請教第2題，根據1990大陸高中數學競賽
算到後來，S = 2 -  1 / 2^(n-1)  -  n / 2^n
若S+ 1 / 2^10 為整數，除了n=10、11、12、13、14、.....一個一個代，
是否還有另外看法，感謝。(雖然只代到14就合)

第二題，合並兩個分數項
\(\displaystyle \frac{n+2}{2^n} = \frac{1}{2^{10}} + \) 整數
檢查 \( n=1,2 \) 不合，而 \( n\geq 3 \) 時，\(\displaystyle \frac{n+2}{2^n}<1 \)
故 \(\displaystyle \frac{n+2}{2^n} = \frac{1}{2^{10}} \Rightarrow n+2 = 2^{n-10} \)

\( n+2 \) 需為 \( 2^k \) 之形式，且 \( n\geq 10 \)

故可能之 n 有 \( 14,30,62,\ldots \)，再檢查發現只有 \( n=14 \) 成立，其它 \( 2^{n-10} \) 大於 \( n+2 \)

感謝。相當清楚。

請教填充第3題，感謝。

如圖，兩個全等之矩形置於一直角三角形內，並使其一長邊各與三角形之一股重合。設兩股長\(a,b\)可以調整，又設矩形短邊長為\(mb\)，則\(m\)之最大值為　　　。

填充第 3 題
設FH垂直BC於H
利用\(\displaystyle \frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{FH}}{\overline{HC}}\)，可求出\(\displaystyle m=\frac{{{a}^{2}}-ab}{{{a}^{2}}-ab-{{b}^{2}}}\)，剩下的就留給您了

=>   ma^2-mab-mb^2=a^2-ab
=>   (m-1)a^2 + (b-mb)a -mb^2 = 0  同除 b^2  令 x=a/b
=>   (m-1) x^2 + (1-m) x - m =0    x  有解
=>   (1-m)^2 - 4(m-1)(-m) >=0
=>   5m^2 - 6m +1 >=0
=>   m<= 1/5   m>=1(不合)  完成。 感謝。

請教計算第3題，﹝證明您的結論﹞← 這應該怎麼寫比較好？(一平面割一球直覺就是圓) 感謝。

請教填充第8題(原#3連結已失效)，感謝。

第 8 題
把\({{x}^{2}}+3{{y}^{2}}=156\)先變換成\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=156\)
\(A\left( 12,-2 \right)\)變換成\(A\left( 12,-2\sqrt{3} \right)\)
利用圓內接正三角形面積最大，求出另二點座標，再變換回去求其長

感謝，原來伸縮可以解決。