要有反函數  本身一定是個1-1函數
所以當\(a=0 \) 必有反函數
若\(a>0\)或\(a<0\)  拿去微分  一定是遞增或遞減

所以最後的結果是 \(a\ge0\)

選擇第一題
由 thepiano 發表於 2010年 6月 15日, 12:59
第 1 題
設\(f(x)=x^{4-logx}\)且\(1\le x\le10000\)，當\(x=a\)時，\(f(x)\)有最大值\(b\)；當\(x=c\)時，\(f(x)\)有最小值\(d\)，則\(b+d=\)？
(A)10000　(B)10001　(C)20000　(D)20001　(E)20004
[解答]
logf(x) = (4 - logx)logx = -(logx)^2 + 4logx
f(x) = 10^[-(logx)^2 + 4logx] = 10^[-(logx - 2)^2 + 4]
易知
x = 100，logx = 2 時，f(x) 有最大值 10^4
x = 1 or 10000，logx = 0 or 4 時，f(x) 有最小值 1
c+d=10000+1=10001..........選(B)

由 thepiano 發表於 2010年 6月 8日, 13:27
選擇第二題
設\(a,b\)均為大於2的整數，已知\(\displaystyle \frac{3b-1}{a}\)和\(\displaystyle \frac{3a-1}{b}\)均為整數，求\(a\)的所有可能值之和為何？
(A)12　(B)15　(C)18　(D)24　(E)27
[解答]
易知 a ≠ b
由於對稱，先設 a ＞ b
(3b - 1) / a ＜ (3a - 1) / a = 3 - 1/a ＜ 3
故(3b - 1) / a = 1 or (3b - 1) / a = 2
(1) 3b - 1 = a
(3a - 1) / b = (9b - 4) / b = 9 - 4/b 為整數
b = 4，a = 11(因為a,b都大於2)
(2) 3b - 1 = 2a
(3a - 1) / b = (9b/2 - 5/2) / b = (9b - 5) / (2b) = 4 + [(b - 5) / (2b)] 為整數
b = 5，a = 7(因為a,b都大於2)
由於對稱 a=4,5,7,11
所求 = 4 + 5 + 7 + 11=27.............. 選(E)

由 thepiano 發表於 2010年 6月 8日, 13:27
選擇第 3 題
設方程式\(x^3+3x^2+px-q=0\)之三根成等差，而方程式\(x^3+(1-p)x^2-(1+q)x-8=0\)之三根成等比，求\(p^2+q^2=\)？
(A)10　(B)14　(C)18　(D)20　(E)24
[解答]
運用一元3次的根與係數關係
令x^3 + 3x^2 + px - q = 0 之三根為 a - d，a，a + d
x^3 + (1 - p)x^2 - (1 + q)x - 8 = 0 之三根為 b/r，b，br
a - d + a + a + d = -3
a = -1
p = 3 - d^2，q = d^2 - 1
p + q = 2..........(1)
b/r * b * br = 8
b = 2
p - 1 = 2/r + 2 + 2r
-(1 + q) = 4/r + 4r + 4 = 2(p - 1)
2p + q = 1........(2)
解(1)(2)得 p = -1，q = 3
p^2+q^2=10.........(A)

選擇第 4 題
投擲兩個6面的公正骰子,求其點數和為4會出現在點數和為7之前的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{2}\)　(B)\(\displaystyle \frac{1}{3}\)　(C)\(\displaystyle \frac{1}{4}\)　(D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)　(E)\(\displaystyle \frac{3}{4}\)
[解答]
4點機率:3/36=1/12
7點機率:6/36=1/6
非4點非七點機率:1-1/12-1/6=3/4
第一次出4點+第二次出4點+第三次出4點+........
1/12+1/12*3/4+1/12(3/4)^2+........
無窮等比級數=1/12/(1-3/4)=1/3.........(B)

選擇第 5題
設\(\{\;a_n \}\;\)為一數列，\(a_1=a_2=1\)，\(a_3=a_4=2\)，對於任意正整數\(n\)，滿足\(a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\ne 1\)且\(a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\cdot a_{n+4}=a_n\cdot a_{n+1}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+3}\cdot a_{n+4}\)，則\(a_1+a_2+\ldots+a_{200}=\)？
(A)320　(B)360　(C)400　(D)440　(E)480
[解答]
a5=2,a6=1.......
代入可得1,1,2,2,2,1,1,2,2,2.....五循環
(1+1+2+2+2)*200/5=320...........(A)

選擇第 7題
1點到10點的10張撲克牌隨機均分給\(A,B\)兩人各5張，則\(B\)之點數和小於等於18的機率(\(Pr(B\)之點數和\(\le18)\))最接近以下那個數？
(A)0.028  (B)0.051  (C)0.082  (D)0.11  (E)0.181
[解答]
樣本空間=C(10,5)=252
組合數=和18+和17+和16+和15
由小排到大的組合數(逐次+1)
和15:1,2.3,4,5
和16:1,2,3,5,6
和17:1,2,3,5,6
          1,2,3,4,7
和18:1,2,4,5,6
          1,2,3,5,7
          1,2,3,4,8
共7組
機率=7/252=0.028(四捨五入).............(A)

選擇第8題
\( \sqrt{n}+\sqrt{m}=\sqrt{2527} \)，\( n>m>0 \)，則\( (n,m) \)有幾組正整數解。
(A)2　(B)3　(C)5　(D)7　(E)9
[解答]
√ 2527=19 √ 7
√n + √ m= √ 19 √ 7
依序解為18 √ 7+ √ 7
                17 √ 7+ 2√ 7
                 ........
                 10 √ 7+ 9√ 7 共9組..................(E)

選擇第9題
甲乙丙丁四個嫌犯向警方招供：
甲說：案子是丙幹的
乙說：不是我幹的
丙說：案子是丁幹的
丁一聽丙的話，立刻說：丙說謊！
已知四人中有一人，且只有一人說實話，請找出案子是誰幹的。
(A)甲  (B)乙  (C)丙  (D)丁 (E)非以上四者
[解答]
其中一個為真共有四種可能性
甲 T 乙 F 丙 F 丁 F    ×
甲 F 乙 T 丙 F 丁 F    ×
甲 F 乙 F 丙 T 丁 F    ×
甲 F 乙 F 丙F 丁 T     ○
乙做的.............(B)

選擇第10題
袋中有3個紅球，7個黑球，自袋中隨機取出3個球，取法分別為下列兩種
(i)一次取一個，取後放回，(ii)一次取一個，取後不放回；求取到紅球個數的期望值？
(A)(i)答案為\(\displaystyle \frac{9}{10}\)　(B)(ii)答案為\(\displaystyle \frac{9}{10}\)　(C)(i)答案為\(\displaystyle \frac{8}{10}\)　(D)(ii)答案為\(\displaystyle \frac{8}{10}\)　(E)(ii)答案為\(\displaystyle \frac{7}{10}\)
[解答]
3R7B
取後放回和取後不放回期望值應該一樣
以下為推導
取後放回
3/10*3=9/10
取後不放回
一個(3/10*7/9*6*/8*3)*1
二個(3/10*2/9*7/8*3)*2
三個(3/10*2/9*1/8)*3
共9/10
結果一樣選...................(A)(B)