想請問 老師  9  10  12

6.
求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{(\sqrt{1}+\sqrt{8}+\sqrt{27}+\ldots+\sqrt{n^3})^2}{n^5}=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

9.
設\(x\)為實數，則\(\sqrt{x^4-4x^2-12x+25}+\sqrt{x^4+2x^2+1}\)的最小值為　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

二、計算證明題
1.
設\(n\)是正整數，\(A=\left[\matrix{-1&4&2\cr-1&3&1\cr-1&2&2}\right]\)，試計算\(A^n\)。
我的教甄準備之路　矩陣n次方，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

2.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(a,b,c\)，面積記為\(\Delta\)，試證明：\(\displaystyle \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta}\ge 4\sqrt{3}\)。
(1961IMO，連結有解答https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2)

4.
設\(\Delta ABC\)外接圓的半徑為\(R\)；內切圓的半徑為\(r\)；外新為\(O\)；內心為\(I\)，試證：\(\overline{OI}^2=R^2-2Rr\)。
連結有解答https://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122768

第 12 題
(a + b) / a = sinB / (sinB - sinA) = b / (b - a)
ab = b^2 - a^2

cos(A - B) + cosC = 1 - cos2C
cos(A - B) - cos(A + B) = 2(sinC)^2
sinAsinB = (sinC)^2
ab = c^2

利用 ab = b^2 - a^2 ，把 a 用 b 表示
再利用 ab = c^2 ，也可把 c 用 b 表示
最後可求出答案

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-4-27 20:30 編輯 ]

9.

原式 =  [ (2x-3)^2 +(x^2-4)^2 ]^1/2   +  [ (2x-0)^2 + (x^2-1)^2 ] ^1/2

令 A在 拋物線y = x^2/4 上，B(3,4)，C(0,1)  ， L： y = -1

所求 = AB +AC = AB+ d(A,L) = d(B,L) = 4 - (-1) = 5

[ 本帖最後由 Danny920 於 2024-4-27 21:30 編輯 ]

#10

想請教一下 填充11 與 計算3  謝謝

提出 \(\frac{5^{10}}{6}\)
後面\(\sum\)可以看成是X~B(10,0.6)求E(X^2)

[ 本帖最後由 weiliu0417 於 2024-4-29 09:15 編輯 ]

請問老師 第三題 幾何的作法

[ 本帖最後由 kobelian 於 2024-4-30 08:42 編輯 ]

引用:

原帖由 kobelian 於 2024-4-30 08:17 發表
請問老師 第三題 幾一一何的作法

有試過，除了答案1比較好猜，其他答案畫圖沒那麼明顯看得出來

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-4-30 21:57 編輯 ]

計算三：