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標題: 求圓上一動點與圓外兩定點所形成三角形的外心軌跡 [打印本頁]

作者: weiye    時間: 2011-3-20 21:55     標題: 求圓上一動點與圓外兩定點所形成三角形的外心軌跡

有朋友問過的題目,解完就PO上來紀錄一下。

臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題(連結已失效h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6)
98筆試一

第 5 題:給定坐標平面上兩點\(A ( 0 , 6 )\)、\(B ( 8 , 6 )\)與一圓 \(\Gamma :x^2+y^2=20\)。對於圓 \(\Gamma \) 上每一點 \(P\) ,令 \(O_P\) 表示 \(\triangle ABP\) 的外心,試寫出全體外心所成的集合。



解答:

設 \(P (2\sqrt{5} \cos\theta, 2\sqrt{5} \sin\theta)\),

顯然 \(\overline{AB}\) 的中垂線方程式為 \(x=4\),

令 \(M\) 為 \(\overline{AP}\) 的中點,則 \(M\) 坐標為 \((\sqrt{5} \cos\theta, 3+\sqrt{5} \sin\theta)\),

\(\overrightarrow{AM}\) 向量為 \((\sqrt{5} \cos\theta, \sqrt{5} \sin\theta-3)\),

\(\overline{AP}\) 的中垂線方程式為 \(\sqrt{5} \cos\theta \cdot x+\left(\sqrt{5} \sin\theta-3\right) y=\sqrt{5} \cos\theta \cdot \sqrt{5} \cos\theta+\left(\sqrt{5} \sin\theta-3\right) \cdot \left(\sqrt{5} \sin\theta+3\right)\),

             \(\Rightarrow\sqrt{5} \cos\theta \cdot x+\left(\sqrt{5} \sin\theta-3\right) y=-4\)

將 \(x=4\) 帶入,可以找出 \(\triangle ABP\) 的外心的 \(y\) 坐標會滿足 \(4\sqrt{5} \cos\theta+y \sqrt{5} \sin\theta=3y-4\)

所以,利用 \(\left|4\sqrt{5} \cos\theta+y\sqrt{5} \sin\theta\right|\leq\sqrt{(4\sqrt{5})^2+(y\sqrt{5})^2}\) (還是用疊合來說明也一樣),

   可得 \(\left|3y-4\right|\leq\sqrt{(4\sqrt{5})^2+(y\sqrt{5})^2}\Rightarrow -2\leq y\leq8\)

故, \(\triangle ABP\) 的全體外心所成的集合為 \(\left\{(x,y)\Big| x=4, -2\leq y\leq8\right\}.\)



作者: 老王    時間: 2011-3-21 18:06

從外接圓的觀點來看,就是要通過A、B兩點,而且跟圓O有交點,
所以只要找出圓心在x=4上,且與圓O內切外切的圓心坐標,就好了。
作者: weiye    時間: 2011-3-22 08:59

引用:
原帖由 老王 於 2011-3-21 06:06 PM 發表
從外接圓的觀點來看,就是要通過A、B兩點,而且跟圓O有交點,
所以只要找出圓心在x=4上,且與圓O內切外切的圓心坐標,就好了。
Follow 老王老師的想法,

設 \(\triangle ABC\) 外接圓的圓心為 \((4,t)\),可以列出兩個式子

外切時:\(\sqrt{4^2+\left(y-6\right)^2}+2\sqrt{5}=\sqrt{4^2+y^2}\Rightarrow y=8\)

內切時:\(\sqrt{4^2+\left(y-6\right)^2}-2\sqrt{5}=\sqrt{4^2+y^2}\Rightarrow y=-2\)

故,所求\(=\left\{(x,y)\Big| x=4, -2\leq y\leq8\right\}.\)

感謝老王老師。





列完才發現,這兩種情況剛好是~~

以 \((0,0) ,(0,6)\) 為焦點且 \(2\sqrt{5}\) 貫軸長的雙曲線,與 \(x=4\) 的交點。

也就是解聯立方程式 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle-\frac{x^2}{4}+\frac{\left(y-3\right)^2}{5}&=1\\x&=4\end{array}\right.\Rightarrow y=-2,\mbox{ or }8.\)

^^~




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