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例題:滿足a^2+b^2=c^2的正整數解,a,b,c中有4的倍數。

例題:滿足a^2+b^2=c^2的正整數解,a,b,c中有4的倍數。

引用:
滿足a^2+b^2=c^2的正整數解a,b,c中,至少有一個是4的倍數。
(4k+1)^2 除 8 餘 1
(4k+2)^2 除 8 餘 4
(4k+3)^2 除 8 餘 1


假設 a,b,c 都不是 4 的倍數,

則 a^2, b^2, c^2 除以 8 的餘數只有可能為 1 或 4

因此 a^2 + b^2 除以 8 的餘數只有可能是 2 ( 同餘 1+1), 0 (同餘 4+4), 5 (同餘 1+4 及 4+1)

推得,〝a^2 + b^2 被 8 除的餘數〞  不等於 〝c^2 被 8 除的餘數〞

因此 a^2 + b^2 不等於 c^2,

此與命題矛盾,

故 a,b,c 必有一為 4 的倍數。


原討論串: http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34581

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