選擇題，第7題
題目：
設 \(\displaystyle F\left( x \right) = \int_0^{x^2} {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}t}}dt} \)，則導函數 \(F'(x)\) 為何？
解：
令 \(\displaystyle H\left( x \right) = \int_0^x {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}t}}dt} \)，則 \(\displaystyle H'(x)={\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x}}}.\)
因為 \(F(x) = H(x^2)\)，所以 \(\displaystyle F'(x) = H'(x^2)\cdot\left(x^2\right)' = {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}x^2}}}\cdot 2x={\frac{2x}{{1 + {{\sin }^2}x^2}}}.\)
選擇題，第 8 題
若 \(A\) 為三階方陣且 \(A^3=2A\)，則何者
可能為 \(A\) 的行列式值？
解：
\(\displaystyle A^3=2A\Rightarrow \det \left( {{A^3}} \right) = \det \left( {2A} \right) \Rightarrow {\left( {\det A} \right)^3} = {2^3}\left( {\det A} \right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left( {{{\left( {\det A} \right)}^2} - 8} \right)\det A = 0 \Rightarrow \det A = \pm 2\sqrt{2} \mbox{ 或 } 0.\)
選擇題，第 9 題
設 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 為正項收斂級數，則下列何者不一定為收斂級數？
解：
A 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt {{a_n}} } \)：舉反例，取 \(\displaystyle {a_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\)，則
由 \(p\) 級數檢驗法，可知 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，但 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sqrt {{a_n}} } \) 發散.
B 選項 \(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}} \)：因為 \(a_n\) 皆為正數，所以 \(\displaystyle {a_n} \ge \frac{{{a_n}}}{n} > 0\Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \ge \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}} > 0\)
因為 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，由比較檢驗法，可知 \(\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}} \) 亦收斂.
C 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}^2} \)：因為 \(a_n\) 皆為正，且 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，所以 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = 0.\)
存在\(k\in\mathbb{N}\)，使得 \(0<a_n<1,\;\forall n\ge k\)，因此 \(0<a_n^2<a_n<1,\;\forall n\ge k\)，
因為 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \) 收斂，所以 \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} \) 亦收斂，
由比較檢驗法，可知 \(\displaystyle \sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n^2}} \) 收斂 \(\displaystyle \Rightarrow\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n^2}} \) 亦收斂.
D 選項 \(\displaystyle \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n a_{n+1}}} \)：同 C 選項的方法.
