多選題第 1 題：設 \(\displaystyle a=\log_3\pi, b=\log_3(\pi+1), c=\log_3(\pi+2)\)，則下列哪些選項是正確的？

(A)　\(a<b<c\)　(B)　\(\displaystyle c<\frac{3}{2}\)　(C)　\(a+c>2b\)　(D)　\(\displaystyle b^2>ac\)


解答：

（Ａ）\(\pi+2>\pi+1>\pi>1\)

　　　\(\displaystyle \Rightarrow \log_3(\pi+2)\log_3(\pi+1)>\log_3\pi>\log_3 1\)

　　　\(\Rightarrow c>b>a>0\)

（Ｂ）\(\displaystyle \frac{3}{2}=\log_3 \sqrt{27}>\log_3 \sqrt{\left(\pi+2\right)^2}=\log_3\left(\pi+2\right).\)

（Ｃ）因為 \(\displaystyle \left(\pi+1\right)^2>\pi\left(\pi+1\right)\)，所以 \(2b>a+c.\)

（Ｄ）由（Ｃ）可得 \(\displaystyle 2b>a+c\Rightarrow b>\frac{a+c}{2}\)

　　　因為 \(a,c\) 都為正數，由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{a+c}{2}\geq\sqrt{ac}\)

　　　故，\(\displaystyle b>\sqrt{ac}\Rightarrow b^2>ac.\)

謝謝weiye老師,另外,選擇4的(c)選項,f(x)的反例是否可用f(x)=x,f ''(x)=0,但是沒有反曲點,請問可以這樣解釋嗎?謝謝

多選第 4 題：（Ｃ）若 \(f''(c)=0\)，則點 \(\left(c,f(c\right))\) 為 \(y=f(x)\) 圖形的反曲點。

反例，我應該會舉 \(f(x)=x^4\)（圖形看起來比較直觀），

此函數的圖形一直都開口凹向上，因此沒有反曲點，但 \(f''(0)=0\)。

請問填充2: 已知實數 \(x\) 滿足 \(\log_3 x=1-\cos\theta\)，則 \(\left|x-1\right|+\left|x-9\right|\) 的值為？

初中數學競賽教程P134無解答

填充第 2 題：

已知實數 \(x\) 滿足 \(\log_3 x=1-\cos\theta\)，則 \(\left|x-1\right|+\left|x-9\right|\) 的值為？



解答：

\(-1 \leq \cos\theta\leq 1\)

\(\Rightarrow 0\leq 1-\cos\theta\leq2\)

\(\Rightarrow 1\leq 3^{1-\cos\theta}\leq 9\)

\(\Rightarrow 1\leq x\leq 9\)

\(\Rightarrow \left|x-1\right|+\left|x-9\right|=\left(x-1\right)+\left(9-x\right)=8\)

請問填充第四題?

另外選擇第4題除了判別式好像沒其他條件,且過點(-1,4)不小的如何用?

填充第 4 題：

因為 \(\displaystyle- \cos 2\theta = -\cos\frac{2\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=\cos\frac{5\pi}{7},\)


所以

\(\cos 3\theta - \cos 2\theta +\cos\theta\)

\(=\cos\theta+\cos3\theta+\cos5\theta\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\left(2\cos\theta\sin\theta+2\cos3\theta\sin\theta+2\cos5\theta\sin\theta\right)\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\left(\left(\sin2\theta-\sin0\right)+\left(\sin4\theta-\sin2\theta\right)+\left(\sin6\theta-\sin4\theta\right)\right)\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\theta}\cdot\sin6\theta\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{7}}\cdot\sin\frac{6\pi}{7}\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2}\)

第4題
請問（B）選項為什麼不對呢?

引用:

原帖由 martinofncku 於 2013-2-12 03:52 PM 發表
第4題
請問（B）選項為什麼不對呢?

f '(c)=0 ,不代表f(c)為局部極值
例如: f (x)=x^3 , f ' (0)= 0 ,但f (0) 並不是局部極值