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98北縣高中職聯招

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98北縣高中職聯招

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2009-6-13 18:17

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2009-6-13 19:50, 下載次數: 2149

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三、計算題
2.已知雙曲線C:\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \),其兩焦點為F,F'。設\( P(x_0,y_0) \)為C上異於頂點的任意點,且設△PFP'的內切圓與x軸切於點M。
(1)求M與兩焦點的距離各是多少?
(2)當\( x_0 \to \infty \)時,內切圓圓心的y坐標之極限值為何?

(1)
設\( M=(x,0) \)
由雙曲線定義\( PF'-PF=(PC+CF')-(PB+BF)=F'M-MF=(x+c)-(c-x)=2a \)
得\( M=(a,0) \)
(2)
由光學性質可知,P點的切線就是FPF'的角平分線,當\( x_0 \to \infty \)時,P點會逐漸靠近漸進線,可將漸進線看成角平分線,又F'M是內切圓的切線,所以OM垂直F'M,故圓心會趨近\( (3,2) \)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-6-14 10:11 PM 編輯 ]

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2009-6-13 20:47

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填充題
4.設數列\( \langle a_n \rangle \)定義為:\( a_1=1 \),且當\( n \gt 2 \)時,\(a_n=\Bigg\{\matrix{a_{\frac{n}{2}}+1 (n為偶數) \cr \frac{1}{a_{n-1}}(n為奇數)} \),已知\( a_n=\frac{30}{11} \),則 \(n\)=?


化成連分數\( \frac{30}{11}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}} \)
\( a_3=\frac{1}{2} \),\( a_6=\frac{3}{2} \),\( a_7=\frac{2}{3} \),\( a_{14}=\frac{5}{3} \),\( a_{28}=\frac{8}{3} \),\( a_{29}=\frac{3}{8} \),\( a_{58}=\frac{11}{8} \),\( a_{59}=\frac{8}{11} \),\( a_{118}=\frac{19}{11} \),\( a_{236}=\frac{30}{11} \)

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向老師們請教下列題目
選擇7,8,9
填充2,3
計算1

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選擇題,第7題

題目:

設 \(\displaystyle F\left( x \right) = \int_0^{x^2} {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}t}}dt} \),則導函數 \(F'(x)\) 為何?

解:

令 \(\displaystyle H\left( x \right) = \int_0^x {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}t}}dt} \),則 \(\displaystyle H'(x)={\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}}.\)

因為 \(F(x) = H(x^2)\),所以 \(\displaystyle F'(x) = H'(x^2)\cdot\left(x^2\right)' = {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x^2}}}\cdot 2x={\frac{2x}{{1 + {{\sin }^2}x^2}}}.\)










選擇題,第 8 題

若 \(A\) 為三階方陣且 \(A^3=2A\),則何者可能為 \(A\) 的行列式值?

解:

\(\displaystyle A^3=2A\Rightarrow \det \left( {{A^3}} \right) = \det \left( {2A} \right) \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^3} = {2^3}\left( {\det A} \right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left( {{{\left( {\det A} \right)}^2} - 8} \right)\det A = 0 \Rightarrow \det A = \pm 2\sqrt{2} \mbox{ 或 } 0.\)










選擇題,第 9 題

設 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} \) 為正項收斂級數,則下列何者不一定為收斂級數?

解:

A 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sqrt {{a_n}} } \):舉反例,取 \(\displaystyle {a_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\),則

       由 \(p\) 級數檢驗法,可知 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} \) 收斂,但 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sqrt {{a_n}} } \) 發散.

B 選項 \(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{a_n}}}{n}} \):因為 \(a_n\) 皆為正數,所以 \(\displaystyle {a_n} \ge \frac{{{a_n}}}{n} > 0\Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}}  \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{a_n}}}{n}}  > 0\)

       因為 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} \) 收斂,由比較檢驗法,可知 \(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{a_n}}}{n}} \) 亦收斂.

C 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}^2} \):因為 \(a_n\) 皆為正,且 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} \) 收斂,所以 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\)

       存在\(k\in\mathbb{N}\),使得 \(0<a_n<1,\;\forall n\ge k\),因此 \(0<a_n^2<a_n<1,\;\forall n\ge k\),

       因為 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n}} \) 收斂,所以 \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty  {{a_n}} \) 亦收斂,

       由比較檢驗法,可知  \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty  {{a_n^2}} \) 收斂 \(\displaystyle \Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n^2}} \) 亦收斂.

D 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty  {{a_n a_{n+1}}} \):同 C 選項的方法.

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老師謝謝你
這份題目 我才拿30分
努力不夠 我再加油

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填充題,第 3 題

題目:

在直角坐標平面上,\(O\) 為原點,\(A(2,0),\, B(2,2)\),向量 \(\overrightarrow{BC}=\left( {\sqrt 2 \cos \alpha ,\sqrt 2 \sin \alpha } \right)\),

則 \(\overrightarrow{OC}\) 與 \(\overrightarrow{OA}\) 的夾角 \(\theta\) 範圍為?


解:

對任意的實數 \(\alpha\), \(C\) 點落在以 \(B(2,2)\) 為圓心,以 \(\sqrt{2}\) 為半徑的圓周上,

自原點往圓 \(C\) 點所在的軌跡(圓)作切線,

設 \(C_1, C_2\) 分別為兩切點,可得 \(\angle BOC_1 = \angle BOC_2 = 30^\circ\)

\(\displaystyle \Rightarrow \angle C_1OA = 45^\circ-30^\circ=15^\circ\) 且 \(\displaystyle \angle C_2OA = 45^\circ+30^\circ=75^\circ.\)

故,\(\overrightarrow{OC}\) 與 \(\overrightarrow{OA}\) 的夾角 \(\theta\) 範圍為 \(\displaystyle 15^\circ\leq\theta\leq75^\circ.\)

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引用:
原帖由 bugmens 於 2009-6-13 08:47 PM 發表
三、計算題
2.已知雙曲線C:\( \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \),其兩焦點為F,F'。設\( P(x_0,y_0) \)為C上異於頂點的任意點,且設△PFP'的內切圓與x軸切於點M。
(1)求M與兩焦點的距離各是多少?
(2)當\( x_0 \to \infty \)時,內切圓圓心的y坐標之極限值為何?  ...
請問bugmens老師
第2題答案為何(3,-2)不行?
我想若P點在曲線右支x軸下方的點
那麼當x趨近無窮大時,y座標會趨近於-2

疑惑中,可否告知
謝謝

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計算 1
(2) 用 \( y = \sin x + \cos x \) 代換,則 \( \sin x \cos x = \frac{y^2-1}{2} \)

(3h) 用 \( y=\sin x - \cos x \) 代換,有點醜,可以寫出 \( \int \frac{1}{3-y^2}dy \)

再進分式積分,詳細過程請見 於此

這個代換方法不是很漂亮,不知道有沒有其它更高明的手法?
文不成,武不就

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