計算第 2 題的(2)
因為 \(\displaystyle a_n=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}\)，注意其中 \(\displaystyle0<\frac{\beta}{\alpha}<1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n=0.\)
所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha.\)
註：感謝 nathan 於後方回覆中提醒小弟的加減號有錯！已修正。^__^
計算第 3 題
如上圖，取三角形三邊中點，並將之連接，
可以將題目所給之三角形分成四個小三角形區域，
則在大三角形內部任取五點時，必至少有兩點落在同一個小三角形的區域內，
因為小三角形內任兩點最遠距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)（即小三角形的邊長），
所以在大三角形內部任取的五點中，
至少有兩點的距離不超過 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)。
計算第 4 題
\(\displaystyle \int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx=t^3+3t\)
\(\displaystyle\Rightarrow\frac{d}{dt}\left(\int_0^t \pi \left(f(x)\right)^2dx\right)=\frac{d}{dt}\left(t^3+3t\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow\pi\left(f(t)\right)^2=3t^2+3\)
\(\displaystyle\Rightarrow f(t)=\pm\sqrt{\frac{3t^2+3}{\pi}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow f(x)=\pm\sqrt{\frac{3x^2+3}{\pi}}.\)
