Math Pro 數學補給站

標題: 100彰化女中 [打印本頁]

作者: 八神庵 時間: 2011-5-27 16:20 標題: 100彰化女中

如附件
請各位用力享用
有去考的可以分享計算題嗎?

附件: 100彰女.pdf (2011-5-27 16:20, 97.5 KB) / 該附件被下載次數 13850
https://math.pro/db/attachment.php?aid=387&k=f29c82cff2cf2802ea97fddb4a53384a&t=1714281055

作者: bugmens 時間: 2011-5-27 16:24

以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 68分
78,77,75,70,69,68,68
(68分有2人增額錄取參加複試)

60~63分 3人
50~59分 15人
40~49分 29人
30~39分 32人
20~29分 25人
10~19分 15人
0~ 9分 8人
缺考　　 2人

共計 136 人

附件: 100彰化女中初試成績.pdf (2011-5-27 16:50, 42.15 KB) / 該附件被下載次數 11287
https://math.pro/db/attachment.php?aid=388&k=cc1b2abcb39acf05e25caf358d3c7bca&t=1714281055

作者: bugmens 時間: 2011-5-27 16:31

1.
化簡\( \displaystyle \frac{1}{sin 10^o}-4sin70^o \)
(奧數教程　高一卷　第11講三角恆等變形)

5.
設\( a_n=7^n+8^n+9^n \)，其中\( n=1,2,3,... \)，試求\( a_{100} \)除以512的餘數為？

設\( a_n=7^n+8^n+9^n \)，其中\( n=1,2,3,... \)，試求\( a_{99} \)除以729的餘數為？
(98高中數學能力競賽　台北市筆試一試題)
https://math.pro/temp/hs_math_98.rar

13.
已知\( x,y,z \)為正實數，且滿足\( xyz(x+y+z)=8 \)，則\( (x+z)(y+z) \)的最小值為？

若三正數\( x,y,z \)滿足\( xyz(x+y+z)=25 \)，則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919

已知\( x,y,z \)是正数，且满足\( xyz(x+y+z)=1 \)，则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为？
(新奧數教程高二卷第2講　平均不等式和科西不等式，高中數學101　P353)

圖片附件: 奧數教程高一第11講三角恆等變形.gif (2011-5-27 17:30, 16.19 KB) / 該附件被下載次數 8160
https://math.pro/db/attachment.php?aid=389&k=73f8e59d025cb660a6280b9c0dde9e46&t=1714281055

作者: hua77825 時間: 2011-5-27 16:38

能否請問一下老師們

第12 15 17嗎，感謝

作者: weiye 時間: 2011-5-27 17:48

第 15 題
編號1，2，3，……，9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片任選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。請問甲有兩回合獲勝的情形有幾種？
[解答]
由 9 個號碼中選出 6 個，

這六個號碼由小到大，分配給甲乙兩人的情況只有可能為

　　乙乙甲甲甲乙，乙甲乙甲甲乙（←甲輸了最大數）

　　乙甲甲乙乙甲（←甲輸了中間數）

　　甲乙乙甲乙甲，甲乙乙乙甲甲（←甲輸了最小數）

所以，所求為 \(C^9_6\cdot5=420\) 種。

作者: bugmens 時間: 2011-5-27 18:56

12.
坐標平面上，已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \)，P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
[解答]
取\( F(-4,0) \)，作射線\( \overline{FB} \)交橢圓於P
P即為所求

證明：
在橢圓上任取一點Q
\( F(-4,0)，A(4,0) \)為橢圓的兩焦點，\( 2a=12 \)
由橢圓定義可知
\( \overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF} \)
\( \overline{QA}+\overline{QF}=2a \)
△A'BP'的三角不等式
\( \overline{QB}+\overline{BF} \ge \overline{QF} \)

\( \overline{QB}-\overline{QF} \ge -\overline{BF} \)

\( 2a-\overline{QF}+\overline{QB} \ge 2a-\overline{BF} \)

\( \overline{QA}+\overline{QB} \ge \overline{PA}+\overline{PB} \)
當\( P=Q \)時等號成立

給定\( A(-2,2) \)，已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的動點，F是左焦點，當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3}\overline{BF} \)取最小值時，求B的坐標？
(1999大陸高中數學競賽)
雖然這題看起來和上一題有點類似，但多乘了\( \displaystyle \frac{5}{3} \)倍，整個解法就完全不同。

圖片附件: 第12題.gif (2011-5-27 19:32, 19.6 KB) / 該附件被下載次數 8256
https://math.pro/db/attachment.php?aid=390&k=356e735e62742c63ec19d1d846ad1102&t=1714281055

作者: 八神庵 時間: 2011-5-28 23:25

引用:

原帖由 hua77825 於 2011-5-27 04:38 PM 發表
能否請問一下老師們

第12 15 17嗎，感謝

第17題
夜市裡流行著一個遊戲。
遊戲規則是：參賽者必須先付10元再擲一粒公正的骰子，若出現1點或6點，則進入甲套玩法，否則選擇乙套玩法。
甲套玩法：同時取5枚銅板丟擲一次，每出現一個正面可贏得獎金2元。
乙套玩法：只取一枚銅板丟擲5次，在丟擲過程中，出現第\(k\)個正面可贏得獎金\(k\)元，\(0\le k \le 5\)。
試求：玩一次這個遊戲，得獎金期望值為　　　元。

請見
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519

作者: aonzoe 時間: 2011-5-30 10:52 標題: 回復 7# 八神庵的帖子

看了附件仍然不懂為何:
\(\displaystyle arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\ldots\)
可以請老師再說明一下嗎？

作者: weiye 時間: 2011-5-30 12:24 標題: 回復 8# aonzoe 的帖子

泰勒展開式.

作者: Herstein 時間: 2011-5-31 01:02

想請教第16題，感謝

作者: dream10 時間: 2011-5-31 07:45

第16題
設聯立不等式\(\cases{\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\le 1\cr |\;y|\;\le 2}\)在坐標平面上所圍成的區域為\(R\)，求此區域\(R\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉體體積為　　　。
[解答]
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519

作者: loui315 時間: 2011-5-31 10:28

可否請教第11題的解題方向

以及第18題始終算不出所公佈的答案

作者: 老王 時間: 2011-5-31 17:30 標題: 回復 12# loui315 的帖子

11題
四邊形\(ABCD\)為圓內四邊形，\(\overline{AC}\)為直徑且\(\overline{AC}=2\)，又\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\)，\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)相交於\(E\)點，則\(\overline{BD}\)長度為　　　。
[解答]
假設\(\displaystyle \vec{AE}=k\vec{AC}=\frac{3k}{2}\vec{AB}+\frac{5k}{2}\vec{AD} \)
\(\displaystyle \frac{3k}{2}+\frac{5k}{2}=1 \)
\(\displaystyle k=\frac{1}{4} \)
所以\(\displaystyle AE=\frac{1}{2} \)
以及\(\displaystyle \vec{AE}=\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AD} \)
那就知道\(\displaystyle BE : DE=5:3 \)
設為\(\displaystyle BE=5t,DE=3t \)
由圓冪定理\(\displaystyle AE \times EC=BE \times ED \)
解出\(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{20}} \)
那麼\(\displaystyle BD=8t=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)

作者: 老王 時間: 2011-5-31 17:42 標題: 回復 12# loui315 的帖子

18題
設雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1\)的右頂點為\(A\)，右焦點為\(F\)，過點\(F\)平行於雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交於\(B\)點，則\(\Delta AFB\)的外接圓半徑長為　　　。
[解答]
\(A(1,0)\)，\(F(2,0)\)
計算B
選一條漸近線就好(因為對稱)，選斜率為\(\displaystyle \sqrt3 \)
直線\(\displaystyle y=\sqrt3(x-2) \)代入雙曲線求交點得到
\(\displaystyle B(\frac{5}{4},-\frac{3\sqrt3}{4}) \)
\(\displaystyle AB=\frac{\sqrt7}{2} \)
\(\displaystyle \angle{AFB}=60^o \)
\(\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin60^o}=\frac{\sqrt{21}}{3} \)
\(\displaystyle R=\frac{\sqrt{21}}{6} \)

作者: Herstein 時間: 2011-6-1 00:02

計算題有兩題，我是憑印象記下來的
我只記得第一題，有一些敘述我記不太清楚，可能有所遺漏1. a,b 屬於實數， lim f(x) / (x-1) =a , lim f(x) / (x-2) = b ,
x->1 x->2
(1) 求 f(1) +f(2)
(2) ab>0 , 證明: f(x) =0 在 1<= x <= 2 至少有三個實根

作者: milkie1013 時間: 2011-6-1 13:13 標題: 想請教填充一.3和填充二 3.6

想請教填充一.3和填充二 3.6
謝謝大家!!

作者: 老王 時間: 2011-6-1 14:53 標題: 回復 16# milkie1013 的帖子

填充一3
求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)　　　。
[提示]
前後都趨近正無限大

填充二3
袋中有55個顏色及大小均相同的球，僅編號不同，分別是1號球1個，2號球2個，3號球3個，…，10號球10個，今自袋中任取4球，則取出的情形有　　　種。
[解答]
只看取出情況，意即只看取到的號碼狀況，分成
4:C(7,1)=7
3+1:C(8,1)*C(9,1)=72
2+2:C(9,2)=36
2+1+1:C(9,1)*C(9,2)=324
1+1+1+1:C(10,4)=210
全部相加得到649

填充二6
\(n\)為自然數，已知\(1\le n \le 2011\)，若\(a_n=log_9 n\)為有理數，則所有\(a_n\)的總和為　　　。
[解答]
\(\displaystyle a_n=\log_9 n=\frac{1}{2}\log_3 n \)
所以n要為3的指數，有1,3,9,27,81,243,729
總和為\(\displaystyle \frac{1}{2}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{2} \)

作者: milkie1013 時間: 2011-6-1 21:41 標題: sorry~~我發現我是要問填充二.2

引用:

原帖由老王於 2011-6-1 02:53 PM 發表
填充一3
前後都趨近正無限大

我的想法是:上下同乘(x^2-x+1)^(1/2)+x
如此一來分子變成1-x
分母變成(x^2-x+1)^(1/2)+x
再上下同除x
那就變成-1/2
那A安捏??
...

作者: 老王 時間: 2011-6-1 22:38 標題: 回復 18# milkie1013 的帖子

填充一3
求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)　　　。
[提示]
如果用反有理化，問題出在同除以x的時候，
因為x是負值，所以拿到根號裡面時，外面要留一個負號，這樣分母就是0了。

填充二2
對實數\(a\)和\(b\)，定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\)，則\([\;x]\;\)的值為　　　。
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
意思就是要解2^x+x^2=2011
分成x>0和x<0來看
在x>0，2^x和x^2都嚴格遞增，所以只有一解，然後就代數字
x=10，2^10+10^2<2011
x=11，2^11+11^2>2011
所以這邊的解的高斯值為10
當x<0，0<2^x<1，所以不大需要去管他
(-44)^2=1936，(-45)^2=2025
所以解介於-44,-45之間，所以高斯值為-45

作者: Ellipse 時間: 2011-6-1 22:39 標題: 回復 18# milkie1013 的帖子

填充二.2
對實數\(a\)和\(b\)，定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\)，則\([\;x]\;\)的值為　　　。
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
2*x=2^x+x^2=2011
令f(x)=2^x+x^2-2011
因f(10)=2^10+10^2-2011<0且f(11)=2^11+11^2-2011>0
由勘根定理得在10~11間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=10. ... ,[x]=10

又因f(-44)=2^(-44)+(-44)^2-2011<0且f(-45)=2^(-45)+(-45)^2-2011>0
由勘根定理得在-45~-44間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=-44. ... ,[x]=-45
所求=10或-45

作者: milkie1013 時間: 2011-6-1 23:20 標題: 回復 19# 老王和 Ellipse 的帖子

感謝兩位!!

作者: maymay 時間: 2011-6-7 22:38 標題: 請教一.填充的4和5,謝謝

作者: t3712 時間: 2012-3-29 15:10

填充5
計算\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left[\frac{n}{(2n+1)^2}+\frac{n}{(2n+2)^2}+\frac{n}{(2n+3)^2}+\ldots+\frac{n}{(2n+n)^2}\right]\)的值為　　　。
[解答]
各項分子分母同除以n=>離曼和的形式

原式=積分從0到1 (2+x)^(-2) dx

作者: weiye 時間: 2012-3-29 19:10 標題: 回復 22# maymay 的帖子

第 4 題：
求\(\displaystyle \int_{-2}^2 |\;2+x-\sqrt{4-x^2}|\;dx=\)　　　。
[解答]

綠色區域面積＝\(\triangle ABC\) 的面積＝\(4\)

圖片附件: qq.png (2012-3-29 19:10, 19.71 KB) / 該附件被下載次數 5592
https://math.pro/db/attachment.php?aid=974&k=da727e860e39d811487c7b4d830e0bae&t=1714281055

作者: t3712 時間: 2012-3-30 11:41

小弟想請問填充二.1.

我自已的想法是 n+2| 2011-n，得到 n+2|2013，但是要扣掉n+2=1與n+2=2013兩種

2013=3*11*61，所以n+2=3,11,33,61,183,671

所以有6種情況：2011=1+3*671=9+11*182=31+33*60=59+61*32=...=669+671*2

但是因為整個圖形對對角線對稱，每個數應出現兩次，所以2011總共出現12次。但是答案是：6種。

我自己想了一天，不知道某個地方沒想到，請老師們幫我看看，感謝^^。

作者: weiye 時間: 2012-3-30 17:10 標題: 回復 25# t3712 的帖子

那六個數字沿對角線對稱之後~ 還是相同的那六個啦，本來就有算到，不需要再乘兩倍。

填充二的第 1 題：

第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元素是 \(2i+(j-1)\cdot(i+1)=(i+1)(j+1)-2\)

若 \((i+1)(j+1)-1=2011 \Rightarrow (i+1)(j+1)=2013=3\cdot11\cdot61\)

因此 \((i+1, j+1)\) 的非負整數解有 \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) 組

但因為 \(i,j\) 皆為正整數，所以 \(i+1=1\) 與 \(j+1=1\) 都不合，

所以，共有 \(6\) 組 \((i,j)\) 的正整數解，會使得第 \(i\) 列第 \(j\) 行為 \(2011.\)

作者: t3712 時間: 2012-3-30 19:56 標題: 回復 26# weiye 的帖子

原來如此，是我多慮了

感謝瑋岳老師

作者: mandy 時間: 2012-4-1 20:44 標題: 回復 6# bugmens 的帖子

請問１９９９大陸競賽此題如何解?

作者: Ellipse 時間: 2012-4-1 21:25

引用:

原帖由 mandy 於 2012-4-1 08:44 PM 發表
請問１９９９大陸競賽此題如何解?

令a=5 ,b=4 ,c=3 ,e=c/a=3/5為離心率
假設L:x=-a^2/c為橢圓的左準線
依定義知(1/e)*BF=(5/3)BF=d(B,L)
假設BD垂直L,垂足為D點
當D,B,A為一直線時,(5/3)*BF+BA=DB+BA有最小值
此時B點的y坐標為2,代入x^2/25+y^2/16=1
解得x=-(5/2)*3^0.5
此時B(-(5/2)*3^0.5,2)

作者: bugmens 時間: 2012-4-8 05:26

感謝Ellipse幫忙解題，我補充書上的解答
給定\( A(-2,2) \)，已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的切點，F是左焦點，當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3} \overline{BF} \)取最小值時，求B的坐標
(奧數教程　高二　第15講　二次曲線)

圖片附件: 奧數教程高二第15講二次曲線.gif (2012-4-8 05:26, 96.39 KB) / 該附件被下載次數 4519
https://math.pro/db/attachment.php?aid=985&k=ed357b40be52aca365f95bc429f1aca5&t=1714281055

作者: shingjay176 時間: 2012-4-27 16:46

一填充題，第二題要如何下筆勒，請各位老師指點

作者: Ellipse 時間: 2012-4-27 18:49

引用:

原帖由 shingjay176 於 2012-4-27 04:46 PM 發表
一填充題，第二題要如何下筆勒，請各位老師指點

Sigma{ n=1 to ∞} (-1)^n+1 /(4n-2)
=1/2 - 1/6 + 1/10 -1/14 +1/18-..........+..............
=(1/2)*(1- 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -........+...........)
=(1/2 )*π/4 =π/8

π/4 =1- 1/3 + 1/5 -1/7 + 1/9 -........+...........為萊布尼茲級數

作者: shingjay176 時間: 2012-4-27 18:55 標題: 回復 32# Ellipse 的帖子

感謝解答。

作者: bluemo 時間: 2012-5-16 21:11

想請教各位老師
填充二、8和11

作者: Ellipse 時間: 2012-5-16 21:29

引用:

原帖由 bluemo 於 2012-5-16 09:11 PM 發表
想請教各位老師
填充二、8和11

#8
(28,2009)=7
28/7=4
為正方形

#11
前面有回答過了
請爬文~

作者: 阿光 時間: 2012-6-9 07:23

想請教填充第2題的詳解,謝謝

作者: anyway13 時間: 2018-1-13 12:31 標題: 請教第八題

請問版上老師,第八題的答案為什麼不會是正28邊形呢?

爬文後老師的算式28/7=4然後得到正方形的結論

真的不懂,請賜教.

作者: tsusy 時間: 2018-1-13 12:53 標題: 回復 37# anyway13 的帖子

第8題，想不通的時候，可以把數字改小，改去容易計算可驗證的數據

從計算之中，自己就會發現原因

例： \( z^6 = 1 \) 的六個根分別為 \( t_k = \cos \frac{k\pi}{3} + i \sin \frac{k\pi}{3} \), \( k=1,2,3,4,5,6 \)

\( t_1^8 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \)
\( t_2^8 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \)
\( t_3^8 = 1 \)
\( t_4^8 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \)
\( t_5^8 = \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \)
\( t_6^8 = 1\)

發生了什麼事，還有原題怎麼做，就留給看的人自己想完、補完了

作者: anyway13 時間: 2018-1-13 15:30 標題: 回復 38# anyway13 的帖子

清楚明瞭,謝謝寸絲老師

作者: satsuki931000 時間: 2018-12-15 21:48

想請問第13題

作者: thepiano 時間: 2018-12-15 23:01 標題: 回復 40# satsuki931000 的帖子

第 13 題
bugmens 老師有提示
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=1#pid3271

作者: 王重鈞 時間: 2018-12-17 19:19 標題: # 第十三題

另解參考

圖片附件: BFC4EC0B-C23D-4B8A-B0E8-B3109A019508.jpeg (2018-12-17 19:19, 150.53 KB) / 該附件被下載次數 3828
https://math.pro/db/attachment.php?aid=4760&k=b26818b26a7f0f7e401d533a81ed0119&t=1714281055

作者: Lyndagm 時間: 2021-3-29 19:42 標題: 各位老師好～

想請教彰女的第22題
一直都不太會這種題型～
想問問各位老師還有沒有類似題能夠讓我一起練習的呢？
十分感謝

作者: satsuki931000 時間: 2021-3-30 08:19 標題: 回復 43# Lyndagm 的帖子

你的22是哪題

作者: Lyndagm 時間: 2021-3-30 21:44 標題: 回復 44# satsuki931000 的帖子

我後來有問到這題的解法了，是自己不小心卡關～
十分感謝您回覆我～

歡迎光臨 Math Pro 數學補給站 (https://math.pro/db/)

論壇程式使用 Discuz! 6.1.0