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99桃園縣現職教師高中聯招

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99桃園縣現職教師高中聯招

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2010.5.26
感謝Joy091指正,複選第8題答案為(A)

附件

99桃園縣現職教師高中聯招.rar (183.41 KB)

2010-5-26 23:41, 下載次數: 3366

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填充題
1.已知大於或等於正整數n的整數都可以表成\( 5a+14b+21c \)的形式,其中a,b,c為正整數,則n的最小值為?

對於大於n所有自然數均可表示為\( 6a+9b+20c \),其中a,b,c為非負整數,求最小的正整數n=?
(98北一女,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=784&page=1#pid2077)

2010.12.10補充
假設小翔有無限多顆5克砝碼和13克砝碼,但他發現沒辦法組合出n克重量(\( n \in N \)),求n的最大值為
(RA148.swf)
公式:當正整數\( a,b \)互質時,不能用\( a,b \)組合出的最大正整數為\( ab-a-b \)

計算題
5.已知\( \displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5}) \)乘開後,依升冪排列可以寫成
\( \displaystyle (1+4x)(1+4x^3)(1+4x^{3^2})(1+4x^{3^3})(1+4x^{3^4})(1+4x^{3^5})=1+b_1 x^{a_1}+b_2 x^{a_2}+b_3 x^{a_3}+...+b_{63} x^{a_{63}} \),
其中\( \langle\ a_n \rangle\ \),\( \langle\ b_n \rangle\ \)是兩個正整數的數列,且\( 1=a_1<a_2<a_3<...<a_{63} \)。
(1)試求\( a_{25} \)及\( b_{25} \)之值。
(2)試求\( a_1+a_2+a_3+...+a_{63} \)及\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63} \)。
[提示]
(1)
25的二進位為11001
\( \matrix{243 & 81 & 27 & 9 & 3 & 1 \cr  & 1 & 1 & 0 & 0 & 1} \)
\( a_{25}=109 \),\( b_{25}=64 \)

(2)
\( a_1+a_2+a_3+...+a_{63}=(243+81+27+9+3+1) \times 32=11648 \)
\( b_1+b_2+b_3+...+b_{63}=(1+4)^6-1=12564 \)

其他相關題目請見
(我的教甄準備之路 多項式連乘)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2045

2010.5.18
感謝weiye提醒
\( (243+81+27+9+3+1) \times 32 \)應為11648

[ 本帖最後由 bugmens 於 2010-12-10 10:06 PM 編輯 ]

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請問bugman老師
這二進位怎麼看
有點迷網?請不吝告知
謝謝

還有計算第二題怎麼解
沒頭緒阿

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回復 2# bugmens 的帖子

想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢?

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引用:
原帖由 milkie1013 於 2010-5-19 07:44 PM 發表
想請教以下這個部分
a1+a2+a3+...+a63=(243+81+27+9+3+1)32=11648
需不需要減1呢?
為什麼你會覺得需要減 1 呢?


\(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\) 〝由 \(1,3,3^2,\cdots 3^5\) 任取 \(1,2,3,4,5,6\) 個數字之和〞的和

其中 \(1,3,3^2,\cdots, 3^5\) 各會被加 \(2^{6-1}=32\) 次,

所以, \(a_1+a_2+\cdot+a_{63}=\left(1+3+3^2+\cdots+3^5\right)\times 2^5=11648.\)

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喔~有個地方剛剛搞錯了><"
懂了~謝啦!!!

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想請教大家(非選一):
已知大於或等於正整數n的整數都可以表成 5a+14b+21c 的形式,其中a,b,c為正整數,則n的最小值為?

以及   (非選六):

設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。 (10分)

謝謝大家

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回復 7# milkie1013 的帖子

(非選一)
首先 (a,b,c)=(1,1,1) 時, 5+14+21=40
故40,45,50,55,... (5k) 可被表示出來

考慮40+14=54, 得到(5k+4)在54之後可被表示

考慮40+21=61, 得到(5k+1)在61之後可被表示

考慮40+14+14=68, 得到(5k+3)在68之後可被表示

考慮40+14+14+14=82, 得到(5k+2)在82之後可被表示 (82也可以從40+21+21看出)

所以82之後都能被表示

回溯82之前第一個不能被表示的是77 (=5k+2)

所以本題答案是78

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回復 7# milkie1013 的帖子

(非選六):
設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行,作一線同時垂直AB與CD,並交於兩點F與G,過線段FG的中點作直線平行AB並交圓於M,N,
則線段MN即為所求。

若不平行,延長兩線段之後交於F,作角AFD的分角線,將E對此分角線作對稱點E',連接FE'之直線交圓於M,N,
則線段MN即為所求。

以下將用" d(E,AB)表示點E到直線AB的距離" 說明:

題目欲找到P,使得 d(P,AB):d(P,CD)=CD:AB
由於AC垂直BD,故有d(E,AB):d(E,CD)=AB:CD    (ABE與DCE相似)
藉由鏡射,就有d(E',AB):d(E',CD)=CD:AB
再用相似形的想法,就知道直線FE'上的每一點Q  (F除外),皆有d(Q,AB):d(Q,CD)=CD:AB
故線段MN即為所求。
(更完整的,用相似形說明所有解皆落在線段MN上)

另外,解答中複選第8題答案有誤,應將A,D更正為 A

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引用:
原帖由 Joy091 於 2010-5-26 05:37 PM 發表
(非選六):
設 ABCD四點共圓,其中AC與BD互相垂直於點E,圓心O在三角形CDE內部,如圖所示。試找出圓內所有的點P使得三角形PAB與三角形PCD的面積相等;並請從教學觀點說明你(妳)的解題思路。

若AB與CD平行,作一線同時垂直AB與C ...
圓心O是顯然解,所以若AB//CD,過O做AB的平行線即可
若直線AB和CD交於F,連接FO即可,當然,文中所說的E'也是正確的
名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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