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我的教甄準備之路 103.1.1更新

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裂項相消
在數列與級數都會提到\( \displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+...+\frac{1}{n \cdot (n+1)} \)這類的題目,將每一項分成一個加和一個減的兩項造成相消,所以才被稱為裂項相消。
歷屆教甄還考了很多題用到裂項相消的題目,這次的筆記值得各位網友用心準備。

2009.10.10補充
http://math.pro/db/thread-442-1-4.html
出自
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Ilan_02.pdf

2009.10.27補充
1*1!+2*2!+3*3!+...+250*250! (mod 2008)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=304317

2009.11.29補充
數列\( \{y_n \} \)滿足\( y_1=1 \)且\( \displaystyle y_{k+1}=\frac{1}{2}y^2_k+y_k \),\( k=1,2,3,... \),已知\( \displaystyle A \le \frac{2}{y_1+2}+\frac{2}{y_2+2}+...+\frac{2}{y_{2008}+2}<A+1 \),其中A為整數。試求A之值。
(97高中數學能力競賽 台灣省第二區筆試(一)試題)

2009.12.06補充
設一數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=2 \),\( a_{n+1}=a_1 a_2 a_3 a_4...a_n+1 \)試證明:\( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_n}<1 \)
(中一中 合作盃數學金頭腦 第11次有獎徵答)

101.1.12修正
最後一項應該是\( \displaystyle \frac{1}{a_n} \)。

2010.1.22補充
Let \( S=1!(1^2+1+1)+2!(2^2+2+1)+3!(3^2+3+1)+...+100!(100^2+100+1) \). What is the value of \( \displaystyle \frac{S+1}{100!} \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=326518

2010.2.23補充
\( \displaystyle g(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}} \).
\( \displaystyle \frac{1}{g(1)}+\frac{1}{g(3)}+...+\frac{1}{g(999999)}= \)?
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=333174

2010.2.27補充
設\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{1+na_n} \),\( n=0,1,2,... \)。已知\( a_0=1 \),則\( a_{2008}= \)?
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
http://www.math.ntnu.edu.tw/exam/hs/97/exam/97_hsinchu_exam2.pdf

2010.3.21補充
Evaluate:\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k \sqrt{k+2}+(k+2)\sqrt{k}} \)
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=339716

2010.4.18補充
求\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+...+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \)的值。
(2004國際奧林匹克香港選拔賽)

2010.5.27補充
求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{997}(-1)^k C_k^{1998} \)的值。
[提示]
\( \displaystyle C_k^n=C_{k-1}^{n-1}+C_k^{n-1} \)

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}5^{n-1} \)
[提示]
\( \displaystyle \frac{4n+3}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{5}{2(2n-1)}-\frac{1}{2(2n+1)} \)

2010.7.5補充
求\( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{64\sqrt{63}+63\sqrt{64}} \)之值為多少?
(A)\( \displaystyle \frac{5}{7} \) (B)\( \displaystyle \frac{5}{6} \) (C)\( \displaystyle \frac{7}{8} \) (D)\( \displaystyle \frac{8}{9} \)
(99南台灣國中聯招)

2010.7.8補充
求\( \displaystyle \frac{1}{4 \times 1^4+1}+\frac{2}{4 \times 2^4+1}+\frac{3}{4 \times 3^4+1}+...+\frac{100}{4 \times 100^4+1} \)
第六屆培正數學邀請賽,決賽(中一組)
http://www.mathdb.org/resource_sharing/c_resource_06.htm
[提示]
\( \displaystyle \frac{n}{4n^4+1}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n^2-2n+1}-\frac{1}{2n^2+2n+1}) \)

2010.7.19補充
級數\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^4+n^2+1}= \)?
①\( \displaystyle \frac{1}{2} \) ②\( \displaystyle \frac{1}{4} \) ③\( \displaystyle \frac{1}{3} \) ④\( \displaystyle \frac{1}{6} \)
(99中區六縣市策略聯盟國中聯招)

2010.10.3補充
Find sum of infinite series.
\( \displaystyle \frac{3}{4}+\frac{5}{36}+\frac{7}{144}+\frac{9}{400}+\frac{11}{900}+... \)
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=369797

2010.10.16補充
Let \( \displaystyle a_n=\sqrt{1+(1-\frac{1}{n})^2}+\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^2} \),\( n \ge 1 \). Evaluate \( \displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{20}} \).
http://purplecomet.org/welcome/practice 的Fall 2003 Meet

2010.11.25補充
\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{4 \times 2^2}{(2^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 3^2}{(3^2-1)^2}}+\sqrt{1+\frac{4 \times 4^2}{(4^2-1)^2}}+......+\sqrt{1+\frac{4 \times 20^2}{(20^2-1)^2}}= \)?
2009年青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選決賽

2011.1.9補充
Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO,http://www.artofproblemsolving.c ... =1&cid=16&year=1968)
點題號有解答

2011.1.15補充
數列\( \{a_n\} \)滿足\( a_1=1 \),\( \displaystyle a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n} \),求\( a_{100} \)的整數部分?
[提示]
\( \displaystyle a_{n+1}^2-a_n^2=2+\frac{1}{a_n^2} \),再證明\( \frac{1}{a_n^2}\le \frac{1}{2^2} \),\( n \ge 2 \)

2011.1.16補充
設\( \displaystyle S_n=\frac{1}{3P_1^1}+\frac{1}{4P_2^2}+\frac{1}{5P_3^3}+...+\frac{1}{(n+2)P_n^n} \),求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n \)。
(98士林高商,http://math.pro/db/thread-890-1-1.html)

2011.3.2補充
Find the value of \( \displaystyle \frac{1}{3^2+1}+\frac{1}{4^2+2}+\frac{1}{5^2+3}+... \).
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=394473

2011.5.29補充
數列\( \displaystyle \frac{8 \cdot 1}{1^2 \cdot 3^2},\frac{8 \cdot 2}{3^2 \cdot 5^2},\frac{8 \cdot 3}{5^2 \cdot 7^2},...,\frac{8 \cdot 8n}{(2n-1)^2 \cdot (2n+1)^2},... \),若\( S_n \)表前n項之和,且\( \displaystyle S=\lim_{n \to \infty}S_n \),
(1)求\( S_n \)及S (2)求使\( \displaystyle S-S_n<\frac{1}{10000} \)成立的最小自然數n的值
(100嘉義女中,http://math.pro/db/thread-1115-1-1.html)

2011.6.26補充
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13 (B) 23 (C) 29 (D) 49
(100全國高中聯招,http://math.pro/db/thread-1163-1-1.html)

設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \),求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)?
(100麗山高中第二次,http://math.pro/db/thread-1164-1-1.html)

2011.6.30補充
已知\( n \in N \),設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \),\( \beta_n \),則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)?
(100台北市中正高中二招,http://math.pro/db/thread-1169-1-1.html)

2011.8.13補充
已知數列\( <a_n> \)的一般式為\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \),n為正整數,其前n項為\( S_n \),則在數列\( S_1,S_2,...,S_{2011} \)中,有理數項共有幾項?
(建中通訊解題第74期)

100.9.3補充
設\( \displaystyle A=\sqrt{1^2+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1^2+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1^2+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}} \),則不超過A的最大整數為何?
建中通訊解題 第88期

100.9.17補充
設\( a_0=1 \),\( a_1=3 \),\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2} \),\( n \ge 1 \),試求
\( \displaystyle \frac{1}{a_0+1}+\frac{1}{a_1+1}+...+\frac{1}{a_n+1}+\frac{1}{a_{n+1}-1} \),\( n \ge 1 \)
(1001中山大學雙週一題 第一題)

100.10.1補充
設數列\( {a_n} \)滿足,\( a_1=3 \)且\( 2a_{n+1}=a_n^2-2a_n+4 \),\( n=2,3,4,... \),求\( \displaystyle \Bigg[\; \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{a_i} \Bigg]\; \)之值為何?
([x]:表不大於x的最大整數)
(99高中數學能力競賽 屏東區筆試二試題,http://math.pro/db/thread-1051-1-8.html)

100.10.7補充
求\( \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+2)(k+5)} \)之值?
(100育成高中代理,http://math.pro/db/thread-1204-1-1.html)

100.10.22補充
\( \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{C_k^{10+k}}= \)?
http://blog.udn.com/ivan5chess/3978899

100.10.23補充
證明\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+2)k!}=1 \)
張福春、曾介玫,一般生成函數之應用,數學傳播
[提示]
\( \displaystyle \frac{1}{(k+2)k!}=\frac{k+1}{(k+2)!}=\frac{k+2}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+2)!}=\frac{1}{(k+1)!}-\frac{1}{(k+2)!} \)

101.1.1補充
設\( \displaystyle f(n)=\frac{2n-1+\sqrt{n(n-1)}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \),求\( f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+...+f(2010) \)值。
(99臺中一中學術性向資賦優異學生鑑定數學科實作測驗試題)
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/mathtest.htm
http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf

101.1.31補充
數列的第n項等於\( n(n+1)(n+2)(n+3) \),則該數列的前n項和為?
http://www.webezgo.com.tw/~tsea/ ... ei/2008theme/F4.pdf
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)(k+3)= \)?
http://math.pro/db/thread-1281-1-1.html

101.5.20補充
\( <x_n> \)正實數數列,\( \displaystyle x_1=\frac{3}{4} \)且滿足\( x_{k+1}^2=x_k^4+2x_3^3+x_k^2 \),求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+...+\frac{1}{x_{202}+1} \Bigg]\; \)
(101板橋高中,http://math.pro/db/thread-1366-1-1.html)

101.5.24補充
\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \),\( n \in N \),則\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9999}a_k= \)?
(101彰化高中,http://math.pro/db/thread-1369-1-1.html)

已知實數數列\( a_1,a_2,a_3,... \)滿足\( a_1=1 \),\( 3a_{n+1}=a_n^2+3a_n \),\( n=1,2,... \),求級數\( \displaystyle \frac{1}{a_1+3}+\frac{1}{a_2+3}+\frac{1}{a_{2012}+3} \)之和的整數部分
(101彰化高中,http://math.pro/db/thread-1369-1-1.html)

[]表高斯符號,求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{1}{\root 3 \of{1^2}+\root 3 \of{1 \times 2}+\root 3 \of{2^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{3^2}+\root 3 \of{3 \times 4}+\root 3 \of{4^2}}+\frac{1}{\root 3 \of{5^2}+\root 3 \of{5 \times 6}+\root 3 \of{6^2}}+...+\frac{1}{\root 3 \of{999^2}+\root 3 \of{999 \times 1000}+\root 3 \of{1000^2}} \Bigg]\; \)之值
(101彰化高中,http://math.pro/db/thread-1369-1-1.html)

101.6.9補充
\( \displaystyle \frac{1 \times 2}{2 \times 3}+\frac{2 \times 2^2}{3 \times 4}+\frac{3 \times 2^3}{4 \times 5}+...+\frac{10 \times 2^{10}}{11 \times 12} \)的最簡分數為
(101宜蘭高中,http://math.pro/db/thread-1397-1-1.html)
(thepiano解答,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2838)

101.6.19補充
若數列\( \langle\; \theta_n \rangle\; \)滿足\( cos \theta_n=1-\frac{1}{2n^2} \),則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}tan^2 (\; \frac{\theta_n}{2} )\; \)
(101瑞芳高工,http://math.pro/db/thread-1424-1-1.html)

設\( a_n \)是\( (5-\sqrt{x})^n \)的展開式中x項的係數(n=2,3,4,…),\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}(\; \frac{5^2}{a_2}+\frac{5^3}{a_3}+…+\frac{5^n}{a_n} )\; \)
(101嘉義家職,http://math.pro/db/thread-1427-1-1.html)

101.10.2補充
求\( \displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+…+\sqrt{1+\frac{1}{2010^2}+\frac{1}{2011^2}} \)的值。

\( \displaystyle \frac{tan1^o}{cos2^o}+\frac{tan2^o}{cos4^o}+\frac{tan4^o}{cos8^o}+…+\frac{tan(2^n)^o}{cos(2^{n+1})^o}= \)?(答案僅能以tan表示)
(100全國高中數學能力競賽台中區複賽試題(二),http://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

101.10.14補充
設\( \{\; x_n \}\;_{n=1}^\infty \)是一個實數數列,\( x_1=1 \),\( x_2=2 \)且滿足對於所有正整數n,\( x_{n+2}=\frac{1}{2}(x_{n+1}+x_n) \)。證明:\(  \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (x_{2k+1}-x_{2k-1})=\frac{2}{3} \)。
(100全國高中數學競賽 高雄區筆試(二),http://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

102.1.14補充
\( \displaystyle \frac{4}{1 \times 2 \times 3}+\frac{5}{2 \times 3 \times 4}+\frac{6}{3 \times 4 \times 5}+...+\frac{n+3}{n \times (n+1) \times (n+2)} \)
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=5572&sc=1

102.4.23補充
Evaluate \( \displaystyle \sum_{n=1}^{1994} \Bigg(\; (-1)^n \cdot \Bigg(\; \frac{n^2+n+1}{n!} \Bigg)\; \Bigg)\; \).
(Canada National Olympiad 1994,http://www.artofproblemsolving.c ... id=51&year=1994)

103.6.7補充
化簡\( \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{1}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{100 \sqrt{99}+99 \sqrt{100}}= \)?
(A)\( \displaystyle \frac{9}{10} \) (B)\( \displaystyle \frac{10}{11} \) (C)\( \displaystyle \frac{12}{11} \) (D)\( \displaystyle \frac{11}{10} \)
(103臺北市國中聯招,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3337)

----------------------------------------
不是裂項相消的題目,而是用乘上公比再相減的方法。
103.5.5補充
求\( \displaystyle \frac{1^2}{3}+\frac{2^2}{3^2}+\frac{3^2}{3^3}+\frac{4^2}{3^4}+\frac{5^2}{3^5}+\ldots= \)?
(103大安高工,http://math.pro/db/thread-1880-1-1.html)

求無窮級數\( \displaystyle \frac{3 \times 1}{2^4}+\frac{4 \times 2}{2^6}+\frac{5 \times 3}{2^8}+\frac{6 \times 4}{2^{10}}+\ldots \)之值為?
(103中央大學附屬中壢高中,http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1868&page=2#pid10068)

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2009-9-1 06:06 AM, 下載次數: 1854

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圓錐曲線的光學性質

往年教甄常考的是圓錐曲線和另一條直線相切的題目,但我比較欣賞橢圓撞球檯問題,想不到光學性質可以出的這麼有創意。
部分的題目來自賴老師工作室http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/index.htm

祝各位教師新年快樂。

2010.1.28補充
在坐標平面上,一拋物線的對稱軸為\( 2x-y=5 \),拋物線與直線\( x=1 \)相切於\( (1,1) \),則拋物線的焦點坐標為?(RA453.swf)

2010.3.12補充
橢圓Γ的兩個焦點分別為,F(5,2),F'(2,6),且已知橢圓Γ與y軸相切,試求橢圓的長軸長?
(95彰化女中,http://math.pro/db/thread-790-1-1.html)

2010.6.19補充
一橢圓兩焦點為\( F_1 (-3,5) \),\( F_2 (-10,9) \)且與\( y=x \)相切,求橢圓的長軸長?
(99萬芳高中,http://math.pro/db/thread-969-1-1.html)

2010.6.21補充
一道光線通過雙曲線的一個焦點\( F(-2,1) \),射至雙曲線上一點\( P(-4,5) \),反射後朝A點射去,若此雙曲線中心在\( (1,1) \),且\( \overline{PA}=3 \sqrt{5} \),則a點座標為。
(99關西高中,http://math.pro/db/thread-966-1-1.html)

2010.6.26補充
若某橢圓的兩焦點為(0,0)、(0,4),且此橢圓與直線\( x+y+1=0 \)相切,則此橢圓的長軸長為
(A)\( \sqrt{26} \) (B)\( \sqrt{23} \) (C)\( \sqrt{22} \) (D)\( \sqrt{17} \)
(99全國高中聯招,http://math.pro/db/thread-978-1-1.html)

2010.7.24補充
若坐標平面上有一橢圓與x軸相切,且其焦點為\( F_1(2,1) \)與\( F_2(6,2) \),則此橢圓的短軸長?
(99中興高中,http://math.pro/db/thread-1013-1-1.html)

101.3.30補充
平面上有一橢圓,已知其焦點為\( (2\sqrt{5},0) \)和\( (-2 \sqrt{5},0) \),且\( x+2y=5 \)為此橢圓的切線,求此橢圓方程式為?
(100文華高中代理,http://math.pro/db/thread-1200-1-1.html)

101.6.9補充
雙曲線與直線\( x+y=8 \)相切 , 焦點\( (0,4) \),\( (10,0) \),求雙曲線正焦弦長 ?
(101宜蘭高中,http://math.pro/db/thread-1397-1-1.html)

101.6.19補充
已知\( A(2,0) \),\( B(-2,0) \)是橢圓Γ的兩焦點且L:\( 3x+2y=8 \sqrt{3} \)是Γ的一切線。求此橢圓方程式
(101嘉義家職,http://math.pro/db/thread-1427-1-1.html)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-6-19 05:18 AM 編輯 ]

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多項式連乘

這份筆記很久以前就整理好了,只是教甄沒考過這類題目就算公佈了也可能不受考生青睞,所以就一直壓著。
看似多項式的題目但實際上用到二進位和排列組合的觀念,算是很漂亮的題目,還是要感謝99桃園縣高中聯招的出題老師,讓這份筆記能重見天日。
http://math.pro/db/thread-939-1-1.html

99.11.10補充
若\( (1+x)(1+2x^3)(1+3x^9)(1+4x^{27})(1+5x^{81}) \)的展開式,依升冪排列為\( 1+b_1x^{a_1}+b_2x^{a_2}+b_3x^{a_3}+...+b_{31}x^{a_{31}} \),其中\( \langle\; a_n \rangle\; \)、\( \langle\; b_n \rangle\; \)是兩個正整數的數列,且\( 1=a_1<a_2<a_3<...<a_{31} \),則\( a_1+a_2+a_3+...+a_{31}= \)?
(2010TRML個人賽,http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1075&page=2#pid7634)

100.5.25補充
感謝thepiano提供兩題的解答
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2511

101.2.13補充
設多項式\( \displaystyle p(x)=\prod_{k=0}^{10} (x^{2^k}+2^k)=\underbrace{(x+1)(x^2+2)(x^4+4)...(x^{1024}+1024)}_{11項的乘積} \)若\( x^{2012} \)的係數為\( 2^a \),則\( a= \)?(A)5 (B)6 (C)7 (D)10 (E)24
(2012AMC12,http://math.pro/db/thread-1290-1-1.html)

101.3.21補充
令\( \displaystyle x=\frac{1}{2} \),試求
\( \displaystyle \prod_{n=0}^{+\infty}(1+x^{2^n})=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)...(1+x^{2^n})... \)之值
(93台大數學系甄選入學,http://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32)

101.6.17補充
若\( \displaystyle (1+x)(1+3x^2)(1+3^2x^4)(1+3^3x^8)(1+3^4x^{16})(1+3^5x^{32})(1+3^6x^{64})=\sum_{k=0}^{127}a_kx^k \),則\( a_{42}= \)?
(A)\( 3^9 \) (B)\( 3^8 \) (C)\( 3^6 \) (D)\( 3^5 \)
(101新北市國中聯招)

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2010-5-16 02:51 PM, 下載次數: 1617

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三角形的面積

為了慶祝中華民國建國100週年,我將我手邊最有份量的筆記放上來,有些比較難的題目我有附上算式,沒有附的再請各位網友自己算算看。



2011.3.5補充
已知直角三角形的周長為\( 2+\sqrt{6} \),斜邊上的中線長為1,求三角形的面積?
2012.1.8補充
有一個直角三角形,斜邊上的中線長為1,周長為\( 2+\sqrt{6} \),求此三角形的面積為?
(100卓蘭實驗高中,http://math.pro/db/thread-1165-1-1.html)

2011.6.29補充
若一等腰三角形的底邊上的高等於18cm,腰上的中線等於15cm。則這個等腰三角形的面積等於?
(初中數學競賽指導)

在△ABC中,\( \overline{AB}=\overline{AC} \),D為\( \overline{AC} \)的中點,且\( \overline{BD}=\sqrt{3} \)。試問當∠BAC為何值時,△ABC的面積有最大值?此面積最大值為何?
(94高中數學能力競賽 南區(高雄區) 筆試一試題,
http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... aohsiungCity_01.pdf)

△ABC has an incircle with radius 2. If \( \displaystyle tan∠A=- \frac{4}{3} \), what is the minimum area of △ABC?
http://www.artofproblemsolving.c ... .php?f=150&t=396290

2011.7.6補充
設△ABC中\( \overline{AB} \)邊上有一點D,滿足\( \overline{AD}=2 \),\( \overline{DB}=1 \),\( \overline{CD}=\sqrt{2} \)。若△ABC的外接圓半徑等於\( \sqrt{3} \),試求△ABC的面積。
[提示]
正弦定理求出\( ∠C=60^o \)
假設\( \overline{AC}=a \),\( \overline{BC}=b \)
△ABC中餘弦定理得\( a^2+b^2-ab=9 \)
\( cos∠ADC=-cos∠BDC \)得\( a^2+2b^2=12 \)
解出\( a^2=6+2 \sqrt{6} \),\( b^2=3-\sqrt{6} \)
△ABC面積\( \displaystyle \frac{1}{2} \cdot ab sin C \)
(89高中數學能力競賽 全國決賽口試試題,http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... aiwan_High_Oral.pdf)
(89高中數學能力競賽 獨立研究三試題,http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... an_High_Indp_03.pdf)


2011.7.10補充
△ABC是直角三角形,斜邊長13。兩股長是a,b,也是x的方程式\( x^2-(2m+7)x+4m(m-2)=0 \)的兩個根,試求△ABC的面積。
(建中通訊解題第55期)

2011.8.13補充
如圖,正方形ABCD中,\( \overline{AB}=\sqrt{3} \),E,F兩點分別在\( \overline{BC},\overline{CD} \)邊上,且\( ∠BAE=30^o,∠DAF=15^o \),求△AEF的面積?
(建中通訊解題第74期)

100.9.28補充
直角三角形ABC,\( ∠B=90^o \),∠B的角平分線交\( \overline{AC} \)於D,且\( \overline{AD}=6 \),\( \overline{AC}=15 \),則三角形ABC面積?

100.12.3補充
設\( O(0,0,0) \),\( A(a,b,c) \),\( B(b,c,a) \),\( C(c,a,b) \),過ABC三點的平面方程式為\( x+y+z=1 \),且\( \overline{OA}⊥ \overline{OB} \),求△ABC的面積?

101.4.7補充
如右圖,△ABD中,\( ∠ABD=120^o \),\( \overline{AB}=8 \),C為\( \overline{AB} \)中點,若\( \overline{CD}=3 \),則△ABD的面積為?
(2012年中區數甲第1次RA576.swf)
http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA576.swf

101.4.30補充
正方形ABCD邊長為5,於\( \overline{AB} \)、\( \overline{AD} \)上分別取一點E、F,已知\( \overline{EF}=4 \),\( \displaystyle sin∠ECF=\frac{3}{5} \),試求△ECF面積?
(101臺南二中,http://math.pro/db/thread-1335-1-1.html)

給定矩陣\( \displaystyle M=\Bigg[\; \matrix{\frac{1}{1+a^2} & -\frac{a}{1+a^2} \cr \frac{a}{1+a^2} & \frac{1}{1+a^2}} \Bigg]\; \),\( a>0 \),規定\( P_n=(x_n,y_n) \),且\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{x_1 \cr y_1} \Bigg]\;=\Bigg[\; \matrix{1 \cr 0} \Bigg]\; \),\( \Bigg[\; \matrix{x_2 \cr y_2} \Bigg]\;=M \Bigg[\; \matrix{x_1 \cr y_1} \Bigg]\; \),\( \Bigg[\; \matrix{x_3 \cr y_3} \Bigg]\;=M \Bigg[\; \matrix{x_2 \cr y_2} \Bigg]\; \),求\( △P_1P_2P_3 \)面積的最大值為?
(101臺南二中,http://math.pro/db/thread-1335-1-1.html)

101.6.17補充
三個直角△ABC、△BCD、△CDE連接如右圖所示,三重心分別為\( G_1 \)、\( G_2 \)、\( G_3 \),\( \overline{AB}⊥\overline{BC} \)、\( \overline{BC}⊥\overline{CD} \)、\( \overline{CD}⊥\overline{DE} \),\( \overline{AB}=2 \),\( \overline{BC}=3 \),\( \overline{CD}=4 \),\( \overline{DE}=18 \),求\( △G_1 G_2 G_3 \)的面積?
(A)\( \displaystyle \frac{16}{3} \) (B)\( \displaystyle \frac{17}{3} \) (C)6 (D)\( \displaystyle \frac{}{} \)
(101臺北市國中聯招,http://math.pro/db/thread-1417-1-1.html)

若△ABC的三高分別為1、\( \sqrt{3} \)、\( \sqrt{3} \),則△ABC的面積為何?
(A)\( \sqrt{3} \) (B)2 (C)3 (D)\( 2 \sqrt{3} \)
(101新北市國中聯招)

101.6.24補充
\( \overline{AB}\perp \overline{AC} \)且\( \overline{AB}\perp L \)於B,\( \overline{AB}=14 \),\( \overline{AC}=3 \),P、Q分別為\( \overline{AB} \)、L上的動點,滿足\( ∠CPQ=90^o \),求\( △CPQ \)的最大面積為
(101新化高中,http://math.pro/db/thread-1428-1-1.html)

直角三角形ABC,\( \overline{AB}=7 \),\( \overline{BC}=24 \),\( \overline{AC}=25 \),求其外心O,重心G,以及內心I三點所形成的三角形面積

101.7.8補充
複數平面上,O為原點,△ABO的頂點A、B分別對應複數\( z_1 \)、\( z_2 \),若\( |\; z_1-1-3i |\;=|\; z_1-5+5i |\; \)且\( z_2=(1+\sqrt{3}i)z_1 \),則△ABO的最小面積為
(101文華高中二招,http://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

101.10.13補充
若△ABC的三高分別為1、\( \sqrt{3} \)、\( \sqrt{3} \),則△ABC的面積為何?
(A)\( \sqrt{3} \) (B)2 (C)3 (D)\( 2 \sqrt{3} \)
(101新北市國中聯招,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2858)

若大小兩個三角形的三邊長乘積之比值為\( \displaystyle \frac{8}{5} \),且他們的外接圓面積的比值為\( \displaystyle \frac{256}{175} \),則此大三角形與小三角形的面積之比值為何?(A)\( \sqrt{7} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2} \) (C)\( \sqrt{11} \) (D)\( \displaystyle \frac{\sqrt{11}}{3} \)
(101新北市國中聯招,http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=2858)

101.10.16補充
三角形的三邊長各為\( \sqrt{89} \),\( 4\sqrt{5} \),5,請問此三角形的面積為何?
(100高中數學能力競賽 第四區口試試題,http://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)

102.1.1補充
一平行四邊形兩邊長分別為12,8,兩對角線的銳角交角為30度,求此平行四邊形的面積?

103.3.13補充
令三角形ABC為在xy平面上的直角三角形,其中∠C為直角。給定斜邊\( \overline{AB} \)的長度為60,且穿過A與B的中線分別為\( y=x+3 \)與\( y=2x+4 \),試求三角形ABC的面積。
(102中山大學 雙週一題,http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2014s/2Q.pdf)

103.4.26補充
在坐標平面上,有一直角△ABC,以∠C為直角,\( \overline{AD},\overline{BE},\overline{CF} \)為△ABC之三中線,已知\( \overline{AD} \)落在直線\( 2x+y=5 \)上,\( \overline{BE} \)落在直線\( x+2y=1 \)上,\( \overline{AB}=30 \),則△ABC的面積為?
(103臺中女中,http://math.pro/db/thread-1867-1-1.html)

103.5.7補充
已知△ABC的三邊長a,b,c和面積S滿足關係式\( S=a^2-(b-c)^2 \),且\( b+c=8 \),則△ABC的面積S的最大值為?
(103桃園高中,http://math.pro/db/thread-1881-1-1.html)
http://www.funlearn.tw/viewthrea ... &extra=page%3D1

103.6.5補充
設△ABC的三邊長為a、b、c,且a、b、c為方程式\( x^3-14x^2+62x-88=0 \)的三根,求△ABC的面積為  
(103竹北高中,http://math.pro/db/thread-1916-1-1.html)

103.6.18補充
\( \Delta \)的三中線長分別為5,\( \sqrt{73} \),\( 2 \sqrt{13} \),求\( \Delta ABC \)之面積  
(103桃園高中二招,http://math.pro/db/thread-1949-1-1.html)

103.7.27補充
設P為橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上一點,\( F_1 \),\( F_2 \)為二焦點,若\( ∠F_1PF_2=60^{\circ} \),則\( \Delta PF_1 F_2 \)的面積為?
(103松山工農,http://math.pro/db/thread-2013-1-1.html)

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這次我不分享教甄筆記,我來介紹一本書給各位。



書名:如何學好中學數學
作者:任維勇     
出版社:天下文化   




或許書中有些學習方法大家都已經耳熟能詳了,但我特別要推薦的是第三章的第八單元 - 構築解題策略。
那該如何構築解題策略呢,我僅節錄書中部份內容,還有試閱版可以下載:
http://www.bookzone.com.tw/event/ws401/download.asp

當我們學完一個段落的基本運算題與標準題,或許也做過一些思考題之後,就可以試著建立共通的解題策略。首先,可以靜下來想幾個問題:

一、 這個段落大致有哪些題目?這些題目有什麼共通性?有什麼條件?有什麼求解?這些條件、求解常常如何使用?將來在一堆混合的題目裡,要怎麼發現是這一類題目?
二、 在解決這些題目時,會用到哪些工具(定義、公式、定理)?什麼樣的條件或求解下,會用到什麼工具?如果用到多種不同的工具,能不能找到它們使用上的差異?在什麼時機應該使用哪一種工具?
三、 在解決這些題目時,有沒有用到什麼共通的結構?也就是有沒有什麼共同的模式可以依循?
  將這些問題想一想,就會有一些小結論,而且是我們自己得到的結論,而這時候我們所學的一堆個別的題目,才會開始融合成具體的觀念。

  接下來,你可以做更多的變化題了,看到類似的條件或求解,也許運用你自己的策略,就可以解出你從未見過的題目,享受一下那種成就感吧!當然,也可能你還是解不出來,這時不妨看看解答,再想一想,自己的解題策略是不是可以再擴大或修改一些?有時你也會發現,其實自己的策略能用,只是沒想到也能這樣用。

  當我們不斷接觸新的題目,加入新的策略,或更活用原有的策略,我們的解題能力也越來越強,對自己策略的信心也越來越強。




面對教甄越來越多的題目,你是否有自己的解題策略?例如看到題目求三角形面積時,你心中是否知道有哪些方法可以使用,接下來判斷這題的條件能用哪個公式,進而解出答案。又如解遞迴數列的一般項,你能否列舉出有哪些題型,萬一特徵方程式的根重根該怎麼辦?假如事前有好好思考的話,考試時看到題目就不會有無從著力的感覺。

各位所下載的教甄筆記其實就是我所建構的解題策略,有些看起來大相逕庭的題目若深究其中的解法的話就會發現有相似之處。而且我會到處找資料來充實自己的筆記內容,當你看的題目越多你就越能整理出屬於自己的解題策略。

只是在整理過程中非常耗費時間和心力,整理到後來連題目出處都背起來了,雖然辛苦卻覺得非常有成就感,除了已經公佈的10個教甄筆記之外,我手邊還有20個不同主題的筆記等待最佳時機再與各位見面。

各位也別來信問什麼時候會再公佈筆記,反倒是希望藉由這篇文章來提倡各位也動手整理出屬於自己的筆記,舉凡曾經錯過或是特殊技巧的都可以整理起來,這會你在是考試前的最佳夥伴。


也感謝billyhun提供筆記照片檔讓各位知道該如何整理出屬於自己的筆記。
各位可以參考billyhun所整理的遞迴數列單元,像100東山高中就考特徵方程式為重根的情況
再看哪些學校曾經考過黎曼和,還有更多內容都在這裡。

http://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid4238



103.7.3補充


書名:觀念數學2中學代數解題策略
作者:任維勇         
出版社:天下文化       


前言http://www.bookzone.com.tw/pdf/WS402.pdf

或許書中的範例以教師甄試的角度來說是比較簡單,但任老師所強調的建構解題策略仍是金科玉律。特別是要成為數學教師的我們在教學時就要引導學生怎麼從題目去找解題的線索。math pro論壇收集了這麼多題目不是要你死背解法,而是要逼你建構出屬於自己的解題策略,才能以無招勝有招。

例如
看到垂直要想到什麼,看到平行要想到什麼,看到求三角形面積要想到什麼
這個解法能不能用在其他題目上,假如不能用是哪個條件的造成阻礙,那應該要換什麼方法
同一個題目能不能用不同的解法來解題,代數解法解出來了能不能用幾何方法解呢
某個題目做到一半卻卡住了,有沒有檢討是什麼條件沒想到導致解不出來
當你看了解答,你可以保證下次還做得出來嗎?假如沒辦法的話,你自己專屬的解法是什麼?
例子http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1963&page=2#pid11577

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-7-4 06:11 AM 編輯 ]

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1.緣起
這個速算法原本是我準備用在考試的絕招,只是在我考試時都沒遇到這題
直到100年反而考了兩次,其中的道理當然要等個特別的時機再來發表

空間中10個相異平面,最多能將空間分割成個____區域?
(100苑裡高中,http://math.pro/db/thread-1178-1-1.html)
空間中n個平面最多能將空間分成幾個部分?
(100基隆女中代理)

一開始我是在"遞歸關係60例"看到的



設\( W_n \)表示用n個處於一般位置的k-1維超平面把k維空間劃分成區域的個數,則\( Wn=C_n^0+C_n^1+...+C_n^k \)



2.Jakob Steiner
只是書上沒提到是哪位數學家所證明的,我只好在google就亂試關鍵字搜尋
divide space plane how many partition Split這些我都試過了
但我能找到的都是平面切空間用遞迴的解法,才知道這是Jakob Steiner所證明的

http://mathworld.wolfram.com/SpaceDivisionbyPlanes.html
Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions: Combinatorial analysis and probability theory
第104頁
http://books.google.com.tw/books ... v=onepage&q&f=false

100 Great Problems of Elementary Mathematics
第283頁Steiner's Division of Space by Planes
100個著名初等數學問題歷史和解答
第67題 斯坦納的用平面分割空間
http://books.google.com.tw/books ... v=onepage&q&f=false
這裡有Steiner的論文名稱,只是google找不到內文
Einige Gesetze über die Teilung der Ebene und des Raumes
http://www.washjeff.edu/users/mwoltermann/Dorrie/67.pdf

Steiner生平介紹
http://en.wikipedia.org/wiki/Jakob_Steiner
http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/steiner.html



3.Ludwig Schläfli
但n維空間的情況還是沒找到,就這樣陸續找了一個月(有空就google,沒空就放著)後終於找到了
Arrangements of Hyperplanes
第1頁
http://books.google.com.tw/books ... v=onepage&q&f=false

The general formula \( 1+n+C_2^n+C_3^n+...+C_m^n \),
for the case of an m-dimensional cheese, was obtained by L.Schläfli on page 39 of his great posthumous work, Theorie der vielfachen Kontinuität(Denkschriften der Schweizerischen naturforschenden Gesellschaft, vol.38, 1901).

我還特地跑到淡江圖書館找這本書,但我只看得懂第1頁,後面所寫的就看不懂了


知道正確的關鍵字之後,google就有很多資料
http://www.google.com.tw/search? ... f-8&channel=suggest

而Ludwig Schläfli所寫的這本書在淡江圖書館找不到,我也不可能花錢買這本書來看,所以我也不知道這該怎麼證
http://www.amazon.co.uk/Theorie- ... lafli/dp/1429704810

Ludwig Schläfli生平介紹(中文)
http://www.dimensions-math.org/Dim_CH3_ZH_tr.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Schläfli

另外我還找到這個網頁,內容才兩頁這就是證明嗎?我也不知道
http://www.whim.org/nebula/math/spacediv.html



4.其他資料
在100個著名初等數學問題歷史和解答一書中也收錄了好幾個由Steiner所研究的問題,這裡還可以下載他所寫的書
http://openlibrary.org/books/OL2 ... cob_Steiner_(1826.)

101.7.22補充
http://scimonth.blogspot.tw/2009/10/blog-post_712.html
游森棚老師寫了一篇關於超平面配置(hyperplane arrangement)的文章,是由數學家札斯拉伏斯基(Zaslavsky)在1975年證明的定理。
我另外用Zaslavsky當搜尋關鍵字找到這個定理的介紹與證明
www.math.rice.edu/~samans/ZaslavskyTheorem.pdf
在文章的最後有講到如何用Zaslavsky's Theorem來證明
用n個\( R^{m-1} \)維的超平面切\( R^m \)空間最多可以切成\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+...+C_m^n \)個區域

101.9.20補充
阮圓真,平面上n條直線最多分割區域數的公式\( \displaystyle C_0^n+C_1^n+C_2^n \)之推演
http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/101(346-355)/347-PDF/347.htm

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2012-7-22 10:42 AM, 下載次數: 555

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找出圖形的規律

這份筆記原本預計在4.1要公佈的,但因為有其他的事耽擱了。裡面有一題原本是要網友去翻書的,想不到台中一中卻考出來,原本想要將那段內容刪除,但後來想想這是我辛苦看書找來的,於是就原封不動的保留下來。

不知道各位在準備教甄時有沒有閱讀其他數學的書?還是只準備考古題?我有時候會到大學的圖書館或自己任教學校的圖書館借書來看,或許絕大部分的內容在考試時用不上,卻可以充實自己的知識。

這份筆記所用到的解題技巧是我在"拼圖拼字拼數學"看到的,書上內容用切鬆餅來解釋牛頓插值公式,後面還有更多相關的問題。我甚至在教數列與級數和遞迴關係時教學生用這樣的技巧解題,至少學生都還能接受。

我當初在100北一女中也用了這個技巧,只是那時還在整理筆記有些東西想等到公佈筆記時再來說,在此感謝tsusy提供解答。
http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=2#pid4474

另外我在"數學馬戲團"一書中,Martin Gardner收錄了一題圖形計數問題,此數列的前幾項為1、2、4、8、16、31、57、99、163、256、386、562、……
我覺得這題很刁鑽,為了找數列前幾項就會畫圖數數看,萬一不小心在第6項數成32個你大概也不會再檢查第7項,開頭前幾項可能會讓你誤以為答案是\( 2^{n-1} \)。但假如沒落入陷阱之中的話,其實只要前5項數字經過四階差分就可以算出公式。若你是教甄的出題老師不妨考慮出這題,可以試看看有多少考生寫\( 2^{n-1} \)這個答案。

在圓上任取12個點,兩兩相連所得的直線,最多將此圓內區域分割成為幾個區域?
(101台中一中,http://math.pro/db/thread-1334-1-1.html)

101.5.6補充
cplee8tcfsh提供此問題的組合意義
\( \large a_n=C_4^n+C_2^n+1 \)
http://math.pro/db/thread-1347-1-1.html

101.6.14補充
猜或不猜  游森棚
http://scimonth.blogspot.tw/2010/07/blog-post_4697.html

101.8.1補充
http://math.pro/db/thread-916-1-1.html
weiye補充的數學傳播文章
王子俠,一組弦可將圓分成幾部份?(一道簡單的計數問題所引發的兩個啟示)

101.10.20補充
設一個凸n邊形中任意三條對角線都不共點,試問所有對角線將這個n邊形的內部分成了多少個區域?
[解答]
去掉一條對角線,區域的個數減少\( k+1 \),其中k是其他對角線與這條對角線的交點(不算端點)的個數。再去掉一條對角線,區域又減少\( k'+1 \)個,其中\( k' \)是其他(未去掉的)對角線與這條對角線的交點(不算端點)的個數。這樣繼續下去,直至所有對角線都被去掉,最後只留下1個區域。
因此,所求區域數是\( 1+(k+1)+(k'+1)+... \)  (1)
(1)中括號的個數是對角線的條數,即\( \displaystyle \frac{1}{2}n(n-3) \)。而\( k+k'+... \)是對角線的交點(不算端點)的個數。由於每三條對角線不共點,所以每個交點由兩條無公共端點的對角線唯一確定,即由4個頂點唯一確定。因此\( k+k'+...=C_4^n \)。
所求區域數\( \displaystyle =1+\frac{1}{2}n(n-3)+C_4^n=C_4^n+C_2^{n-1} \)。
(單墫:算兩次,P109)




101.5.17補充
將坐標平面在第一象限內x,y坐標都是整數的點依次排序而不遺漏,例如:第1點(1,1)、第2點(2,1)、第3點(1,2)、第4點(1,3)、第5點(2,2)、第6點(3,1)、第7點(4,1)…試問第1000點的坐標為?
(101師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題,http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105)

101.6.22補充
令第i行第k個數字為\( f(i,k) \),此圖中之規則為\( f(i,1)=2i-1=f(i,i) \),且\( f(i,k)=f(i-1,k-1)+f(i-1,k) \),其中\( 2 \le k \le i-1 \)。則\( f(i,3) \)之值為?
(101松山家商,http://math.pro/db/thread-1425-1-1.html)

101.7.11補充
The figures \( F_1 \),\( F_2 \),\( F_3 \), and \( F_4 \) shown are the first in a sequence of figures. For \( n \ge 3 \),\( F_n \) is constructed from \( F_{n-1} \) by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than \( F_{n-1} \) had on each side of its outside square. For example, figure \( F_3 \) has 13 diamonds. How many diamonds are there in figure \( F_{20} \)?

(A)401 (B)485 (C)585 (D)626 (E)761
(2009AMC12,http://www.artofproblemsolving.c ... 82&cid=44&year=2009)

101.9.22補充
如下圖所示,在坐標平面上,從第1點(0,0)開始到第2點(1,0),再到第3點(1,1),再到第4點(0,1),再到第5點(-1,1),再到第6點(-1,0),…。依逆時針方向環繞坐標平面上的整數格子點,每次走一單位,只能前進或左轉且不重複,也不遺落任何整數格子點。試求:
(1)第100點的坐標。
(2)第1000點的坐標。
(3)第k點的坐標。(以k表之)
(99台灣師大教師在職進修碩士學位班考題,http://www.lib.ntnu.edu.tw/annou ... 5-D15B-D5FBD7D4801E)

試根據右圖的規律,將坐標平面在第一象限內x,y坐標都是整數的整數點依次排序而不遺漏。
第1點(1,1),第2點(2,1),第3點(1,2),第4點(1,3),第5點(2,2),第6點(3,1),第7點(4,1),…。
(1)試問第100點的坐標為何?
(2)試問坐標為(20,12)是排在第幾點?
(3)試問第10000點的坐標為何?
(101台灣師大教師在職進修碩士學位班考題,http://www.lib.ntnu.edu.tw/annou ... 3-D618-38978632841F)

101.11.6補充
如下圖,根據下列5個圖形及相應點個數的變化規律,試猜測第15個圖中共有  個點。
(圖請看連結)
(2009全國公私立高中第一次學測模擬考,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA141.swf)

102.4.21補充
http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=10#pid7811
有人在問這個方法的原理是什麼?推薦各位可以去找這本書來看
華羅庚,與中學生談中國數學史上的幾大成就

從第17頁開始介紹了什麼是差分多項式,若f(x)是m次多項式,則第m階差分為常數的原因,以及如何從差分的結果重新將f(x)表示出來。



-----------------------------------
雖然也是圖形規律的題目,但一般項有指數形式,無法用上面的速解法
101.7.8補充
請觀察右圖三角形陣列中數字之規則,令\( a_n \)為第n列之所有數字和,則\( a_{50} \)除以100之餘數為
\( \matrix{& & & & 0 & & & & & 第1列\cr
& & & 1 & & 1 & & & & 第2列\cr
& & 2 & & 2 & & 2 & & & 第3列\cr
& 3 & & 4 & & 4 & & 3 & & 第4列\cr
4 & & 7 & & 8 & & 7 & & 4 & 第5列}\)
(101文華高中代理,http://math.pro/db/thread-1462-1-1.html)

101.10.13補充
在下列的三角形陣列中,對k=1,2,3,…,由上而下的第k列是由k個數所排成,其中最左邊的數與最右邊的數都是k+1,而中間的數都是上一列相鄰兩數之和,則第100列的數之總和除以100的餘數為?
\( \matrix{& & & & 2 & & & & \cr
& & & 3 & & 3 & & &  \cr
& & 4 & & 6 & & 4 & &  \cr
& 5 & & 10 & & 10 & & 5 &  \cr
6 & & 15 & & 20 & & 15 & & 6 }\)
(100全國高中數學競賽 臺北市筆試(二),http://math.pro/db/thread-1349-1-1.html)


101.10.10補充
1 2 3 4 5 6 … 99 100
 3 5 7 9 11 ……… 199
  8 12 16 20 ………
   20 28 36 ………
     ………………
      …………
       a
(說明 一個倒三角形,下一行的數字為上一行相鄰兩數的和)求a。
(98北一女中,http://math.pro/db/thread-784-1-1.html)


下面一系列的圖形,隱藏了一些規則,即
(圖請看連結)
令在第1個圖、第2個圖、第3個圖、...、第n個圖中最下面一層的唯一數字分別為\( a_1 \)、\( a_2 \)、\( a_3 \)、...、\( a_n \)。如上圖,其中\( a_1=3 \),\( a_2=8 \),\( a_3=20 \)。則當\( n=2011 \)時,最下面一層唯一的數字\( a_{2011}= \)?
(100建國中學科學班甄選 數學能力測驗,http://www.ck.tp.edu.tw/~scicla/pdf/101/100math1.pdf)

101.11.6補充
如下圖(一)、(二)、(三),三角形的個數分別為\( a_1=5 \),\( a_2=17 \),\( a_3=53 \),則\( a_8= \)?
(圖請看連結)
(2012台中區第一次學測模擬考,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA359.swf)

103.5.15補充
將自然數按下表的方式排列,從上到下第i列,從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \),例如\( f(3,4)=18 \),試求\( f(45,45)= \)   
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … &  \cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … &   &  \cr
10 & 14 & 19 & 25 & … &   &   &   \cr
15 & 20 & 26 & … &   &   &   &   \cr
21 & 27 & … &   &   &   &   &   \cr
28 & … &   &   &   &   &   &  } \)
(103彰化高中,http://math.pro/db/thread-1890-1-1.html)
-----------------------------------
不是每一個題目都要用差分來作,比較簡單的題目還是用Σ來作比較方便

101.10.31補充
某水泥匠依設計圖鋪地磚,方法如圖(1)所示逐層鋪設:若此水泥匠共用10000塊黑白地磚鋪設ㄧ正方形廣場,請問其中黑色有多少塊?
(1)4950塊 (2)5000塊 (3)5050塊 (4)5150塊 (5)5250塊
         ■■■■
     □□□→■□□□
  ■■→□■■ ■□■■
□→■□ □■□ ■□■□
   圖(1)
(101北區學測第二次模擬考,http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA361.swf)

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-15 08:10 PM 編輯 ]

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找出圖形的規律.rar (159.57 KB)

2012-4-30 12:43 AM, 下載次數: 829

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我覺得大大你這一個很棒…若有更多的人進來分工會更棒…如 協助找出類似題…有系統的將考題作分類…。

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感謝peter579的好意,只是過了兩個月沒人回應,未免有曲高和寡之憾。
我認為會有以下幾種可能原因
1.還沒考上不方便公佈自己整理的筆記
 我當初也是在考上後才開始公佈個人筆記的,所以會有這樣的想法也是很合理的。

2.電腦打字非常耗費心力和時間
 很多學校公佈的試卷都是pdf檔,雖然有pdf檔轉成doc檔的軟體,但轉出來的效果通常是慘不忍睹。但重新打字就會花很多時間,數學式子也就算了,假如題目還有圖形,除了按Print Screen截圖來插入word外,比較講究的就自己拉直線、矩形、三角形、圓等物件自己慢慢畫。

3.學校事務繁忙,沒有力氣再負擔額外的工作
 大家忙完一天的工作後,有時累的只想趕快洗澡趕快睡覺,沒有多餘心力作其他的事。

4.網路論壇沒有強制性,合則來不合則去
 本論壇沒有設定要多少積分才能看文章,甚至不需要註冊就可以下載附加檔案,當然下載的多分享的就比較少。



就像當初只有我自己一個人準備教甄,自己一個人整理筆記,這過程都需要自己親力親為,因為只有自己最清楚自己需要的是什麼。只要準備高中數學101加考古題就好呢?TRML、AMC12、AIME、ARML有需要準備嗎?有數學傳播不太會考這有需要看嗎?這些信念都會影響到你所整理出來的筆記,我自己是把範圍設定的比較廣,就有比較多的資料可以整理。假如只準備考古題,你會感覺整理出來的筆記就只是將題目和答案重新抄一次而已,根本看不出和其他題目有什麼關連。

所以重點在於整理的過程,而不是那份筆記。舉例來說前面有一份"裂項相消"的筆記,整份筆記連同之後補充的題目將近100題,那麼多的題目其實我也背不起來,但我知道可以往什麼方向去湊出相消的式子,我還知道有什麼題目不適合這種方法。例如這題,有些組合符號的題目是可以裂項相消的,但為什麼這題不行?那這題該用什麼方法?
Given that \( \displaystyle \frac{1}{2!17!}+\frac{1}{3!16!}+\frac{1}{4!15!}+\frac{1}{5!14!}+\frac{1}{6!13!}+\frac{1}{7!12!}+\frac{1}{8!11!}+\frac{1}{9!10!}=\frac{N}{1!18!} \)
find the greatest integer that is less than \( \displaystyle \frac{N}{100} \).
(2000AIME,http://www.artofproblemsolving.c ... id=45&year=2000)

103.8.3補充
Find the value of \( \displaystyle S=\frac{1}{1!1999!}+\frac{1}{3!1997!}+\ldots+\frac{1}{1997!3!}+\frac{1}{1999!1!} \)
http://www.artofproblemsolving.c ... ?f=151&t=599657

再以"三角形的面積"這份筆記為例,其實有些題目的解法不只一種,但假如將每一種解法都寫出來又顯得累贅,所以按照我自己的想法為題目分類,換你來整理的話絕對和我的不一樣,假若照單全收也只是渾圇吞棗而已。而且在整理的過程發現有些題目的重點不在於用哪一種三角形面積公式,我以這題為例

直角三角形ABC,\( \overline{AB}=7 \),\( \overline{BC}=24 \),\( \overline{AC}=25 \),求其外心O,重心G,以及內心I三點所形成的三角形面積?

102.1.8補充一題類似題
△ABC中,\( \overline{AB}=\overline{AC}=10 \),\( \overline{BC}=12 \),\( \overline{AD}⊥\overline{BC} \),直線L為\( \overline{AB} \)之中垂線交\( \overline{AB} \)於E,交\( \overline{AD} \)於P,連接\( \overline{CE} \),\( \overline{CE} \)交\( \overline{AD} \)於Q,求△EPQ的面積為多少平方單位?
(A)\( \displaystyle \frac{11}{4} \) (B)\( \displaystyle \frac{11}{6} \) (C)\( \displaystyle \frac{11}{8} \) (D)\( \displaystyle \frac{11}{12} \)


雖然最後問的是三角形面積,但解題的重點是看到外心、重心、內心你會想到什麼?或許你會想到很多性質但要用哪一個才能解出答案。而這個就是"如何學好中學數學"一書中所提到的解題策略,你是否有從整理筆記的過程中培養出自己的解題策略?

當然這些東西只存在我的腦袋中,筆記並沒有寫出來,就算寫出來你也不一定能體會,因為你沒有經歷過其中的過程。最後我提幾個教甄比較常考的單元,讓各位去找看看哪些學校考過這類題目
1.矩陣的n次方
 當然最常出的就是對角化,此外還有用旋轉矩陣、二項式定理等。特別一提的是101松山工農出了一題矩陣n次方。
  雖然題目已經給了P矩陣,但你要知道假若特徵值相等時該怎麼辦?
2.黎曼和
 這也算是比較常見的題目,但整理後就知道題目滿固定的,只是有時候需要用三角函數替換後才能算。
 另外有些題目用的是夾擠定理,你要能分辨其中的差異,不要題目一出來就硬換成黎曼和。
3.求多項式的餘式
 這在教甄考古題可以找到非常多的題目。
  (1)除以\( x-a \)用\( x=a \)代入
  (2)用\( x=i \)代入
  (3)用\( x^n=1 \)代入
  (4)用二項式定理計算
  (5)用微分計算
  (6)特殊的除式,如\( x^4+x^3+2x^2+x+1 \),可以先用\( x^{12}=1 \)代換後得到答案。
           \( x^4+x^2+1 \),可以先用\( x^6=1 \)代換後得到答案。
           \( x^2-x-1 \),就是1988AIME、1999TRML、94嘉義女中、2006TRML、100麗山高中、100楊梅高中那一題。
4.求餘數
 當然就是考費馬小定理或二項式定理

101.12.5補充
寸絲對遞迴機率的整理,http://math.pro/db/viewthread.php?tid=1378&page=1#pid7331

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-3 06:17 PM 編輯 ]

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