第 9 題
設函數 \(f:[1,3]\to\mathbb{R}\) 定義為 \(\displaystyle f(x)=\int_1^x\frac{1}{[t]}dt\),其中 \([t]\) 為高斯整數。
(1) \(f\) 在 \(x=2\) 是否連續? (2) \(f\) 在 \(x=2\) 是否可微?
解答:
若 \(1\leq x<2\),則 \(\displaystyle f(x)=\int_1^x 1dt = x-1.\)
若 \(2\leq x<3\),則 \(\displaystyle f(x)=\int_1^2 1dt+\int_2^x \frac{1}{2} dt= \frac{x}{2}.\)
所以畫出 \(y=f(x)\) 的圖形,
可得 \(f\) 在 \(x=2\) 時,連續、不可微。