13 12
發新話題
打印

99 東山高中教甄

推到噗浪
推到臉書

99 東山高中教甄

為蒐集大多數學校的考題供後人參考,

本試題題目與參考解答,經 ptt 的 demon 網友同意轉錄. 感謝. ^___^

因小弟重新排版修飾,如有打字錯誤,希望網友不吝告知,感謝.

附件

99dssh.pdf (207.03 KB)

2010-5-18 16:25, 下載次數: 2820

99dssh(LaTeX_source).rar (1.61 KB)

2010-5-18 16:25, 下載次數: 2254

TOP

請問一題

請問第6題

TOP

第 6 題:求 \(\displaystyle \sum_{k=0}^{100} \left(x+\frac{k}{100}\right)^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\) 之值.



把完全平方展開,然後利用

1. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}100x \cdot C^{99}_{k-1}x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}=100x\times 1^{99}=100x\)

2. \(\displaystyle \sum^{100}_{k=0}k^2C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}=\sum^{100}_{k=1}\left(k\left(k-1\right)+k\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)

 \(\displaystyle=\sum^{100}_{k=1}k\left(k-1\right)C^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}kC^{100}_k x^k\left(1-x\right)^{100-k}\)

 \(\displaystyle=\sum^{100}_{k=2}100\cdot99\cdot x^2 C^{98}_{k-2} x^{k-2}\left(1-x\right)^{100-k}+\sum^{100}_{k=1}100\cdot x C^{99}_{k-1} x^{k-1}\left(1-x\right)^{100-k}\)

 \(\displaystyle=100\cdot99 x^2\times 1^{98}+100x\times 1^{99}=9900x^2+100x\)

可得所求為 \(\displaystyle x^2+2\cdot x\cdot\frac{1}{100}\cdot\left(100x\right)+\left(\frac{1}{100}\right)^2\cdot\left(9900x^2+100x\right)=\frac{399x^2+x}{100}.\)









註:如果對於中間的變化手法不熟悉,也可以參看看下面有相似手法的兩題:

1. 求 Σk^2 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-62-1-5.html

2. 求 Σ k^3 * C(n,k) 之值
https://math.pro/db/thread-401-1-5.html

3.
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1322

TOP

可以請問板上的老師
第五題嗎?
我好像是用比較麻煩的方式處理
我令z2=a+bi z1=(a+1)+(b-2)i
然後再去處理

可是也一直沒有解出來

請板上老師賜教

TOP

第 5 題:

設 \(z_1,\, z_2\) 為複數,滿足 \(\left|z_1\right|=\left|z_2\right|\),且 \(z_1-z_2=1-2i\),求 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}\) 之值.


解答:

令 \(z_1=r\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right),\; z_2=r\left(\cos\beta+i\sin\beta\right)\),則

由 \(z_1-z_2=1-2i\),可得

\(\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc}r\left(\cos\alpha-\cos\beta\right)&=&1\\r\left(\sin\alpha-\sin\beta\right)&=&-2\end{array}\right.\)

將兩式相除,再用和差化積,可得 \(\displaystyle\tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\) 之值,

再利用切表弦公式(也有人稱萬能公式),可得 \(\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 與 \(\sin\left(\alpha+\beta\right)\) 之值,

故,可得 \(\displaystyle\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\cdot z_2\right|}=\frac{z_1\cdot z_2}{\left|z_1\right|\cdot\left| z_2\right|}=\cos\left(\alpha+\beta\right)+i\sin\left(\alpha+\beta\right) \) 之值.

TOP

謝謝瑋岳老師
我懂了
看來我的方法太土法煉鋼了
感謝老師!

TOP

3.試求正整數n使得下式成立\( \displaystyle tan^{-1}\frac{1}{3}+tan^{-1} \frac{1}{4}+tan^{-1} \frac{1}{5}+tan^{-1} \frac{1}{n}=\frac{\pi}{4} \)。
(2008AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2008)


4.圓\( C_1 \)、\( C_2 \)、\( C_3 \)的圓心分別為\( (0,0) \)、\( (12,0) \)、\( (24,0) \)且其半徑分別為1、2、4,直線\( L_1 \)是\( C_1 \)與\( C_2 \)的內公切線,其斜率為正,直線\( L_2 \)是圓\( C_2 \)與\( C_3 \)的內公切線,其斜率為負,設直線\( L_1 \)、\( L_2 \)交於\( (x,y) \),若\( x=p-q \sqrt{r} \),其中p、q、r為正整數且r不能被任何質數的平方整除,求\( p+q+r \)?
(2006AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2006)


6.\( \displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{100} (x- \frac{k}{100})^2 C_k^{100} x^k (1-x)^{100-k} \),已知P(x)為二次多項式,求P(x)?
(98台大資工申請入學)
將原本99東山高中這題改為相減,答案\( \displaystyle \frac{x}{100}-\frac{x^2}{100} \)

附件

99東山高中.rar (49.93 KB)

2010-6-13 00:24, 下載次數: 2282

TOP

請問第八題?

TOP

第 8 題

\(P\left(ab-cd \mbox{ 是偶數}\Bigg|a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{n\left(ab-cd \mbox{ 是偶數且 }a,b,c,d \mbox{ 至少有一奇數}\right)}{n\left(a,b,c,d\mbox{ 至少有一奇數}\right)}\)

\(\displaystyle=\frac{n\left(ab \mbox{ 是偶且 }cd\mbox{ 是偶}\right)+n\left(ab\mbox{ 是奇且 }cd\mbox{ 是奇}\right)-n\left(a,b,c,d \mbox{ 都是偶數}\right)}{n(a,b,c,d至少有一奇數)}\)

\(\displaystyle=\frac{ \left(6\cdot 6-3\cdot3\right)\left(6\cdot 6-3\cdot 3\right)+3\cdot3\cdot3\cdot3-3\cdot3\cdot3\cdot3}{6^4-3^4}\)

\(\displaystyle=\frac{3}{5}\)

TOP

為什麼第9題我想到頭腦壞掉,都想不出來,
請大師指點迷津,3Q

TOP

 13 12
發新話題