1. 設a,b,c分別為三角形ABC的邊長,且S表示其面積
                                                                                
   試證:a^2+b^2+c^2 >= S*4根號3
                                                                                
2. 設a,b,c為正實數
                                                                                
   試證:1/a(1+b) + 1/b(1+c) + 1/c(1+a) >= 3/1+abc

補上出處－教育部八十八學年度高級中學數學科能力競賽決賽獨立研究試題(三)
$$ (1+abc)[\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}]+3 $$
$$ =\frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ca}{c(1+a)} $$
$$ =\frac{(1+a)+ab(1+c)}{a(1+b)}+\frac{(1+b)+bc(1+a)}{b(1+c)}+\frac{(1+c)+ac(1+b)}{c(1+a)} $$
$$ =\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a} ≧ 6 $$

[ 本帖最後由 bugmens 於 2009-3-1 09:23 AM 編輯 ]

在△ABC中，a^2+b^2+c^2≧4√3 * △
這個叫做Weitzenberk不等式,共有三種證明,已經有兩個學校考過了
97松山家商h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554　連結已失效
97麗山高中h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=23646　連結已失效
[證法1]http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1231679767.A.DDE.html
作者: keith291 (keith) 看板: Math
標題: Re: 高中兩題證明題
時間: Sun Jan 11 21:16:06 2009

※ 引述《madduxwin (師出名門)》之銘言：
: 1. 設a,b,c分別為三角形ABC的邊長,且S表示其面積
:    試證:a^2+b^2+c^2 >= S*4根號3

提供一較不常見的證法:
改證以下之更強命題

a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

令a=x+y  b=y+z  c=z+x   x,y,z>0   (此令法是由三角形內切圓圖形觀察可得)

則s=√(xyz(x+y+z))   (由海龍公式)

    a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

<=> (x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2≧4√(3xyz(x+y+z))+(x-z)^2+(y-x)^2+(z-y)^2

<=> 4(xy+yz+zx)≧4√(3xyz(x+y+z))

<=> xy+yz+zx≧√(3xyz(x+y+z))

<=> (xy+yz+zx)^2≧3xyz(x+y+z)

<=>(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2≧xyz(x+y+z)

又{(xy)^2+(yz)^2}/2≧xyz(y)
  {(yz)^2+(zx)^2}/2≧xyz(z)
  {(zx)^2+(xy)^2}/2≧xyz(x)
三式相加   末式成立  故原式成立
又a^2+b^2+c^2 ≧(4√3)s+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≧(4√3)s
原式得證  等號於x=y=z時  即a=b=c時成立

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.166.49.166
→ keith291:常見證法是證a^2+b^2+c^2-(4√3)s≧0                     01/11 21:21
→ keith291:用餘弦定理將a^2代換掉 以及s=(bcsinA)/2 然後配方        01/11 21:22

[證法二]就如keith291的推文所說的
在高中數學競賽教程P161和高中數學101 P131都有證明
h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=52834　連結已失效

[證法三]高中數學競賽教程P161還提供另一種利用正弦定理的證明

這是四題的第四子題
我喜歡用餘弦定理證明
因他跟第一子題有直覺關係
不過老師的証法
需要很高的數學底子
我願意日後多跟老師學習
謝謝老師的分享喔

[ 本帖最後由 ksjeng 於 2009-3-2 09:39 AM 編輯 ]

再補充wiki的資料,都是想不到的證明
http://zh.wikipedia.org/w/index. ... F&variant=zh-hk

我也來補充一個 Weitzenböck 不等式的證明好了，

設 \(a, b, c\) 三邊上的中線分別為 \(m_a, m_b, m_c\)，三邊上的高分別為 \(h_a, h_b, h_c\)，

則中線長≧高，
\[ m_a\geq h_a,　m_b\geq h_b,　m_c\geq h_c\]
\[ ⇒ \frac{1}{2} a m_a\geq \frac{1}{2} a h_a=S,　\frac{1}{2} b m_b\geq \frac{1}{2} b h_b=S,　\frac{1}{2} c m_c\geq \frac{1}{2} c h_c=S\]
兩邊同時平方，可得
\[ ⇒ \frac{1}{4} a^2 m_a^2\geq S^2,　\frac{1}{4} b^2m_b^2\geq S^2,　\frac{1}{4} c^2 m_c^2\geq S^2\]
\[ ⇒ a^2 m_a^2\geq 4 S^2,　b^2m_b^2\geq 4 S^2,　c^2 m_c^2\geq 4 S^2\]

三式相加，可得
\[ a^2m_a^2 + b^2m_b^2 + c^2m_c^2\geq 12 S^2..............（＊）\]

由三角形的中線定理，可得
\[2\left[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + m_a^2\right]=b^2+c^2　⇒　m_a^2 = -\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\]
\[2\left[\left(\frac{b}{2}\right)^2 + m_b^2\right]=a^2+c^2　⇒　m_b^2 = \frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2}\]
\[2\left[\left(\frac{c}{2}\right)^2 + m_c^2\right]=a^2+b^2　⇒　m_c^2 = \frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\]

上三式代入（＊），可得
\[ a^2\left(-\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\right) + b^2\left(\frac{a^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{2}\right) + c^2\left(\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)\geq 12 S^2\]
\[⇒　4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-\left(a^4+b^4+c^4\right)\geq 48 S^2\]
\[⇒　\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 -\left[\left(a^2-b^2\right)^2 +\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2 \right]\geq 48 S^2\]
\[⇒　\left(a^2+b^2+c^2\right)^2 \geq 48 S^2+\left[\left(a^2-b^2\right)^2 +\left(b^2-c^2\right)^2+\left(c^2-a^2\right)^2 \right]\geq 48 S^2\]
\[⇒　a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S.\]