甲乙二人輪流擲一不公正銅板(出現正面機率為2/3,出現反面機率為1/3),若出現正面,甲給乙一元,出現反面,乙給甲一元.金甲有m元,乙有n元(m,nÎN), 則甲將乙錢贏光之機率為______.




[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?

引用:

原帖由 chu1976 於 2008-4-12 11:30 PM 發表
[解]設甲有k元時,將乙贏光之機率為a_k且a_0=0,a_m+n=1,
為何a_k=1/3*(a_k+1)+2/3*(a_k-1)呢?!<--此恆等式怎麼得來的?

"輪流丟"，這三個字好像沒有用到？


甲這一局有 \(k\) 元的原因恰來自以下兩個其中之一，

case i.  原本前一局甲有 \(k+1\) 元，然後出現正面(機率是 \(\frac{2}{3}\))，所以這一局甲有 \(k\) 元。

case ii. 原本前一局甲有 \(k-1\) 元，然後出現反面(機率是 \(\frac{1}{3}\))，所以這一局甲有 \(k\) 元。


所以 \(a_k=\frac{2}{3}a_{k+1}+\frac{1}{3}a_{k-1}\)

　　（解答裡的遞迴關係式的 \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\) 的位置可能寫反了？）

剩下的就用遞迴數列的特徵方程式來解就可以了。





題外話：

這題目應該是跟隨機過程(Stochastic process)裡面醉漢走路的問題一樣，

Google 搜尋"隨機過程 醉漢" 或 "Random Walk" 會有些相關的介紹，

其中 http://www.stat.nuk.edu.tw/prost ... %86%89%E6%BC%A2.htm　這篇的說明與解法也蠻不錯的。

另外，台中一中的某次高二學校期末考有考過上面這題( http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/math5/rc/T93223A.pdf )，

不過機率改成各 \(\frac{1}{2}\) 而已。




討論串：http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=42950

謝謝您的答覆
其實我的問題就是跟您的答案一樣!
覺得遞迴關係式1/3, 2/3 的位置應該是寫反了!

請幫我算算看 , 答案是 a_n=(2^m)*[(2^n)-1] / {[2^(m+n)]-1} 嗎?

這邊原先的遞迴關係應該沒有問題
假設這一局有k元
Case 1. 下一局, 甲贏一元機率為1/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k+1}$$
Case 2. 下一局, 甲輸一元機率為2/3 繼續贏光錢的機率為$$a_{k-1}$$
故遞迴關係應該為 $$a_{k}=\frac 1 3 a_{k+1}+\frac 23 a_{k-1}$$.

之前我跟weiye老師想法是一樣, 後來仔細想過遞迴式原始答案給的應該沒錯.

咦～對耶。

我用 \(m=n=1\) 去檢驗，

\(\displaystyle a_0=0, a_2=1, a_1=\frac{1}{3}\)

因而 \(\displaystyle a_1=\frac{1}{3}a_2+\frac{2}{3}a_1\)

你是對的！

因為 \(a_k\) 是定成〝甲在手上有 \(k\) 元時，會贏光乙的錢〞的機率，

似乎用你的講法比較合。

因為如果手上有 \(m+n\) 元就不用丟硬幣啦，

而由 \(m+n\) 元變成 \(m+n-1\) 元就不會發生啦，

所以原本上面我回的做法，就說不通了！

感謝！ ^__^