ts+a^2t^2s^2=0 \)

也就是\(\displaystyle a^2ts=-1 \)
可以知道\(\displaystyle t,s \)一正一負

計算三角形OAB面積\(\displaystyle (OAB) \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats^2-at^2s| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats||s-t| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2|a|}|t-s| \)

不妨假設\(\displaystyle t>0>s \)
\(\displaystyle t-s=t+(-s)\ge 2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{|a|} \)
所以三角形OAB面積的最小值就是
\(\displaystyle \frac{1}{a^2} \)
所以
\(\displaystyle \frac{1}{a^2}=4 \)
\(\displaystyle a=\pm\frac{1}{2} \)

作者: 老王 時間: 2011-12-7 22:22

計算一
指令"\angle"失效~~~害我修了半天，一直不成功!!!
\(\displaystyle \alpha= ∠ QAH- ∠ PAH \)
\(\displaystyle \tan ∠ QAH=\frac{QH}{AH} \)
\(\displaystyle \tan ∠ PAH=\frac{PH}{AH} \)
所以
\(\displaystyle \tan\alpha=\frac{\frac{QH}{AH}-\frac{PH}{AH}}{1+\frac{QH}{AH}\times\frac{PH}{AH}} \)

\(\displaystyle =\frac{PQ \times AH}{AH^2+QH \times PH} \)

於是
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \tan\alpha=\frac{ah}{AH^2+OH^2} \)
\(\displaystyle =\frac{ah}{OA^2} \)
\(\displaystyle =\frac{4h}{a} \)

測試
\(\displaystyle \angle A \)

[ 本帖最後由老王於 2011-12-8 01:49 PM 編輯 ]

作者: natureling 時間: 2012-2-6 11:45

想請教一下：
這樣是否[0,1]時抛物線的旋轉範圍涵蓋直線的，所以只積抛物線
[1,2]時直線的旋轉範圍涵蓋抛物線的，所以只積直線
感恩解惑!!

引用:

原帖由 Ellipse 於 2011-6-19 08:26 AM 發表

修改答案(20/3)π
[0,1]:積拋物線
[1,2]:積直線
[2,3]:積拋物線-直線

作者: natureling 時間: 2012-2-6 16:03

可以以請教一下填充第10題嗎??高中數學101中p.366第2題有類似的...但我還是不懂怎麼由斜率看出範圍

設ㄧ線性規劃的可行解區域為如右圖所示之四邊形內部(含邊界)，直線\( \overline{AB} \)、\( \overline{AD} \)的斜率分別為\(-3\)、2，而目標函數為\( kx-y+3 \)。若已知\(A\)為此目標函數取得最大值之唯一的點，則\(k\)值的範圍要有限制。若以不等式表示，則\(k\)之範圍為　　　。

圖片附件: 100桃園高中第10題圖.gif (2015-8-13 09:14, 1.8 KB) / 該附件被下載次數 4416
https://math.pro/db/attachment.php?aid=3044&k=ce2d4170c47fb794fed5453861a80c27&t=1713526735

作者: weiye 時間: 2012-2-6 20:14 標題: 回復 19# natureling 的帖子

先觀察直線 \(kx-y+3=m\)，其中 \(k,m\) 為實數

此直線的 \(y\) 截距為 \(3-m\)

題目說「\(kx-y+3\)」在 \(A\) 點有最大值，

也就是說

『對固定的 \(k\) 與變動的 \(m\) 所得的平行直線系中，

　通過 \(A\) 點的那一條直線，

　是所有平行直線系中 \(y\) 截距最小值的一條（如此才會有最大的 \(m\) 值）』

因此斜率 \(k\) 必須要大於 \(AD\) 的斜率，

如此所得的平行直線系中，

有最小 \(y\) 截距的直線才會唯一的是通過 \(A\) 點的那一條。

圖片附件: qq.png (2012-2-6 20:14, 12.12 KB) / 該附件被下載次數 5800
https://math.pro/db/attachment.php?aid=931&k=c310b2f9913e23fd06709ff53ec3b6c1&t=1713526735

作者: natureling 時間: 2012-2-7 23:35

感謝 weiye大

引用:

原帖由 weiye 於 2012-2-6 08:14 PM 發表
先觀察直線 \(kx-y+3=m\)，其中 \(k,m\) 為實數

此直線的 \(y\) 截距為 \(3-m\)

題目說「\(kx-y+3\)」在 \(A\) 點有最大值，

也就是說

『對固定的 \(k\) 與變動的 \(m\) 所得的平行直線系中，

　通過 \(A\) 點的那 ...

作者: waitpub 時間: 2012-3-11 15:11 標題: 回復 17# 老王的帖子

請問一下\( \overline{QH} \cdot \overline{PH}=\overline{OH}^2 \)是怎麼來的?謝謝

作者: 老王 時間: 2012-3-11 21:04 標題: 回復 22# waitpub 的帖子

因為n趨近於無限大，所以P和Q趨近於O。
以上是很直觀的看法。

作者: mandy 時間: 2012-4-1 00:50

請問填充第二題如何求?

作者: weiye 時間: 2012-4-1 01:04 標題: 回復 24# mandy 的帖子

填充第 2 題：一排有 \(25\) 張椅子的座位，讓甲、乙、丙、丁四人去坐，一人選坐一張椅子。若要求甲、乙、丙、丁四人中任意兩人之間皆至少有 \(3\) 張空椅子，則此四人不同的入坐方法有_______種。

解答：

以 ● 表示甲乙丙丁將要選到的座位，

以 ○ 表示將不會被甲乙丙丁中任一人選到的座位，

先將四個 ● 排成一直線，再將任兩個●中間都放入三個○，

如下圖：

　　　　● ○○○ ● ○○○ ● ○○○ ●

將剩下的 \(25-4-9=12\) 個 ○ 插入由 ● 所區隔出來的五個空隙中，

其方法數為 \(H^5_{12}\)

然後再把＂甲乙丙丁＂四個人安排坐入●所在位置，

故，所求 \(=H^5_{12}\cdot4!=43680.\)

作者: mandy 時間: 2012-4-4 22:41

請問計算第二(２)
　答案是７４,我算是７２
　應該不會有誤差

在實驗室中有兩個燒杯\(A\)、\(B\)，\(A\)杯中裝\(a\)公升純酒精，\(B\)杯中裝\(b\)公升純水，假設兩者混合後不會產生體積變化。以下實驗過程稱為1輪：先將\(A\)杯中溶液的\(\displaystyle \frac{2}{3}\)倒入\(B\)杯中，再從\(B\)杯中溶液的\( \displaystyle \frac{2}{3} \)倒入\(A\)杯中。假設經過\(n\)輪操作，\(A\)杯中有\(a_n\)公升溶液，\(B\)杯中有\(b_n\)公升溶液；已知二階方陣\(T\)滿足\( \left[ \matrix{a_n \cr b_n} \right]=T^n \left[ \matrix{a \cr b} \right] \)，試求
(1)二階方陣\(T\)。
(2)若\(a=0.3\)，\(b=0.1\)，經過2輪操作後，\(B\)杯中酒精濃度為\(p\)%，則\(p=\)？(四捨五入到整數)

作者: weiye 時間: 2012-4-5 09:46 標題: 回復 26# mandy 的帖子

經過 \(2\) 輪操作後，\(B\) 杯中有 \(\displaystyle\frac{20a+21b}{81}\) 公升的溶液，其中酒精佔 \(\displaystyle\frac{20a}{81}\) 公升，

因此，酒精濃度為 \(\displaystyle\frac{20a}{20a+21b}=\frac{20\times0.3}{20\times0.3+21\times0.1}=0.740...\approx 74\%\)

作者: justhgink 時間: 2012-5-2 11:02

不好意思~想請問計算4和計算6~~~

計算4
已知\( x,y,z \in R \)，\( xyz=1 \)且\( x+y+z=0 \)。則這三個數中最大數的最小值為何？

計算6
已知函數\( f(x)=log(x+1) \)，\( g(x)=2log(2x+t) \)。若對\( \forall x \in [0,1] \)時，\( f(x) \le g(x) \)恆成立，求實數\(t\)的取值範圍。

作者: tsusy 時間: 2012-5-3 23:48 標題: 回復 28# justhgink 的帖子

這邊有 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2556

作者: justhgink 時間: 2012-5-4 06:46

感謝您~懂了!!!

作者: tsusy 時間: 2012-5-21 16:30 標題: 回復 17# 老王的帖子

今天正好和朋友討論此份試題，順帶把它 po 上來

關於計算 1 弄出了另一種作法

注意 \( \displaystyle \lim\limits_{\alpha \to 0} \frac{\sin\alpha}{\tan\alpha} = 1 \)，

所以可改寫為 \( \displaystyle \lim_{n\to\infty}a\cdot\frac{\sin\alpha}{\frac{a}{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{2R} \), 其中 \( R \) 為 \( \triangle APQ\) 之外接圓半徑。

再由正弦定理可得 \( \displaystyle R=(邊長之積)/(4面積)= \frac{\overline{AP}\cdot\overline{AQ}\cdot\frac{a}{n}}{4\cdot(\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{n}\cdot h)}=\frac{\overline{AP}\cdot\overline{AQ}}{2h}\to\frac{a^{2}}{8h} \)

所以所求 \( \displaystyle =\frac{4h}{a} \)。

作者: nanpolend 時間: 2012-11-23 01:22

填6?填9?
這兩線有交點(-5,-1,2)
此兩方向向量長度相等,相加減之向量為角平分向量,是為平面之法向量?
請教一下有圖形能畫出來方便思考嗎?
6.懂拉為另一平面的法向量
9.轉貼自美夢成真鋼琴老師
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6315#p6315

填充9
在\( \Delta ABC \)中，\(a\)、\(b\)、\(c\)分別為\(∠A\)、\(∠B\)、\(∠C\)的對邊長，且\( \displaystyle 2sin^2 \left( \frac{A+B}{2}\right)+cos 2C=1 \)，\( \displaystyle a^2=b^2+\frac{1}{2}c^2 \)，試求\( sin(A-B) \)的值為　　　。

作者: tsusy 時間: 2012-11-23 16:19 標題: 回復 32# nanpolend 的帖子

向量的平行四邊形加法

當平行四邊形的邊相等時，就變成菱形，而菱形的對角線平分該組對角

作者: deca0206 時間: 2015-8-13 03:49 標題: 回復 15# weiye 的帖子

想請問圖解部份，是如何看成在角平分線上的呢?

作者: weiye 時間: 2015-8-13 07:29 標題: 回復 34# deca0206 的帖子

OA=OB=2

AC//OB

所以角AOC = 角ACO = 角COB

註：剛剛發現，或是看上面寸絲的回覆（雖然是針對不同題）～也很適用。 XDDD

作者: deca0206 時間: 2015-8-13 13:44 標題: 回復 35# weiye 的帖子

謝謝老師，雖然我原本想問的是如何根據題目的數字來畫出那樣的圖，進而發現是角平分線？
原本是看不懂寸絲老師在筆記中所寫的解法，不過在剛才明白了，感謝

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