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標題: 100中正高中 [打印本頁]

作者: math614 時間: 2011-6-13 23:35 標題: 100中正高中

題目終於公布了~
不過我考的還真是爛阿! = ="

附件: 100中正第1次教師甄選數學試題及填充題答案.pdf (2011-6-13 23:35, 886.28 KB) / 該附件被下載次數 11011
https://math.pro/db/attachment.php?aid=514&k=a4e1c70d1e95c218748d969f14b1f319&t=1714305036

作者: RainIced 時間: 2011-6-14 19:02

想請問計算1.4.7.，以及填充4，謝謝。

作者: 紫月 時間: 2011-6-14 20:10

計算4，我目前是想到利用座標化的方式。

假設AB= 2t (填充題可以直接假設2)

設拋物線交圓錐底面於DE，則DO = SO = t

將之轉成上拋拋物線並座標化，即開口向上拋物線，以原點為頂點，通過(t,t)

推得方程式: \( x^2 = ty \)，故焦距 \( c = \frac{t}{4} \)

所以R點在SO上，且SR : SO = 1 : 4。

[ 本帖最後由紫月於 2011-6-14 08:11 PM 編輯 ]

作者: dream10 時間: 2011-6-14 21:47

計算1
第一種,直接假設ax^3+bx^2+cx+d 解a,b,c,d
第二種,99課綱的插值多項式
可以參考下列網址
https://math.pro/db/thread-1071-1-1.html

作者: 紫月 時間: 2011-6-14 21:48

記算第7...不知道對不對，也不知道有沒有更快的方法....

假設BC=2R，\(\displaystyle \angle B = \theta \)

得 \(\displaystyle AB = 2Rcos\theta，AC= 2Rsin\theta，高 = 2Rsin\theta cos\theta，椎體底圓周長 S= 4\pi Rsin\theta cos\theta \)

由扇形面積 = \(\displaystyle \frac{1}{2} Rs，S_1 = \frac{1}{2}\times 4\pi R^2sin\theta cos\theta (sin\theta +cos\theta)\)

設內切圓半徑 = r ，由面積 = rs ，可推得 \(\displaystyle r = \frac{2Rsin\theta cos\theta}{1+sin\theta +cos\theta}\)

\(\displaystyle S_2 = \frac{4\pi R^2sin^2\theta cos^2\theta}{(1+sin\theta +cos\theta)^2}\)

\(\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac{(sin\theta +cos\theta)(1+sin\theta +cos\theta)^2}{sin\theta cos\theta}\)

\(\displaystyle =2\times\frac{(sin\theta +cos\theta)(1+sin\theta +cos\theta)^2}{(sin\theta +cos\theta)^2-1}=2\times\frac{(sin\theta +cos\theta)(1+sin\theta +cos\theta)}{sin\theta +cos\theta -1}\)

令 \(\displaystyle X = sin\theta + cos\theta \)

\(\displaystyle \frac{S_1}{S_2}= 2\times \frac{X^2+X}{X-1} = 2\times (X-1+\frac{2}{X-1}+3)\)

又\(\displaystyle \theta 是銳角，1\leq X \leq\sqrt{2}\)

\(\displaystyle \theta = \sqrt{2} 時(最接近X-1 = \frac{2}{X-1})，有最小值 8+6\sqrt{2} \)

有錯誤請指正

[ 本帖最後由紫月於 2011-6-14 10:21 PM 編輯 ]

作者: liengpi 時間: 2011-6-16 23:25

今天拿到成績單
56分進複試

作者: Ellipse 時間: 2011-6-17 00:28

引用:

原帖由 liengpi 於 2011-6-16 11:25 PM 發表
今天拿到成績單
56分進複試

已經很厲害了!
希望能上榜!
加油!

作者: RainIced 時間: 2011-6-27 11:41

謝謝熱心板友的回答。
我想問
1.計算第三題
(我認為P(甲勝)是正確的，但是想不出另一種解題邏輯)
2.計算第五題，第一、三象限的角平分線我認為是指"x=y"，我這樣想對嗎？
謝謝。

作者: Rokam 時間: 2011-6-27 15:25 標題: 回復 8# RainIced 的帖子

1.另一種算法就是先把P(乙勝)算出來, 再用1-P(乙勝)=P(甲勝)

2.對指的就是X=Y

作者: rdrank 時間: 2011-6-28 10:59

老師好
我想請問填充第6題
我可以算出(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)=0的機率
但是接下來恰出現兩種點數的機率該怎麼做呢?
謝謝!

作者: Rokam 時間: 2011-6-28 11:10 標題: 回復 10# rdrank 的帖子

恰出現兩種點數= 兩同兩同 + 三同一異
X  | Y
---------
W |  Z
如上圖  兩同兩同的機率為6*2*5*1=60  (2是指選Y或W與X相同)
            三同一異的機率為6*1*5*4=120  (1是X=Y=W) (4是可以選X,Y,Z,W任一個做開始)

所以全部有60+120=180

因此本題的機率為180/666=10/37

作者: rdrank 時間: 2011-6-28 14:51 標題: 回復 11# Rokam 的帖子

謝謝Rokam老師的解答!!!

作者: maymay 時間: 2011-7-2 11:35 標題: 請教填充8,謝謝

作者: Rokam 時間: 2011-7-2 22:15 標題: 回復 13# maymay 的帖子

三角形ADE : 四邊形BCED = 2 : 3
所以三角形ADE : 三角形ACB = 2 : 5
又三角形ADE相似於三角形ACB

AE/AB = AD/AC = 根號(2/5) (因為面積比=邊長平方比)
cosA = AE/AB = AD/AC = 根號(2/5) = (根號10)/ 5

作者: maymay 時間: 2011-7-3 15:40 標題: 謝謝講解

作者: dennisal2000 時間: 2011-7-19 01:13

想請問填充四, 我是算有 335個2個倍數 134個5的倍數所以應該有134的0

但答案是167 請問我還遺漏了什麼呢?? 請指教

作者: weiye 時間: 2011-7-21 08:43

因為截痕為拋物線，所以 \(\overline{OS}//\overline{AB}\)

且因為 \(O\) 為 \(\overline{BC}\) 的中點，

所以 \(\displaystyle \overline{OS} = \frac{1}{2} \overline{AB}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{OS} = \frac{1}{2} \overline{AB} = \frac{1}{2} \overline{BC}\)

　　　　\(= \overline{OC} = \overline{OD}\)

所以，焦點 \(F\) 落在 \(\overline{OS}\) 線段上且 \(\displaystyle \overline{FS}=\frac{1}{4} \overline{OS}\) 。

註：我猜有人會問為蝦咪 \(\displaystyle \overline{FS}=\frac{1}{4} \overline{OS},\)

　　可由一般化的拋物線 \(y^2=4cx\) 將 \(D(t,t)\) 帶入，

　　可得 \(t^2 = 4ct \Rightarrow t=4c\)

　　所以，如上圖中 \(O\) 位置的點坐標為 \(O (4c,0)\)

　　焦點為 \(F(c,0)\)，頂點 \(S(0,0)\)

　　所以 \(\overline{OS} = 4 \overline{FS}\)

註二：寫完才發現很早紫月就回過了（本討論串第3篇）~~~囧：Ｐ：Ｐ

作者: money 時間: 2011-8-9 10:43 標題: 回復 16# dennisal2000 的帖子

基本上僅計算5 ,25,125,及625的倍數個數即可
您漏了25,125,625的倍數個數
另想請教計算2平面向量觀念解法
懇請版上高手解惑
感謝

[ 本帖最後由 money 於 2011-8-9 10:46 AM 編輯 ]

作者: money 時間: 2011-8-9 22:31

計算3的第二小題是否該考慮兩人皆不勝的情形(其機率為0.1)
故乙勝的機率為0.4
不知這樣算對不

[ 本帖最後由 money 於 2011-8-10 08:11 AM 編輯 ]

作者: Joy091 時間: 2011-8-9 22:42 標題: 回復 18# money 的帖子

計算2.

設 \(x,y\in R\) 且滿足 \(x^2+(y-1)^2=1\)，試求 \(\displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3}\) 的最大最小值?

向量方法 :

設 \(\displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3}=k\)，整理得 \((k-1)x+(-k-1)y=1-3k\)

令 \(\vec{a}=(x,y-1)\) ， \(\vec{b}=(k-1,-k-1)\)

則 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=x(k-1)+(y-1)(-k-1)=1\times\sqrt{(k-1)^2+(-k-1)^2}\cos{\theta}\)

而有 \(1-3k+k+1=\sqrt{(k-1)^2+(-k-1)^2}\cos{\theta}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \cos{\theta}=\frac{2-2k}{\sqrt{2k^2+2}}\)，

故 \(\displaystyle -1\leq\frac{2-2k}{\sqrt{2k^2+2}}\leq 1\)

\(\Rightarrow 2-\sqrt{3}\leq k \leq 2+\sqrt{3}\)

[ 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-9 10:52 PM 編輯 ]

作者: money 時間: 2011-8-10 08:16 標題: 回復 20# Joy091 的帖子

感謝Joy大解說

作者: sweeta 時間: 2011-9-13 20:18 標題: 回復 10# rdrank 的帖子

小的不才，想提供算　(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)=0　給大家參考
不知道版友們有沒有類似的想法
沒的話可以參考看看

可以先想(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)不等於0
其實等價於一個四等份的圓盤(不可旋轉)
用六種顏色上色，相鄰兩塊不得同色
如此便可寫成遞迴式的形式
可以算出共有　150 + 480 = 630　種著色法
所以(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)=0的方法數為 6^4 - 630 = 666

這樣算也是一種算法，提出來大家參考看看

作者: Jacob 時間: 2012-5-20 13:49 標題: 想請問填充第三跟第五題，謝謝!

想請問填充第三跟第五題，謝謝!

作者: shingjay176 時間: 2012-5-20 13:56 標題: 回復 23# Jacob 的帖子

填充題第三題，你要分開討論，當拋物線開口向上，此時K>0且與y軸的交點座標(0,2-k),2-k<0,圖形就一定會通過第四象限。取交集後，答案為k>2
另一種情形是拋物線開口向下，多劃幾種不同的拋物線，你就會發現，一定會通過第四象限。
所以最後答案為K>2或K<0

作者: shingjay176 時間: 2012-5-20 14:47 標題: 回復 23# Jacob 的帖子

解出來了，打完字，就放上來。容我偷懶，放圖片檔上來

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2012-5-20 04:36 PM 編輯 ]

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https://math.pro/db/attachment.php?aid=1118&k=f4cf821f88fd84a697118ef3e2bb353f&t=1714305036

作者: shingjay176 時間: 2012-5-20 15:09 標題: 回復 26# Jacob 的帖子

一定要滿足，不滿足的話，例如頂點在第三象限，跟原點相交，圖形就沒有過第四象限。

作者: Jacob 時間: 2012-5-20 15:12 標題: 回復 26# shingjay176 的帖子

抱歉,剛剛眼殘,謝謝興傑老師的講解

作者: Jacob 時間: 2012-5-20 17:33 標題: 回復 25# shingjay176 的帖子

謝謝興傑老師的解題!

作者: Jacob 時間: 2012-5-22 01:00

想請問計算2利用的"直線與圓"的觀念解法，與計算6，謝謝。

作者: weiye 時間: 2012-7-31 16:58 標題: 回復 30# wooden 的帖子

你的法二，

應該要令 \(z=p+qi\)，而不是 \(z=a+bi\)，以避免重複使用未知數 \(a\)，

因為題目的敘述當中已經使用了未知數 \(a\)。

※※ 題目並沒有說題述中的係數 \(a\) 為此方程式虛根的實部。

作者: wooden 時間: 2012-7-31 19:01

我懂了，犯了重複的錯，感謝速刪

作者: shingjay176 時間: 2014-3-16 21:15 標題: 回復 2# RainIced 的帖子

填充題第四題

[ 本帖最後由 shingjay176 於 2014-3-22 07:52 PM 編輯 ]

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圖片附件: 填充題第四題2.png (2014-3-16 21:15, 104.12 KB) / 該附件被下載次數 5303
https://math.pro/db/attachment.php?aid=2050&k=f0bd09fa8122aea76aefabfe068d8ecb&t=1714305036

作者: mathelimit 時間: 2014-10-27 21:31

請教計算 7，是否有更簡潔的作法呢? = =+

作者: tsusy 時間: 2014-10-28 18:41 標題: 回復 33# mathelimit 的帖子

計算7. 我的解法參考一下，基本上和 #5 的解是一樣的，只是沒有使用三角函數的記號

不失一般性，取 \( \overline{BC}=1 \), \( \overline{AB}=a \), \( \overline{AC}=b \)，則 \( a^{2}+b^{2}=1 \)，內切圓半徑 \( r=\frac{ab}{1+a+b} \)。

兩圓錐側面積和 \( =\frac{1}{2}\cdot(2\pi ab)(a+b)=\pi ab(a+b) \)。

\( \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\pi ab(a+b)(1+a+b)^{2}}{\pi a^{2}b^{2}}=4+2a+2b+\frac{2+2a+2b}{ab} \)。

令 \( t = a+b \)，則 \( \frac{S_{1}}{S_{2}}=6+2\cdot\left(\frac{2}{t-1}+t-1\right) \)。

又 \( 1< t \leq \sqrt{2} \)，以微分求極值，可得當 \( t=\sqrt{2} \) 時，有最小值 \( 8+6\sqrt{2} \)。

寫出來簡潔，是因為省略了一些計算的關係。看起來簡潔，但其實沒什麼意義，因為這樣的作法，是嘗試了不同的方法後，寫過一遍又一遍，最後才整理得到的一個稍微簡潔的方法。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-28 09:26 PM 編輯 ]

作者: anyway13 時間: 2017-2-20 00:36 標題: 請教計算第六題

請問版上老師

在寸絲老師的參考解答中提及

2個正三角形的面積恰好是以P點到各自頂點距離為邊長,所形成的三個正方形之和

可以請問一下,到底是怎麼看出來的呢?(悟力不夠)  這樣的題目如果改成別的數字

也是直接帶入公式做嗎?  謝謝!

ps:  座標化之後覺得自己的代入消去法真弱阿!

作者: anyway13 時間: 2017-2-20 23:41 標題: 已解決謝謝

版上老師好計算第六題, 有想到用旋轉就好了

謝謝大家!

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